数电-第一章 数字逻辑概论

电子技术基础数字部分主讲：周旭欣第一章数字逻辑概论本章重点内容：1、二进制数、十六进制数及其与十进制数之间的转换；2、二进制数的算术运算；3、原码、反码与补码；4、二进制编码；5、几种基本逻辑运算；6、逻辑函数的表示方法。1.1数制表示数时，仅用一位数码往往不够用，必须用进位计数的方法组成多位数码。多位数码每一位的构成以及从低位到高位的进位规则称为进位计数制，简称数制。对于一个n位整数和m位小数组成的任意进制（简称R进制）数N，可以用位置计数法或多项式法表示。位置计数法表示为：（N）R＝（Kn-1Kn-2‥‥K1K0K-1K-2‥‥K-m)R多项式法表示为：（N）R=（N）R=式中：R为基数；Ri为权数Ki为0～R－1中的任意一个字符；n为整数部分位数，m为小数部分的位数。基数：进位制的基数，就是在该进位制中可能用到的数码个数。位权（位的权数）：在某一进位制的数中，每一位的大小都对应着该位上的数码乘上一个固定的数，这个固定的数就是这一位的权数。权数是一个幂。

一、十进制数码为：0～9；基数是10。用字母D表示。运算规律：逢十进一，即：9＋1＝10。十进制数的权展开式：D＝∑ki×10i例如：(143.75)D=1×102+4×101+3×100+7×10-1+5×10-2若在数字电路中采用十进制必须要有十个电路状态与十个计数码相对应。将在技术上带来许多困难，很不经济。各数位的权是２的幂二、二进制数码为：0、1；基数是2。用字母B表示。运算规律：逢二进一，即：1＋1＝10。

二进制数的权展开式：D＝∑ki×2i例如：（101.11）B＝1×22＋0×21＋1×20＋1×2－1＋1×2－2

＝（5.75）D

三、八进制数码为：0～7；基数是8。用字母O表示。运算规律：逢八进一，即：7＋1＝10。八进制数的权展开式：D＝∑ki×8i例如：（207.04）O＝2×82＋0×81＋7×80＋0×8－1＋4×8－2

＝(135.0625)D各数位的权是8的幂四、十六进制数码为：0～9、A～F；基数是16。用字母H来表示。运算规律：逢十六进一，即：F＋1＝10。十六进制数的权展开式：D＝∑ki×16i例如：(2A.7F)H＝2×161＋10×160＋7×16－1＋15×16－2＝(42.4960937)D各位数的权是16的幂1.2不同数制间的转换对于同一个数，可以采用不同的数制表示，并且它们之间可以相互转换。采用的方法有：1、多项式替代法：此方法用于任意进制数转换为十进制数。即根据式（N）R=将任意进制数按权展开。

2、基数乘除法：该方法用于将十进制数转换为任意进制数。整数部分用基数除法，小数部分用基数乘法。3、直接转换法：

该方法用于二进制与八进制或十六进制之间的转换。具体为：首先将二进制分组，整数从低位到高位，小数从高位到低位，每三位二进制数对应一位八进制数；每四位二进制数对应一位十六进制数，分组不够进，整数在高位补0，小数在低位补0。一、二十进制之间转换二进制转换为十进制数的基本方法是多项式替代法，对给定的二进制数按权展开求和，即可得到十进制数。ForExample:（1011.01）2

＝1×23＋0×22＋1×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2

＝（11.25）10二、十二进制之间转换十进制数转换为二进制数的基本方法是基数乘除法。具体方法：将整数部分和小数部分分别进行转换。小数部分---基数连乘取整。

整数部分---基数连除取余。ForExample:（44.375）D=（？）B整数部分:基数连除，取余数自下而上。小数部分:基数连乘，取整数自上而下。注意：当用基数乘法对十进制小数进行转换时，可能出现有限位数的二进制小数不能完全表示十进制小数，则需要根据转换误差确定二进制小数的位数。Forexample:

将（0.718）D转换为二进制数，要求转换误差小于1％。解：二进制小数部分的位数为m，要求2－m≤1％，可求出m≥＝6.64，所以取m＝7，采用基数乘法得

（0.718）D＝（0.1011011）B校核转换误差：（0.1011011）B=（0.7109）D

ε＝0.718－0.7109＝0.71％符合要求。三、二→十六进制之间转换二进制数转换为十六进制数可以采用直接转换法。即：将二进制数由小数点开始，整数部分向左,小数部分向右，每4位分成一组，不够4位补零，则每组二进制数便是一位十六进制数。

Forexample:

（1011110.1011001）2＝（5E.B2）1600四、十六→二进制之间转换方法：将每位十六进制数用4位二进制数表示。（8FA.C6）16=（1000

11111010.11000110）2五、二—八进制之间转换方法：按照每三位二进制数对应于一位八进制数进行转换。1、二→八进制的转换（1101010.01）2000＝（152.2）82、八→二进制转换（374.26）8＝（011111100.010110）2六、十—十六进制之间的转换将十六进制数转换成十进制数时，按权展开再相加即可。将十进制数转换成十六进制数时，可先转换成二进制数，再将得到的二进制数转换成等值的十六进制数。进位，表示两个1相加“逢二进一”1.2二进制数的算术运算在数字电路中，0和1既可以表示逻辑状态，又可以表示数量大小。当表示数量时，两个二进制数可以进行算术运算。A、无符号二进制数的算术运算1、二进制加法规则：0+0=0，0+1=1，1+1=10Forexample:1001+0101=？1001＋01011110借位表示向高位借12、二进制减法

规则：0－0=0；1－1=0；1－0=1；0－1=11Forexample:1001－0101=？注：无符号数无法表示负数，所以要求被减数一定大于减数。3、乘法和除法运算乘法运算是左移被乘数与加法运算组成。

规则：0×0＝0；0×1＝1×0＝0；1×1＝11001－01010100除法运算是右移被除数与减法运算的组合。规则：

0÷1＝01÷1＝1Forexample:1001×0101=?1001÷0101=?1001

×01011001000010010000

0101101

01010101100001010110010100101.11…B、带符号二进制数的减法运算

在定点运算的情况下，二进制数的最高位（即最左边的位）表示符号位，用0表示正数，用1表示负数。其余部分为数值位。（+11）D=（01011）B（－11）D=（11011）B1、几个基本概念

原码：在二进制数的前面增加1位符号位，0表示正，1表示负，所得到的二进制码称为原码。

反码：正数的反码就是原码，负数的反码在原码的数值位上取反即可得到反码。

补码：正数的补码就是原码，负数的反码在反码的基础上加1即可得到补码。2、二进制数的补码表示在数字电路中，常将负数用补码表示，便于把减法运算变成加法运算。基数为R，位数为n的原码N，其补码为：

（N）补=Rn－N具体方法：a、补码或反码的最高位为符号位。b、当二进制数为正数时，补码、反码与原码相同。c、当二进制数为负数时，将原码的数值位逐位求反，再在最低位加1得到补码。Forexample:分别计算A=+5和B=－5的四位二进制的原码、反码和补码。解：（A）原=0101（A）反=0101（A）补=0101（B）原=1101（B）补=1011（B）反=1010注：对于n位带符号的二进制数的原码、反码、和补码的数值范围为：原码：－（2n-1－1）~+（2n-1－1）反码：－（2n-1－1）~+（2n-1－1）补码：－2n-1~+（2n-1－1）3、二进制补码的减法运算在进行二进制补码的加法运算的时候，必须要注意被加数与加数补码的位数要相等，即让两个二进制数补码的符号位对齐。通常两个二进制数的补码采用相同的位数表示。

注意：补码相加得到的结果仍是补码，若要得到原码，需要对结果再次求补。Forexample:计算（1001）2－（0101）2=？自动丢弃1001－01010100

补码

补码

01001＋11011

1

00100减法变加法自动丢弃4、溢出

溢出是指两个补码相加后，得到错误的结果。Forexample:用四位二进制补码计算－3－6＝？解：（－3－6）补＝（－3）补＋（－6）补＝1101＋1010＝0111再将0111再次求补码，得到结果是0111（＋7），而正确结果应是－9。原因：四位二进制补码中有三位是数值位，范围是－8～＋7，－9超出了此范围。1101

＋1010

101115、溢出的判别两个符号相反的数相加不会产生溢出，但两个符号相同的数相加有可能产生溢出。

判别的方法：当进位位与和数的符号位相反时，则运算结果是错误的，产生溢出。

解决方法：将数值位的扩大。1.3码制数字系统中的信息可分为两类:数值与文字符号。为表示文字符号信息，往往采用一定位数的二进制数码表示，这个特定的二进制码称为代码，代码与十进制数值、字母、符号的一一对应的关系称为编码。若所需编码的信息有N项，则需要用的二进制数码的位数n应满足如下关系：

2n≥NA、BCD码（二—十进制码）（BinaryCodedDecimal）常用的BCD码有8421码、2421码、5421码、余3码和余3循环码。它们都是用4位二进制代码表示1位十进制数。8421码：

用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进制数码，因各位的权值依次为8、4、2、1，故称8421BCD码。2421码和5421码：它们的权值分别为2、4、2、1和5、4、2、1，它们与8421码都是有权码，与十进制数之间的关系均可表示为：（N）D=W3b3+