2024届一轮复习人教A版 第二章函数导数及其应用第三讲函数的奇偶性与周期性 课件（47张）

第三讲函数的奇偶性与周期性课标要求考情分析1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断和应用简单函数的周期性1.本讲以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识.2.题型以选择、填空题为主，中等难度奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称1.函数的奇偶性

【名师点睛】

(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件. (2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：①f(－x)＝2.函数的周期性

(1)周期函数：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.，则T＝2a(a>0).【名师点睛】函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝

1f(x)(3)若f(x＋a)＝－

1f(x)，则T＝2a(a>0).Ｋ3.函数图象的对称性(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.

(3)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.考点一判断函数的奇偶性)[例1](1)已知函数f(x)＝x·|x|－2x，则下列结论正确的是(A.f(x)是偶函数，递增区间是(－∞，0)B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D.f(x)是奇函数，递增区间是(0，＋∞)解析：将函数f(x)＝x·|x|－2x去掉绝对值得画出函数f(x)的图象，如图2-3-1，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在图2-3-1(－1，1)上单调递减.故选C.答案：CA.f(x－1)－1C.f(x＋1)－1B.f(x－1)＋1D.f(x＋1)＋1答案：B【题后反思】(1)判断函数奇偶性的两个必备条件①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域.②判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以将问题转化为f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立.(2)一些重要类型的奇偶函数①函数f(x)＝ax＋a－x为偶函数，函数f(x)＝ax－a－x为奇函数.【变式训练】(2022年云浮市期末)已知

f(x)为

R上的奇函数，g(x)为R上的)偶函数，且g(x)≠0，则下列说法正确的是( A.f(x)＋g(x)为R上的奇函数

B.f(x)－g(x)为R上的奇函数

f(x)C.

g(x)为R上的偶函数D.|f(x)g(x)|为R上的偶函数解析：因为f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且g(x)≠0，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，所以f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－[f(x)＋g(x)]，故f(x)＋g(x)为非奇非偶函数，A错误；同理，f(x)－g(x)为非奇非偶函数，B错误；为奇函数，C错误； 设函数H(x)＝|f(x)g(x)|，

H(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝H(x)，所以H(x)为R上的偶函数，D正确.故选D.

答案：D考点二根据函数的奇偶性求参数的值或范围答案：4答案：C【题后反思】(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.

(2)利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象，确定函数在另一区间上的解析式，解决某些求值或参数问题. (3)由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数f(x＋a)为偶函数(奇函数)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称[关于点(a，0)对称].【变式训练】答案：±12.设函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，且g(x)＝f(x＋1)为偶函数，则不等式g(2－2x)<0的解集为________.

解析：由已知可得g(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(2)＝0，又因为g(x)为偶函数，所以g(2－2x)<0可化为g(2－2x)<g(2)，所以|2－2x|<2，所以－2<2x－2<2，解得0<x<2.答案：(0，2)考点三函数性质的综合应用考向1单调性与奇偶性的综合问题

通性通法：(1)利用偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，实现不等式的等价转化.(2)注意偶函数的性质f(x)＝f(|x|)的应用.[例3]已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(

)A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

解析：易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，∵奇函数f(x)在R上是增函数，则f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增.又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，∴g(3)>g(－log25.1)>g(20.8)，即c>a>b.

答案：C考向2周期性与奇偶性的综合问题

通性通法：此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.解析：∵f(x＋1)为奇函数，∴f(1)＝0，且f(x＋1)＝－f(－x＋1)，∵f(x＋2)为偶函数，∴f(x＋2)＝f(－x＋2)，∴f[(x＋1)＋1]＝－f[－(x＋1)＋1]＝－f(－x)，即f(x＋2)＝－f(－x)，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)＝－f(－x).令t＝－x，则f(t＋2)＝－f(t)，∴f(t＋4)＝－f(t＋2)＝f(t)，∴f(x＋4)＝f(x).当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.f(0)＝f(－1＋1)＝－f(2)＝－(4a＋b)，f(3)＝f(1＋2)＝f(－1＋2)＝f(1)＝a＋b，又f(0)＋f(3)＝6，∴－3a＝6，解得a＝－2，又∵f(1)＝a＋b＝0，∴b＝－a＝2，∴当x∈[1，2]时，f(x)＝－2x2＋2，故选D.答案：D考向3单调性、奇偶性与周期性的综合问题

通性通法：对于与函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定函数另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.

[例5]已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0，2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题： ①f(2)＝0；②直线x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[8，10]上单调递增；④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________.

解析：据已知抽象函数关系式f(x＋4)＝f(x)＋f(2)可得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，又函数为偶函数，故有f(2)＝f(－2)＋f(2)＝2f(2)⇒f(2)＝0，①正确；因此f(x)＝f(x＋4)，即函数是以4为周期的周期函数，又函数为偶函数，其图象必关于y轴即直线x＝0对称，又其周期为4，故x＝－4也为函数图象的一条对称轴，②正确；又已知函数在区间[0，2]上单调递减，故将其图象沿x轴向右平移2个周期的单位长度(8个单位长度)，其单调性不变，即在区间[8，10]上也单调递减，故③错误；如图2­3-2所示，若方程f(x)＝m在区间[－6，－2]上有两根，则此两根必关于直线x＝－4对称，即x1＋x2＝－8，故④正确.综上所述，命题①②④正确.图2-3-2答案：①②④

【考法全练】

1.(考向1)(2020年全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数

f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(

)A.[－1，1]∪[3，＋∞)B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞)D.[－1，0]∪[1，3]

解析：因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图D2(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图D2(2)所示.当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0；当x＞0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].故选D.(1)(2)图D2答案：D2.(考向3)(多选题)(2021年日照市联考)已知定义在

R上的函)数f(x)满足条件f(x＋2)＝－f(x)，且函数f(x－1)为奇函数，则( A.函数f(x)是周期函数

B.函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称

C.函数f(x)为R上的偶函数

D.函数f(x)为R上的单调函数

解析：因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函数，A正确；因为函数f(x－1)为奇函数，所以函数f(x－1)的图象关于原点中心对称，所以f(x)的图象关于点(－1，0)对称，B正确；因为函数f(x－1)为奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)＝f(－x－1)，即

f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为R上的偶函数，C正确；因为函数

f(x－1)为奇函数，所以f(－1)＝0，又函数f(x)为R上的偶函数，所以f(1)＝0，所以函数f(x)不单调，D错误.答案：ABC3.(考向2)已知

f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x，则f(－9)＝________.

解析：根据题意，f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－9)＝－f(9)＝－f(1)＝－2.答案：－2⊙函数奇偶性、周期性的应用

函数的奇偶性是高考的重点内容之一，特别是与函数其他性质的综合应用更加突出.这类问题从通性通法的角度来处理，显得较为烦琐，若能灵活利用函数奇偶性的性质，常能达到化难为易、事半功倍的效果.以下归纳出函数奇偶性的拓展及应用.(1)若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c.

(2)已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则fmax(x)＋fmin(x)＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.(3)若函数f(x)是奇函数，则函数g(x)＝f(x－a)＋h的图象关于点(a，h)对称.(4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|).答案：A答案：2【高分训练】1.设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝()A.{x|x<－2或x>4}C.{x|x<0或x>6}