2024届天津市和平区汇文中学数学九年级第一学期期末联考试题含解析

2024届天津市和平区汇文中学数学九年级第一学期期末联考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．已知二次函数的图象如图所示，下列3个结论：①；②b＜a+c；③，其中正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③2．一个不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（）A．摸出黑球的可能性最小 B．不可能摸出白球C．一定能摸出红球 D．摸出红球的可能性最大3．如图，的半径为5，的内接于，若，则的值为（）A． B． C． D．4．以下四个图形标志中，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．5．一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是A． B．C． D．6．已知反比例函数的解析式为，则的取值范围是A． B． C． D．7．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为（﹣1，0），AC=1．将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是（）A．（1，1） B．（1，1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）8．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房建设力度年市政府共投资亿元人民币建设廉租房万平方米，预计到年底三年共累计投资亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率都为，可列方程（）A． B．C． D．9．半径为10的⊙O和直线l上一点A，且OA=10，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交10．给出四个实数，2，0，-1，其中负数是（

）A． B．2 C．0 D．-1二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知二次函数y=－x－2x＋3的图象上有两点A(－7，)，B(－8，)，则▲.（用>、<、=填空）．12．如图，圆锥的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm，则该圆锥的侧面积是_____cm1．13．如果关于的一元二次方程的一个解是，则________.14．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是_____,m的值是______.15．已知在中，，，，那么_____________.16．点(2，3)关于原点对称的点的坐标是_____．17．若，则=______18．如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为__________．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，.动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，设运动的时间为秒，.（1）直接写出关于的函数解析式及的取值范围：_______；（2）当时，求的值；（3）连接交于点，若双曲线经过点，问的值是否变化？若不变化，请求出的值；若变化，请说明理由.20．（6分）中华人民共和国《城市道路路内停车泊位设置规范》规定：米以上的，可在两侧设停车泊位，路幅宽米到米的，可在单侧设停车泊位，路幅宽米以下的，不能设停车泊位；米，车位宽米；米.根据上述的规定，在不考虑车位间隔线和车道间隔线的宽度的情况下，如果在一条路幅宽为米的双向通行车道设置同一种排列方式的小型停车泊位，请回答下列问题：（1）可在该道路两侧设置停车泊位的排列方式为；（2）如果这段道路长米，那么在道路两侧最多可以设置停车泊位个.(参考数据：，)21．（6分）如图，在中，点，分别在，上，，，.求四边形的面积.22．（8分）重庆八中建校80周年，在体育、艺术、科技等方面各具特色，其中排球选修课是体育特色项目之一．体育组老师为了了解初一年级学生的训练情况，随机抽取了初一年级部分学生进行1分钟垫球测试，并将这些学生的测试成绩（即1分钟的垫球个数，且这些测试成绩都在60～180范围内）分段后给出相应等级，具体为：测试成绩在60～90范围内的记为D级（不包括90），90～120范围内的记为C级（不包括120），120～150范围内的记为B级（不包括150），150～180范围内的记为A级．现将数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图，其中在扇形统计图中A级对应的圆心角为90°，请根据图中的信息解答下列问题：（1）在这次测试中，一共抽取了名学生，并补全频数分布直方图：在扇形统计图中，D级对应的圆心角的度数为度．（2）王攀同学在这次测试中1分钟垫球140个．他为了了解自己垫球个数在年级排名的大致情况，他把成绩为B等的全部同学1分钟垫球人数做了统计，其统计结果如表：成绩（个）120125130135140145人数（频数）2831098（垫球个数计数原则：120＜垫球个数≤125记为125，125＜垫球个数≤130记为130，依此类推）请你估计王攀同学的1分钟垫球个数在年级排名的大致情况．23．（8分）如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE．（1）求证：△ACB是等腰直角三角形；（2）求证：OA2＝OE•DC：（3）求tan∠ACD的值．24．（8分）选用合适的方法解下列方程：

（1）x2-7x+10=0（2）3x2-4x-1=0（3）(x＋3)2＝(1－3x)225．（10分）在平面直角坐标系中，对“隔离直线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线：满足且，则称直线：是图形与的“隔离直线”，如图，直线：是函数的图像与正方形的一条“隔离直线”.

（1）在直线①，②，③，④中，是图函数的图像与正方形的“隔离直线”的为.（2）如图，第一象限的等腰直角三角形的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点的坐标是，⊙O的半径为，是否存在与⊙O的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式：若不存在，请说明理由；（3）正方形的一边在轴上，其它三边都在轴的左侧，点是此正方形的中心，若存在直线是函数的图像与正方形的“隔离直线”，请直接写出的取值范围.26．（10分）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，若AB＝1．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，E是第三象限内抛物线上的动点，过点E作EF∥AC交抛物线于点F，过E作EG⊥x轴交AC于点M，过F作FH⊥x轴交AC于点N，当四边形EMNF的周长最大值时，求点E的横坐标；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使得以Q、C、B、O为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，求点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，根据抛物线的对称轴判断b的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号；根据x=-1时y值的符号判断b与a+c的大小；根据x=2时y值的符号判断4a+2b+c的符号．【题目详解】解：①由图象可知：a＞0，c＞0，∵-＞0，∴b＜0，∴abc＜0，故①正确；

②当x=-1时，y=a-b+c＞0，故b＜a+c，故②正确；

③当x=2时，y=4a+2b+c＜0，故③错误，故选：A．【题目点拨】本题主要考查了抛物线图象与二次函数系数之间的关系以及函数值的符号问题，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．2、D【分析】根据概率公式先分别求出摸出黑球、白球和红球的概率，再进行比较，即可得出答案．【题目详解】解：∵不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，共有23个球，

∴摸出黑球的概率是，

摸出白球的概率是，

摸出红球的概率是，

∵＜＜，

∴从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性最大；

故选：D．【题目点拨】本题考查了可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．3、C【分析】连接OA、OB，作OH⊥AB，利用垂径定理和勾股定理求出OH的长，再根据圆周角定理求出∠ACB=∠AOH，即可利用等角的余弦值相等求得结果.【题目详解】如图，连接OA、OB，作OH⊥AB，∵AB=8，OH⊥AB，∴AH=AB=4，∠AOB=2∠AOH,∵OA=5，∴OH=,∵∠AOB=2∠ACB,∴∠ACB=∠AOH,∴=cos∠AOH=,故选：C.【题目点拨】此题考查圆的性质，垂径定理，勾股定理，三角函数，圆周角定理，利用圆周角定理求得∠ACB=∠AOH，由此利用等角的函数值相等解决问题.4、C【分析】根据中心对称图形的概念对各选项逐一分析判断即可得答案．【题目详解】A、不是中心对称图形，故本选项不合题意，B、不是中心对称图形，故本选项不合题意，C、是中心对称图形，故本选项符合题意，D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选C．【题目点拨】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5、C【解题分析】分三段讨论：①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；②相遇后向相反方向行驶至特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加；③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大；结合图象可得C选项符合题意．故选C．6、C【分析】根据反比例函数的定义可得|a|-2≠0,可解得.【题目详解】根据反比例函数的定义可得|a|-2≠0,可解得a≠±2.故选C.【题目点拨】本题考核知识点：反比例函数定义.解题关键点：理解反比例函数定义.7、A【分析】根据旋转变换的性质得到旋转变换后点A的对应点坐标，根据平移的性质解答即可．【题目详解】∵点C的坐标为（﹣1，0），AC=1，∴点A的坐标为（﹣3，0），如图所示，将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，则点A′的坐标为（﹣1，1），再向右平移3个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为（1，1），故选A．【题目点拨】本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移，掌握旋转变换、平移变换的性质是解题的关键．8、B【分析】根据1013年市政府共投资1亿元人民币建设了廉租房，预计1015年底三年共累计投资亿元人民币建设廉租房，由每年投资的年平均增长率为x可得出1014年、1015年的投资额，由三年共投资9.5亿元即可列出方程．【题目详解】解：这两年内每年投资的增长率都为，则1014年投资为1（1+x）亿元，1015年投资为1（1+x）1亿元，由题意则有，故选B.【题目点拨】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，正确理解题意是解题的关键.若原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）1．增长用“+”，下降用“-”.9、D【分析】根据直线和圆的位置关系来判断.【题目详解】设圆心到直线l的距离为d，则d≤10，当d＝10时，d＝r，直线与圆相切；当r＜10时，d＜r，直线与圆相交，所以直线与圆相切或相交.故选D点睛：本题考查了直线与圆的位置关系，①直线和圆相离时，d>r；②直线和圆相交时，d<r；③直线和圆相切时，d＝r(d为圆心到直线的距离)，反之也成立.10、D【分析】根据负数的定义，负数小于0即可得出答案.【题目详解】根据题意：负数是-1，故答案为：D.【题目点拨】此题主要考查了实数，正确把握负数的定义是解题关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、＞．【解题分析】根据已知条件求出二次函数的对称轴和开口方向，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y1的大小关系：∵二次函数y=﹣x1﹣1x+3的对称轴是x=﹣1，开口向下，∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大．∵点A（﹣7，y1），B（﹣8，y1）是二次函数y=﹣x1﹣1x+3的图象上的两点，且﹣7＞﹣8，∴y1＞y1．12、60π【分析】先利用勾股定理求出BC的长度，然后利用扇形的面积公式求解即可．【题目详解】解：∵它的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm．∴BC＝＝10（cm），∴圆锥的侧面积是：（cm1）．故答案为：60π．【题目点拨】本题主要考查勾股定理及扇形的面积公式，掌握勾股定理及扇形的面积公式是解题的关键．13、1【分析】利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算．【题目详解】把代入方程得：，

∴，

∴．

故答案为：1．【题目点拨】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．14、3-4【解题分析】试题分析：根据韦达定理可得：·==3，则方程的另一根为3；根据韦达定理可得：+=－=4=－m，则m=－4.考点：方程的解15、1【分析】根据三角函数的定义即可求解．【题目详解】∵cotB=，

∴AC==3BC=1．

故答案是：1．【题目点拨】此题考查锐角三角函数的定义及运用，解题关键在于掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边．16、（-2，-3）．【解题分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”可知：点P(2,3)关于原点对称的点的坐标是(−2,−3).故答案为（－2，－3）.17、【分析】可设x=4k，根据已知条件得到y=3k，再代入计算即可得到正确结论．【题目详解】解：∵，∴y=3k，x=4k；代入=故答案为【题目点拨】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度不大．18、3【解题分析】试题解析:由旋转的性质可得：AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB，∵AB=4，BC=7，∴CD=BC−BD=7−4=3.故答案为3.三、解答题(共66分)19、（1）；（2），；（3）经过点的双曲线的值不变.值为.【分析】（1）过点P作PE⊥BC于点E，依题意求得P、Q的坐标，进而求得PE、EQ的长，再利用勾股定理即可求得答案，由时间＝距离速度可求得t的取值范围；（2）当，即时，代入（1）求得的函数中，解方程即可求得答案；（3）过点作于点，求得OB的长，由，可求得，继而求得OD的长，利用三角函数即可求得点D的坐标，利用反比例函数图象上点的特征即可求得值.【题目详解】（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1：∵点B、C纵坐标相同，∴BC⊥y轴，∴四边形OPEC为矩形，∵运动的时间为秒，∴，在中，，，，∴，即，点Q运动的时间最多为：(秒)，点P运动的时间最多为：(秒)，∴关于的函数解析式及的取值范围为：；（2）当时，整理，得，解得：，.（3）经过点的双曲线的值不变.连接，交于点，过点作于点，如下图2所示.∵，，∴.∵，∴，∴，∴.∵，∴.在中，，，∴，，∴点的坐标为，∴经过点的双曲线的值为.【题目点拨】本题考查了二次函数的应用－动态几何问题，解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，构造正确的辅助线是解题的关键.20、（1）平行式或倾斜式．（2）1．【分析】（1）对应三种方式分别验证是否合适即可；（2）分别按照第（1）问选出来的排列方式计算停车泊位，进行比较取较大者即可.【题目详解】（1）除去两车道之后道路宽因为要在道路两旁设置停车泊位，所以每个停车泊位的宽必须小于等于3m，所以方式3垂直式不合适，排除；方式1平行式满足要求，对于房市，它的宽度为，要满足要求，必须有，即，所以当时，方式2倾斜式也能满足要求.故答案为平行式或倾斜式（2）若选择平行式，则可设置停车泊位的数量为（个）若选择倾斜式，每个停车泊位的宽度为，要使停车泊位尽可能多，就要使宽度尽可能小，所以取，此时每个停车位的宽度为，所以可设置停车泊位的数量为（个）故答案为1【题目点拨】本题主要考查理解能力以及锐角三角函数的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.21、21.【分析】利用平行判定，然后利用相似三角形的性质求得，从而求得，使问题得解.【题目详解】解：∵，∴，.∴.∵，∴.∵，∴.∴.【题目点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是本题的解题关键.22、（1）100，54；（2）王攀同学的1分钟垫球个数在年级排名是34名到42名之间【分析】（1）根据A级的人数和在扇形统计图中的度数可以求得本次抽查的学生人数，从而可以计算出D级的人数，进而可以将频数分布直方图补充完整，再根据统计图中的数据可以求得D级对应的圆心角的度数；（2）根据统计图中的数据和表格中的数据可以估计王攀同学的1分钟垫球个数在年级排名的大致情况．【题目详解】（1）在这次测试中，一共抽取了25÷＝100名学生，D级的人数为：100﹣20﹣40﹣25＝15，补全的频数分布直方图如图所示：D级对应的圆心角的度数为：360°×＝54°，故答案为：100，54；（2）由统计图可知，A级有25人，由表格可知，垫球145个的8人，垫球140个9人，25+8＝33，33+9＝42，∴王攀同学的1分钟垫球个数在年级排名是34名到42名之间．【题目点拨】本题主要考查扇形统计图和频数直方图的综合应用，理解扇形统计图和频数直方图中数据的意义，是解题的关键.23、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）tan∠ACD＝2﹣．【分析】（1）根据BM为切线，BC平分∠ABM，求得∠ABC的度数，再由直径所对的圆周角为直角，即可求证；（2）根据三角形相似的判定定理证明三角形相似，再由相似三角形对应边成比例，即可求证；（3）由图得到∠ACD＝∠ABD，根据各个角之间的关系求出∠AFD的度数，用AD表达出其它边的边长，再代入正切公式即可求得.【题目详解】（1）∵BM是以AB为直径的⊙O的切线，∴∠ABM＝90°，∵BC平分∠ABM，∴∠ABC＝∠ABM＝45°∵AB是直径∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°∴AC＝BC∴△ACB是等腰直角三角形；（2）如图，连接OD，OC∵DE＝EO，DO＝CO∴∠EDO＝∠EOD，∠EDO＝∠OCD∴∠EDO＝∠EDO，∠EOD＝∠OCD∴△EDO∽△ODC∴∴OD2＝DEDC∴OA2＝DEDC＝EODC（3）如图，连接BD，AD，DO，作∠BAF＝∠DBA，交BD于点F，∵DO＝BO∴∠ODB＝∠OBD，∴∠AOD＝2∠ODB＝∠EDO，∵∠CAB＝∠CDB＝45°＝∠EDO+∠ODB＝3∠ODB，∴∠ODB＝15°＝∠OBD∵∠BAF＝∠DBA＝15°∴AF＝BF，∠AFD＝30°∵AB是直径∴∠ADB＝90°∴AF＝2AD，DF＝AD∴BD＝DF+BF＝AD+2AD∴tan∠ACD＝tan∠ABD＝＝＝2﹣【题目点拨】本题考查圆的切线、角平分线的性质，相似三角形的性质以及三角函数中正切的计算问题，属综合中档题.24、（1）x1=2，x2=5；（2）x=；（3）x=-1.5或x=2【分析】（1）运用因式分解法求解；（2）运用公式法求解；（3）运用直接开平方知识求解.【题目详解】解：（1）x2-7x+11=1．（x-2）（x-5）=1，x-2=1或x-5=1，解得x1=2，x2=5.（2）△=（-4）2-4×3×（-1）=28，x=所以x1=；x2=；（3）∵（x+3）2=（1-3x）2，∴x+3=1-3x或x+3=-1+3x，解得：x=-1.5或x=2．【题目点拨】考核知识点：解一元二次方程.掌握一般解法是关键.25、(1)①④;(2);(3)或【分析】(1)根据的“隔离直线”的定义即可解决问题；(2)存在，连接，求得与垂直且过的直接就是“隔离直线”，据此即可求解；(3)分两种情形正方形在x轴上方以及在x轴下方时，分别求出正方形的一个顶点在直线上时的t的值即可解决问题．【题目详解】(1)根据的“隔离直线”的定义可知，是图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”；直线也是图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”；而与不满足图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”的条件；

故答案为：①④；(2)存在，理由如下：连接，过点作轴于点，如图，在Rt△DGO中，，∵⊙O的半径为，

∴点D在⊙O上．

过点D作DH⊥OD交y轴于点H，

∴直线DH是⊙O的切线，也是△EDF与⊙O的“隔离直线”．设直线OD的解析式为，将点D(2，1)的坐标代入得，解得：，∵DH⊥OD，∴设直线DH的解析式为，将点D(2，1)的坐标代入得，解得：，∴直线DH的解析式为，∴“隔离直线”的