楚雄州姚安一中高二上学期期中数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年云南省楚雄州姚安一中高二(上）期中数学试卷（解析版)(理科)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.）1．不等式x（x﹣3）＜0的解集是（)A．{x｜x＜0} B．｛x|x＜3} C．{x|0＜x＜3｝ D．{x｜x＜0或x＞3}2．已知△ABC中,a=4，b=4，∠A=30°,则∠B等于（）A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°3．若等差数列{an｝的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=（）A．12 B．13 C．14 D．154．若非空集合M⊆N，则“a∈M且a∈N”是“a∈（M∩N）”的(）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．等比数列{an｝中，a6=6，a9=9,则a3等于(）A．4 B． C． D．26．在△ABC中，∠A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A． B．3 C． D．77．函数y=x（3﹣2x）（）的最大值是（）A． B． C． D．8．不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，则a的取值范围是（）A．[﹣4，4] B．（﹣4,4） C．（﹣∞，﹣4）]∪[4，+∞］） D．（﹣∞，﹣4)∪（4，+∞）9．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3:2:4，则cosC的值为（)A． B． C． D．10．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积是（）A．3 B．6 C． D．911．在200m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°,则塔高为（）A．m B．m C．m D．m12．若lg2，lg(2x﹣1），lg(2x+3）成等差数列,则x的值等于（）A．1 B．0或32 C．32 D．log25二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。)13．设实数x、y满足约束条件则目标函数z=2x﹣y的最大值是．14．关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为｛x|﹣1＜x＜2}则关于x的不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集为．15．在等比数列{an｝中,a4a5=32,log2a1+loga2+…+log2a8=．16．下列四个命题中：①“等边三角形的三个内角均为60"的逆命题；②“若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实根”的逆否命题;③“全等三角形的面积相等”的否命题；④“若ab≠0，则a≠0”的否命题．其中真命题的个数是．三、解答题（本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。）17．(10分）在△ABC中，已知a=2，b=6，A=30°，求B及S△ABC．18．（12分）命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立，命题q：∀x∈[1,2],x2﹣a≥0，若p∨q为真,p∧q为假．求实数a的取值范围．19．（12分)已知x,y都是正数．（1）若3x+2y=12，求xy的最大值；(2）若x+2y=3,求的最小值．20．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B,C成等差数列．(Ⅰ)求cosB的值；（Ⅱ)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．21．(12分）在数列｛an}中，a1=1，an﹣1=2an．（1）求数列｛an｝的通项公式；(2）若bn=（2n+1）an,求数列｛an}的前n项和Tn．22．（12分）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=)

2016—2017学年云南省楚雄州姚安一中高二(上）期中数学试卷(解析版）(理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。)1．不等式x（x﹣3）＜0的解集是（)A．｛x|x＜0｝ B．{x｜x＜3｝ C．{x|0＜x＜3} D．｛x|x＜0或x＞3}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】结合函数y=x（x﹣3）的图象,求得不等式x(x﹣3）＜0的解集．【解答】解：由不等式x（x﹣3）＜0，结合函数y=x（x﹣3）的图象,可得不等式x（x﹣3）＜0的解集为｛x|0＜x＜3}，故选:C．【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题．2．已知△ABC中,a=4，b=4，∠A=30°，则∠B等于（）A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°【考点】正弦定理．【分析】解法一：由A的度数求出sinA的值，再由a与b的值,利用正弦定理求出sinB的值，由B不可能为钝角或直角，得到B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；解法二：由a=b,利用等边对等角,得到A=B，由A的度数求出B的度数即可．【解答】解：法一：∵a=4，b=4,∠A=30°，∴根据正弦定理=得:sinB==，又B为锐角，则∠B=30°;法二：∵a=b=4，∠A=30°,∴∠A=∠B=30°．故选A【点评】此题考查了正弦定理，等腰三角形的判定，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．3．若等差数列{an}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=(）A．12 B．13 C．14 D．15【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式,结合已知条件列出关于a1，d的方程组,解出a1，d，然后代入通项公式求解即可．【解答】解：设｛an}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，∴a7=1+6×2=13，故选B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．4．若非空集合M⊆N,则“a∈M且a∈N”是“a∈（M∩N）”的（)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【分析】据两个集合的包含关系画出韦恩图，判断出前者成立是否能推出后者成立，反之后者成立能否推出前者成立,利用充要条件的定义得到结论．【解答】解：∵集合M⊆N，∴两个集合的韦恩图为∴“a∈M且a∈N"⇒“a∈（M∩N）”反之“a∈（M∩N)”⇒“a∈M且a∈N”∴“a∈M且a∈N”是“a∈（M∩N）"的充要条件．故选C【点评】判断一个命题是另一个命题的什么条件,一般先化简各个命题,再利用充要条件的定义加以判断．5．等比数列｛an}中，a6=6,a9=9，则a3等于（）A．4 B． C． D．2【考点】等比数列的性质．【分析】在等比数列｛an｝中，若m，n，p，q∈N＊，则am•an=ap•aq．借助这个公式能够求出a3的值．【解答】解：∵3+9=6+6，∴==4．故选A．【点评】本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比数列通项公式的灵活运用．6．在△ABC中，∠A=60°,AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A． B．3 C． D．7【考点】余弦定理．【分析】由△ABC的面积S△ABC=，求出AC=1，由余弦定理可得BC，计算可得答案．【解答】解:∵S△ABC==×AB×ACsin60°=×2×AC×,∴AC=1，△ABC中，由余弦定理可得BC==，故选A．【点评】本题考查三角形的面积公式,余弦定理的应用,求出AC，是解题的关键．7．函数y=x(3﹣2x）（）的最大值是(）A． B． C． D．【考点】基本不等式．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵，∴y=x（3﹣2x）=•2x（3﹣2x)=，当且仅当x=时取等号．∴函数y=x（3﹣2x）（）的最大值是．故选：A．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力,属于基础题．8．不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，则a的取值范围是(）A．[﹣4，4] B．（﹣4,4) C．（﹣∞，﹣4）］∪[4，+∞］） D．(﹣∞，﹣4）∪（4,+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】利用一元二次函数图象，分析不等式解集为空集的条件，再求解即可．【解答】解：∵不等式x2+ax+4＜0的解集为空集,∴△=a2﹣16≤0⇒﹣4≤a≤4．故选A【点评】本题考查一元二次不等式的解集．9．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为（）A． B． C． D．【考点】余弦定理．【分析】根据正弦定理化简已知的比例式，得到a：b：c的比值，根据比例设出a，b及c，利用余弦定理表示出cosC，把表示出的a,b及c代入,化简即可求出值．【解答】解：由正弦定理==化简已知的比例式得：a:b：c=3：2：4，设a=3k，b=2k，c=4k，根据余弦定理得cosC===﹣．故选D【点评】此题考查了余弦定理，正弦定理及比例的性质,熟练掌握定理是解本题的关键．10．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积是(）A．3 B．6 C． D．9【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】画出不等式表示的区域为直线y=x+4，y=﹣x及x=1围成的三角形，求这个三角形的面积即可．【解答】解:如图，画出不等式表示的区域为直线y=x+4,y=﹣x及x=1围成的三角形，区域面积为：×3×6=9．故选D．【点评】本题考查了二元一次不等式与一次函数的关系及三角形面积的计算方法，注意运用图形结合可以更直观地得解．11．在200m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为(）A．m B．m C．m D．m【考点】解三角形的实际应用．【分析】由tan30°==得到BE与塔高x间的关系，由tan60°=求出BE值，从而得到塔高x的值．【解答】解:如图所示:设山高为AB，塔高为CD为x，且ABEC为矩形，由题意得tan30°===，∴BE=（200﹣x）．tan60°==，∴BE=，∴=(200﹣x）,x=（m)，故选A．【点评】本题考查直角三角形中的边角关系，体现了数形结合的数学思想,求出BE值是解题的关键，属于中档题．12．若lg2,lg（2x﹣1），lg(2x+3）成等差数列,则x的值等于（）A．1 B．0或32 C．32 D．log25【考点】等差数列的性质．【分析】根据题意，可得lg2+lg（2x+3)=2lg（2x﹣1），由对数的运算性质可得lg［2•(2x+3）]=lg（2x﹣1）2,解可得2x的值,由指数的运算性质可得答案．【解答】解:若lg2,lg(2x﹣1），lg(2x+3）成等差数列，则lg2+lg（2x+3）=2lg（2x﹣1)，由对数的运算性质可得lg[2•（2x+3）］=lg（2x﹣1)2，解得2x=5或2x=﹣1(不符合指数函数的性质,舍去)则x=log25故选D．【点评】本题考查指数、对数的运算性质以及等差数列的性质，解题时注意结合指数函数的性质,否则容易产生增根．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上。）13．设实数x、y满足约束条件则目标函数z=2x﹣y的最大值是4．【考点】简单线性规划．【分析】根据目标函数的解析式形式，分析目标函数的几何意义，然后判断目标函数取得最优解的点的坐标,即可求解【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=2x﹣y可得y=2x﹣z，则﹣z表示直线z=2x﹣y在y轴上的截距，截距越小,z越大由可得A(2，0）,此时z最大为4，故答案为：4【点评】本题考查线性规划知识的运用,考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想14．关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x｜﹣1＜x＜2}则关于x的不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集为(﹣2，1）．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】利用一元二次不等式的解集可知方程ax2+bx+2=0的解是2和﹣1，利用根与系数的关系求得a、b的值，再解所求的不等式解集即可．【解答】解：关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为｛x｜﹣1＜x＜2}，∴a＜0且方程ax2+bx+2=0的解是2和﹣1，∴=2×(﹣1），且﹣=2+（﹣1），解得a=﹣1，b=1；∴不等式bx2﹣ax+2＞0即为x2+x﹣2＞0,解得﹣2＜x＜1，∴不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集是（﹣2，1）．故答案为:（﹣2,1）．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．15．在等比数列｛an}中，a4a5=32，log2a1+loga2+…+log2a8=20．【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．【分析】利用等比数列的定义和性质，把要求的式子化为log2（a4a5）4，把条件代入并利用对数的运算性质求出结果．【解答】解：正项等比数列｛an}中，∵log2a1+log2a2+…+log2a8=log2[a1a8•a2a7•a3a6•a4a5］=log2（a4a5）4=log2324=20，故答案为:20【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，对数的运算性质的应用，属于中档题．16．下列四个命题中：①“等边三角形的三个内角均为60”的逆命题；②“若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实根"的逆否命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题；④“若ab≠0，则a≠0”的否命题．其中真命题的个数是①②．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①,三个内角均为60°的三角形一定是等边三角形；②，原命题为真，其逆否命题与原命题同真假;③，不全等三角形的不面积也可以相等；④,“若ab=0，则a=0或b=0"．【解答】解：对于①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题：三个内角均为60°的三角形是等边三角形，故为真命题；对于②，“若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0的△=4+4k＞0,有实根”，∴原命题为真,其逆否命题与原命题同真假，故为真命题;对于③,“不全等三角形的面积可以相等”，故其否命题：不全等三角形的不面积相等,故为假命题；对于④,若ab=0,则a=0或b=0"，故为假命题．故选:D【点评】本题考查了命题的真假判定,属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。）17．（10分）（2014春•斗门区校级期末）在△ABC中,已知a=2，b=6，A=30°，求B及S△ABC．【考点】正弦定理．【分析】直接利用正弦定理，结合A的值，求出B的值，利用三角形的面积公式求出面积即可．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理=得，∴sinB=sinA=•=．又A=30°，且a＜b，∴B＞A．∴B=60°或120°．①当B=60°时，C=90°，△ABC为直角三角形，S△ABC=ab=6．②当B=120°时,C=30°，△ABC为等腰三角形，S△ABC=absinC=3．【点评】本题考查正弦定理以及三角形的面积的求法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力．18．(12分）(2013春•吉林期中）命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立，命题q：∀x∈［1，2］，x2﹣a≥0，若p∨q为真，p∧q为假．求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据二次函数的图象和性质我们可以求出命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立时，及命题q：∀x∈［1,2],x2﹣a≥0时,a的取值范围，根据p∨q为真,p∧q为假,结合复合命题的真值表,可得p、q一真一假，分类讨论后可得实数a的取值范围．【解答】解：设g（x)=x2+2ax+4，由于关于x的不等式x2+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立，所以函数g（x)的图象开口向上且与x轴没有交点,故△=4a2﹣16＜0，∴﹣2＜a＜2．…（2分）若q为真命题，a≤x2恒成立，即a≤1．…由于p或q为真，p且q为假，可知p、q一真一假．…①若p真q假,则∴1＜a＜2；…（7分）②若p假q真，则∴a≤﹣2；…（9分）综上可知,所求实数a的取值范围是｛a｜1＜a＜2或a≤﹣2}…(10分）【点评】本题以复合命题的真假判断为载体考查了二次不等式恒成立问题，其中根据二次函数的图象和性质，分别求出对应的a值,是解答本题的关键．19．(12分)（2016春•永昌县校级期末)已知x,y都是正数．（1）若3x+2y=12,求xy的最大值；（2）若x+2y=3，求的最小值．【考点】基本不等式．【分析】(1）由于3x+2y=12，再根据xy=•3x•2y,利用基本不等式求得xy的最大值．(2）由x+2y=3,得到1=,故=(）（）,利用基本不等式求得最小值．【解答】解:（1）∵3x+2y=12，∴xy=•3x•2y≤×(）2=6，当且仅当3x=2y=6时,等号成立．∴当且仅当3x=3时,xy取得最大值．(2）∵x+2y=3,∴1=,∴=（）(）=+++≥1+2=1+，当且仅当=，即x=3﹣3,y=3﹣时取等号，∴最小值为．【点评】本题主要考查基本不等式的应用,注意基本不等式的使用条件，以及等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题．20．（12分)(2012•辽宁）在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．(Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．【考点】数列与三角函数的综合．【分析】（Ⅰ）在△ABC中,由角A，B，C成等差数列可知B=60°，从而可得cosB的值;（Ⅱ）(解法一)，由b2=ac，cosB=,结合正弦定理可求得sinAsinC的值；(解法二），由b2=ac,cosB=，根据余弦定理cosB=可求得a=c，从而可得△ABC为等边三角形，从而可求得sinAsinC的值．【解答】解:(Ⅰ）由2B=A+C,A+B+C=180°,解得B=60°，∴cosB=；…6分（Ⅱ）（解法一）由已知b2=ac，根据正弦定理得sin2B=sinAsinC,又cosB=，∴sinAsinC=1﹣cos2B=…12分（解法二）由已知b2=ac及cosB=，根据余弦定理cosB=解得a=c,∴B=A=C=60°，∴sinAsinC=…12分【点评】本题考查数列与三角函数的综合，着重考查等比数列的性质，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查分析转化与运算能力,属于中档题．21．（12分）（2016秋•大姚县校级期中）在数列{an｝中，a1=1，an﹣1=2an．（1)求数列｛an}的通项公式；（2）若bn=（2n+1）an，求数列｛an}的前n项和Tn．【考点】数列的求和;数列递推式．【分析】(1）通过a1=1，an﹣1=2an,即可得到通项公式，(2）根据错位相减法即可求出前n项和【解答】解：(1）a1=1，an﹣1=2an,∴=，∴数列{an｝是以1为首项，以为公比的等比