江苏专版2023-2024学年新教材高中数学第4章数列测评苏教版选择性必修第一册

第4章测评（时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.等差数列的首项为1，公差不为0，若,,成等比数列，则的前6项和为()A. B. C.3 D.82.在等比数列中，，，则()A.8 B. C.16 D.3.已知数列是等差数列,且,,那么()A. B. C. D.4.在等差数列中，，其前项和为，若，则()A.2021 B. C. D.20225.已知等差数列的前项和为，若，，则的取值范围是()A. B.C. D.6.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，.这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2022项中奇数的个数为()A.1012 B.1346 C.1348 D.13507.将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，进行排列：（1）,，,，，则下列结论正确的是()A.第10个括号内的第一个数为1025B.2021在第11个括号内C.前10个括号内一共有1025个数D.第10个括号内的数字之和8.已知数列的前项和为，，，且，若对任意的都成立，则实数的最小值为()A. B. C. D.1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.记为等差数列的前项和，若，则以下结论一定正确的是()A. B.的最大值为 C. D.10.数列的通项公式满足，下列描述正确的有()A.当时，数列一定有最大值B.当时，数列为递减数列C.当时，数列为递减数列D.当，且为整数时，数列必存在两项相等的最大项11.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，.设第层有个球，从上往下层球的总数为，记，则()A. B.C.， D.的最大值为12.已知是数列的前项和，，则()A.B.C.当时，D.当数列单调递增时，的取值范围是，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列的前项和为，且满足，则的值为.14.设是首项为1的正项数列，且，则通项公式.15.已知数列满足，前16项和为540，则.16.[2021新高考Ⅰ]某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折次，那么.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列和满足，，，.（1）求与；（2）记数列的前项和为，求.18.（12分）设数列满足，.（1）计算,，猜想的通项公式；（2）用数学归纳法证明上述猜想，并求的前项和.19.（12分）已知数列中，，，，设.（1）证明：数列是等比数列；（2）设数列的前项和为，求；（3）设，设数列的前项和为，求证：.20.（12分）某中学有在校学生2000人，没有患感冒的同学.由于天气骤冷，在校学生患流行性感冒人数剧增，第一天新增患病同学10人，之后每天新增的患病同学人数均比前一天多9人.由于学生患病情况日益严重，学校号召同学接种流感疫苗以控制病情.从第8天起，新增患病同学的人数均比前一天减少，并且每天有10名患病同学康复.（1）求第天新增患病同学的人数.（2）按有关方面规定，当天患病同学达到全校人数的时必须停课，问该校有没有停课的必要？请说明理由.21.（12分）已知数列满足，，.（1）若，①求数列的通项公式；②若，求的前项和.（2）若，且对，有，证明：.22.（12分）设，若无穷数列满足以下性质，则称为数列：①且.的最大值为.（1）若数列为公比为的等比数列，求的取值范围，使得为数列.（2）若数列满足：，使得,,成等差数列.①数列是否可能为等比数列？并说明理由.②记数列满足，数列满足，且，判断与的单调性，并求出时，的值.第4章测评一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A2.A3.B4.C[解析]因为数列为等差数列，故，则.当时，，则，所以数列是等差数列，设其公差为，又，所以.又，所以，所以，即.故选.5.C[解析]由题意得，，则.因为，可得，则.设等差数列的公差为，则，由题意得可得，即的取值范围是,.故选.6.C[解析]由已知可得为奇数，为奇数，为偶数.因为，所以为奇数，为奇数，为偶数，，所以为奇数，为奇数，为偶数.又，故该数列的前2022项中共有1348个奇数.故选.7.D[解析]由题意可得，第个括号内有个数.对于，由题意得,前9个括号内共有（个）数，所以第10个括号内的第一个数为数列的第512项，所以第10个括号内的第一个数为，故错误；对于，前10个括号内共有（个）数，故错误；对于，令，得，所以2021为数列的第1011项，由，选项的分析可得2021在第10个括号内，故错误；对于，因为第10个括号内的第一个数为，最后一个数为，所以第10个括号内的数字之和为，故正确.故选.8.C[解析]数列的前项和为，，，且，所以，故.因为，所以，所以，，，，则，故，所以，所以.因为对任意的都成立，所以.设，则.当时，.当时，，因此，即，故的最小值为.故选.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.AC[解析]设等差数列的公差为.由，可得，解得.又由，得，故正确；因为公差的正负不能确定，所以可能为最大值或最小值，故错误；由，得，故正确；因为，所以，即，故错误.故选.10.ACD[解析]由题意，只需考虑的情况.由，可知，当时，，当时，数列递减，所以一定有最大值，故正确；当时，,，故,故数列不是递减数列，故错误；当,时，，所以时，数列为递减数列，故正确；设，当，即时，数列为递减数列，当时，数列为递增数列，，最大项为,,所以数列必存在两项相等的最大项，故正确.故选.11.ACD[解析]，，，，，故选项正确；因为，所以，故选项错误；因为，，,，，所以，所以当时，，故选项正确；，，所以当时，；当时，；当时，，所以当或时，有最大值为，故选项正确.故选.12.ACD[解析]由题意可知，因为，所以当时，，两式相减可得，，故选项正确；，且，两式相减可得，，因为未知，故选项错误；当时，因为，所以，则，故选项正确；由，，要使数列单调递增，则必有，且，所以，且，解得，故选项正确.故选.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.14.[解析]由，得.因为，所以，所以，所以，所以又满足上式，所以.15.7[解析]，当为奇数时，；当为偶数时，.设数列的前项和为，则，解得.16.5;[解析]对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种.由题意得，，，，，，，设，则，两式作差得，因此.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）解由，，得.由题意知，当时，，故.当时，①，②，，得，整理得，所以.（2）由（1）知，，因此③，④，，得,所以.18.（1）解因为数列满足，，所以，，由此可猜想.（2）①当时，显然成立.②假设当时，命题成立，即，则当时，，所以时也成立，由①②可得，.因为，所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，所以.19.（1）证明因为，所以.因为，所以，，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.（2）解由（1）得，，所以当时，，当时也成立，所以.因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列的前项和为.（3）证明因为，所以数列的前项和，即.20.（1）解当,时，因为，公差为9，所以.当,时，因为，公比为，所以，所以.（2）该校没有停课的必要.理由：设为第天患病总人数，则当时，，当时，.令，,所以该校没有停课的必要.21.（1）①解当时，.因为，所以，可知，所以，即，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，即.②由①得，，所以，所以,即.（2）证明当时，，则.因为，所以.又因为与不能同时成立，所以上式等号不成立，即对，.22.（1）解