常见数列类型的通项公式的求法一、已知数列的前几项求通项用观察猜想归纳法求通项

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精常见数列类型的通项公式的求法一、已知数列的前几项求通项，用观察猜想归纳法求通项例1。求下列数列的一个通项公式（1）EQ\F（22—1,2），EQ\F(32-1,3）,EQ\F（42—1，4），EQ\F(52-1，5），…（2）－EQ\F(1,1×2),EQ\F(1，2×3)，－EQ\F（1,3×4)，EQ\F（1，4×5），…（3）EQ\F(2，3），1，EQ\F(10,7)，EQ\F(17,9),EQ\F(26，11)，…（4）3，33，333,3333，…分析：（1）第n项的分母是n+1,分子是，故；（2)第n项的分母是n（n+1），分子是1，符号是，故an=EQ\F((－1）n，n（n+1）)；（3）EQ\F（2,3),1，EQ\F(10,7）,EQ\F(17，9），EQ\F(26，11)，…即,…，故an=EQ\F(n2＋1,2n＋1)；（4)将数列各项改写为：eq\f（9,3)，eq\f（99,3)，eq\f（999,3），eq\f（9999，3),…,分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1，104－1,…,所以an＝eq\f(1，3)（10n－1）．评注：(1）认真观察所给数据的结构特征，找出an与n的对应关系，正确写出对应的表达式。（2）若是解答题，用观察猜想法得到的公式还要用数学归纳法证明。变式练习1.写出下面各数列的一个通项公式：（1）eq\f（1,2）,eq\f(3,4)，eq\f（7，8），eq\f（15,16),eq\f(31，32),…;（2)－1,eq\f（3,2），－eq\f(1,3）,eq\f(3，4），－eq\f（1,5），eq\f(3，6），…；［审题视点]先观察各项的特点,然后归纳出其通项公式，要注意项与项之间的关系，项与前后项之间的关系．解（1）每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23,24，…，所以an＝eq\f(2n－1,2n).(2)奇数项为负,偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3，4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·eq\f（2＋－1n，n）(也可写为an＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(－\f（1，n)，n为正奇数,,\f(3,n）,n为正偶数.））)变式练习2.(1）已知数列｛an｝的前四项分别为1，0，1，0，给出下列各式：①an＝eq\f(1－－1n，2）；②an＝eq\f（1＋－1n,2）；③an＝sin2eq\f（nπ，2)；④an＝eq\f（1－cosnπ,2）;⑤an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1n为正偶数，0n为正奇数)）；⑥an＝eq\f（1＋－1n＋1，2)＋(n－1）（n－2)．其中可以作为数列｛an｝的通项公式的有________(填序号）．答案①③④（2）（2012泰州月考)数列1，1，2，3，5，8，13，x,34，55,…中x的值为________．解：观察数列中项的规律，易看出数列从第三项开始每一项都是其前两项的和．答：21。变式练习3。(2014广东理)设数列的前和为,满足，且。(1)求的值；（2）求数列的通项公式;故变式练习4.已知数列｛an}的前n项和为，，,求{an}的通