力的合成与分解

第三讲力的合成与分解[人教版必修第一册]1．第三章第4节【例题】，除了作图法以外还有其它的方法求合力的大小吗？提示：还可以使用勾股定理来进行计算，。2．第三章第4节P70页，矢量的合成除了平行四边形定则以外，还有其它的运算法则吗？提示：三角形定则。3．第三章第4节【练习与应用】第4小题，两力合成的最大值是多少？最小值是多少？提示：两力合成的最大值等于两分力之和，即为12N；最小值等于两分力之差的绝对值，即为8N。4.第三章第4节P68页，两个小孩分别用F1、F2两个力共同提着一桶水时，水桶保持静止，与一个大人单独向上用力F提着这桶水时，水桶也保持静止，能够看出分力与合力之间的关系是？提示：等效替代。考点一力的合成一、合力与分力共点力1．合力与分力定义：如果一个力单独作用产生的效果跟几个共点力共同作用产生的效果相同，这一个力就叫作那几个力的合力，原来那几个力叫作这一个力的分力。关系：合力和分力是等效替代的关系。2．共点力作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的力。如图所示均是共点力。二、力的合成1．运算法则：（1）平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向。如图甲所示。（2）三角形定则：把两个矢量首尾相接，从而求出合矢量的方法。如图乙所示。2．求合力的方法：作图法作出力的图示，结合平行四边形定则，用刻度尺量出表示合力的线段的长度，再结合标度算出合力大小。计算法根据平行四边形定则作出力的示意图，然后利用勾股定理、三角函数、正弦定理等求出合力。3．合力的范围（1）两个共点力的合力大小的范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。①两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。②当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两个力同向时，合力最大，为F1＋F2。（2）三个共点力的合力大小范围①最大值：当三个分力同方向时，合力最大，即Fmax＝F1＋F2＋F3。②最小值：如果一个力的大小处于另外两个力的合力大小范围内，则其合力的最小值为零；如果不处于，则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)（其中F1为三个力中最大的力）。题型一两个力的合力范围如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ角之间的关系图像（0≤θ≤2π），下列说法中正确的是（）A．合力大小的变化范围是0≤F≤14NB．合力大小的变化范围是2N≤F≤10NC．这两个分力的大小分别为6N和8ND．这两个分力的大小分别为2N和8NC由题图可知：当两力夹角为180°时，两力的合力为2N，而当两力夹角为90°时，两力的合力为10N。则这两个力的大小分别为6N、8N，故C正确，D错误。当两个力方向相同时，合力大小等于两个力之和14N；当两个力方向相反时，合力大小等于两个力之差2N，由此可见：合力大小的变化范围是2N≤F≤14N，故A、B错误。题型二三个力的合力范围现有三个共点力F1、F2、F3，关于它们的合力F的大小，下列说法中正确的是（）A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3B．F至少比F1、F2、F3中的某一个大C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零C合力不一定大于分力，B错误；三个共点力的合力的最小值能否为零，取决于任何一个力是否都在其余两个力的合力范围内，由于三个力大小未知，所以三个力的合力的最小值不一定为零，A错误；当三个力的大小分别为3a、6a、8a时，其中任何一个力都在其余两个力的合力范围内，C正确；当三个力的大小分别为3a、6a、2a时，不满足上述情况，D错误。题型三作图法求合力某物体同时受到2个共点力作用，在如图所示的四种情况中（坐标纸中每格的边长均表示1N大小的力），物体所受合外力最大的是（）C题A图中，将F1与F2进行合成，求得合力的大小为F合＝3N，如图甲所示；题B图中，将F1与F2进行合成，求得合力的大小为F合＝eq\r(32＋42)N＝5N，如图乙所示；题C图中，将F1与F2进行合成，求得合力的大小为F合＝4eq\r(2)N，如图丙所示；题D图中，将F1与F2进行合成，求得合力的大小为F合＝3N，如图丁所示，故选项C符合题意。题型四计算法求合力（2021·邯郸模拟）在平面内有作用于同一点的四个力，以力的作用点为坐标原点O，四个力的方向如图所示，其中F1＝6N，F2＝8N，F3＝4N，F4＝2N。这四个力的合力方向指向（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限AF1＝6N，方向沿x轴的正向，F3＝4N，沿x轴负向，故F1与F3的合力F13沿着x轴的正方向，为2N；F2＝8N，沿y轴正向，F4＝2N，沿y轴负向，故F2与F4的合力F24为6N，沿着y轴正方向；最后再将F13与F24合成，故合力F1234为2eq\r(10)N，指向第一象限，选项A正确，B、C、D错误。几种特殊情况的共点力的合成几种特殊情况的共点力的合成类型作图合力的计算两力互相垂直F＝tanθ＝两力等大，夹角为θF＝2F1cosF与F1夹角为两力等大，夹角为120°F′＝FF′与F夹角为60°1．（多选）一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2N、2N、3N。下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是（）A．物体所受静摩擦力可能为2NB．物体所受静摩擦力可能为4NC．物体可能仍保持静止D．物体一定被拉动ABC两个2N的力的合力范围为0～4N，然后与3N的力合成，则三力的合力范围为0～7N，由于最大静摩擦力为5N，因此可判定选项A、B、C正确，选项D错误。2．明代宋应星在《天工开物》一书中描述了测量弓力的方法：“以足踏弦就地，秤钩搭挂弓腰，弦满之时，推移秤锤所压，则知多少。”意思是：可以用脚踩弓弦两端，将秤钩钩住弓的中点往上拉，弦满之时，推移秤锤称平，就可知道弓力大小。如图所示，假设弓满时，弓弦弯曲的夹角为θ，秤钩与弦之间的摩擦不计，弓弦的拉力即弓力，满弓时秤钩的拉力大小为F，则下列说法正确的是（）A．F一定，θ越小，弓力越大B．θ一定，弓力越大，F越小C．弓力一定，θ越大，F越大D．θ一定，F越大，弓力越大D如图，对O点受力分析，受秤钩的拉力F，弓弦的拉力T作用，秤钩的拉力F大小等于两侧弓弦的拉力T的合力，由，可得F一定，θ越小，弓力T越小；θ一定，弓力越大，F越大；弓力一定，θ越大，F越小；θ一定，F越大，弓力越大。故D正确。3．2020年12月3日23时10分，嫦娥五号上升器3000N发动机工作约6分钟，成功将携带样品的上升器送到预定环月轨道，实现了我国首次飞行器在地外天体起飞。假设上升器在起飞后的某段时间内的飞行方向与水平面成θ角，且速度在不断增大，如图所示。此段时间发动机的喷气方向可能（）A．沿1的方向 B．沿2的方向C．沿3的方向 D．沿4的方向B假设上升器在起飞后的某段时间内的飞行方向与水平面成θ角，且速度在不断增大，则合力方向与3在一条线上，而飞行器受到沿1方向的引力作用，根据合成可知，推力方向应夹在1、3方向之间向左上，故喷气方向可能沿2的方向。考点二力的分解一、矢量和标量1．矢量：既有大小又有方向的量，运算时遵从平行四边形定则。2．标量：只有大小没有方向的量，运算时按算术法则相加减。二、力的分解1．定义：求一个已知力的分力的过程。2．运算法则：平行四边形定则或三角形定则。3．两种分解方法正交分解法效果分解法分解方法将一个力沿着两个互相垂直的方向进行分解的方法根据一个力产生的实际效果进行分解实例分析x轴方向上的分力：Fx＝Fcosθy轴方向上的分力：Fy＝FsinθF1＝GcosθF2＝Gtanθ三、力的分解的唯一性和多解性已知条件示意图解的情况已知合力与两个分力的方向（两个分力不共线）已知合力与一个分力的大小和方向已知合力与一个分力的大小及另一个分力的方向①当F1＝Fsinθ或F1≥F时，有一组解；②当F1＜Fsinθ时，无解；③当Fsinθ＜F1＜F时，有两组解易错点：已知合力和两个不在同一直线上的分力的大小，许多同学认为只有如下两种分解。事实上，以F为轴在空间将该平行四边形转动一周，每一个平面分力方向均不同，因此，此情形应有无数组解。题型一力的效果分解法（2022·广东·联考）如图甲所示，将由两根短杆组成的一个自锁定起重吊钩放入被吊的空罐内，使其张开一定的夹角压紧在罐壁上，其内部结构如图乙所示。当钢绳向上提起时，两杆对罐壁越压越紧，当摩擦力足够大时，就能将重物提升起来，且罐越重，短杆提供的压力越大。若罐的质量为m，短杆与竖直方向的夹角θ＝60°，匀速吊起该罐时，短杆对罐壁的压力大小为（短杆的质量不计，重力加速度为g）（）A．mg B． C． D．B先对罐和短杆整体受力分析，受重力和拉力，根据平衡条件，拉力等于重力，故T＝mg；再将钢绳的拉力沿着两个短杆方向分解，如图所示，解得T1＝T2＝eq\f(\f(T,2),cosθ)＝mg，最后将短杆方向分力沿着水平和竖直方向正交分解，如图所示，T1x＝T1sinθ＝eq\f(\r(3),2)mg，则短杆对罐壁的压力为eq\f(\r(3),2)mg，故选B。题型二力的正交分解法（2022·辽宁高考）如图所示，蜘蛛用蛛丝将其自身悬挂在水管上，并处于静止状态。蛛丝OM、ON与竖直方向夹角分别为α、β（α＞β）。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力，则（）A．F1的竖直分力大于F2的竖直分力B．F1的竖直分力等于F2的竖直分力C．F1的水平分力大于F2的水平分力D．F1的水平分力等于F2的水平分力D对结点O受力分析可得，水平方向F1sinα＝F2sinβ，即F1的水平分力等于F2的水平分力，选项C错误，D正确；对结点O受力分析可得，竖直方向F1cosα＋F2cosβ＝mg，解得F1＝，F2＝，则F1的竖直分量F1y＝，F2的竖直分量F2y＝，因sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＞0，可知F2y＞F1y，选项AB错误。故选D。题型三一个已知力分解时有无解的讨论如图所示，质量分别为3m和m的两个可视为质点的小球a、b，中间用一细线连接，并通过另一细线将小球a与天花板上的O点相连，为使小球a和小球b均处于静止状态，且Oa细线向右偏离竖直方向的夹角恒为37°，需要对小球b朝某一方向施加一拉力F。若已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。重力加速度为g，则当F的大小达到最小时，Oa细线对小球a的拉力大小为（）A．2.4mg B．3mg C．3.2mg D．4mgC以两个小球组成的整体为研究对象，作出F在三个方向时整体的受力图，根据平衡条件得知F与FT的合力与总重力总是大小相等、方向相反的，由力的合成图可知当F与绳子Oa垂直时F有最小值，即图中2位置，此时Oa细线对小球a的拉力大小为FT＝4mgcos37°＝3.2mg，故C正确，ABD错误。11．力的分解的原则：一般来说，当物体受到三个或三个以下的力时，常按实际效果进行分解，若这三个力中，有两个力互相垂直，可选用正交分解法；当物体受到三个以上的力时，常用正交分解法。2．正交分解法的建轴原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则（使尽量多的力分布在坐标轴上）；在动力学中，往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。1．刀、斧、凿等切削工具的刃部叫作劈，如图是斧头劈木柴的情景．劈的纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开。设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头自身的重力，则劈的侧面推压木柴的力的大小为（）A． B． C． D．B斧头劈木柴时，设两侧面推压木柴的力分别为F1、F2，且F1＝F2，设力F与力F1之间的夹角为θ，故；在劈的纵截面的等腰三角形中，由几何关系可得，因此F1＝F2＝，所以B正确，A、C、D错误．2．如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比eq\f(F1,F2)为（）A．cosθ＋μsinθ B．cosθ－μsinθC．1＋μtanθ D．1－μtanθB物体在力F1作用下和力F2作用下运动时的受力如图所示。将物体受力沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡条件可得：x轴：F1＝mgsinθ＋Ff1，其中Ff1＝μFN1①y轴：FN1＝mgcosθ②由①②解得：F1＝mgsinθ＋μmgcosθx轴：F2cosθ＝mgsinθ＋Ff2，其中Ff2＝μFN2③y轴：FN2＝mgcosθ＋F2sinθ④由③④解得：F2＝eq\f(mgsinθ＋μmgcosθ,cosθ－μsinθ)故eq\f(F1,F2)＝cosθ－μsinθ，B正确。3．如图所示，一质量为m的带电荷量为q的小球用细线系住，线的一端固定在O点，若在空间加上匀强电场，平衡时线与竖直方向成30°角，则电场强度的最小值为（）A． B． C． D．B以小球为研究对象，对小球进行受力分析，故小球受到重力mg、绳的拉力F1、电场力F2三个力作用，根据平衡条件可知，拉力F1与电场力F2的合力必与重力mg等大反向。因为拉力F1的方向确定，F1与F2的合力等于mg确定，由矢量图可知当电场力F2垂直悬线时电场力F2＝qE最小，故场强E也最小。则有mgsin30°＝qE解得E＝，故B正确，ACD错误。思想方法等效思想1．等效思想：在保证某种效果（特性和关系）相同的前提下，将实际的、陌生的、复杂的物理问题和物理过程用等效的、简单的、易于研究的物理问题和物理过程代替来研究和处理的方法。2．在高中物理的学习过程中，常见的等效思想主要有以下几类：(1)模型的等效：质点、重心、理想气体和点电荷等都是在一定条件下，抓住主要因素而忽略次要因素，对客观实体的一种等效替代。(2)过程的等效替代：是用一种或几种简单的过程来代替一种复杂过程的方法。如：“平均速度”“平均加速度”“平均力”等的概念，又如对平抛运动的研究，将运动分解为两个等效的直线运动（匀速直线运动和匀变速直线运动）。(3)作用的等效替代：力的合成是用一个力来代替几个力的作用，并使其作用效果相同，这个力就叫作那几个力的合力；在电磁学中，几个带电体所产生的电场对一个电荷的作用，可以等效为每一个带电体单独存在时对该电荷作用的矢量和。（多选）如图所示，将光滑斜面上物体重力mg分解为G1、G2两个力，下列说法正确的是（）A．物体受到重力mg、FN、G1、G2四个力的作用B．物体只受到重力mg和斜面的支持力FN的作用C．G1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，G2是物体对斜面的压力D．力FN、G1、G2三力的作用效果与力FN、mg两个力的作用效果相同BDA