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第四章连续时间的马氏链1.设{P(t);t∈R*}是一个有限维标准转移阵族，证明detP(t)>0(对Vt>0)。要证明对于正数t和正的向量$V_t$，有限维标准转移阵族${P(t);t∈R*}$的行列式$detP(t)>0$。首先，我们需要理解有限维标准转移阵族的定义。有限维标准转移阵族是一个由一组转移矩阵组成的集合，其中每个转移矩阵$P(t)$的大小为nxn，被认为是在时间t的马尔可夫链的转移概率矩阵。这些转移矩阵满足以下性质：每个矩阵的每个元素都非负；每个矩阵的每一行的元素之和为1；对于任意的正数t，矩阵乘积$P(t_1)P(t_2)…P(t_n)$是一个非负矩阵。现在，我们来证明$detP(t)>0$对于正数t和正的向量$V_t$。首先，我们注意到对于任意的正的向量$V_t$，我们可以通过将标准转移阵族中的每个转移矩阵作用在向量$V_t$上来得到一个新的向量$V_t’=P(t)V_t$。然后，我们可以继续将标准转移阵族中的其他转移矩阵作用在向量$V_t’$上，得到一个更长的链式变换$V_t’’=P(t_1)P(t_2)…P(t_n)V_t$。现在，考虑矩阵乘积$A=P(t_1)P(t_2)…P(t_n)$。根据矩阵乘法的性质，我们知道矩阵乘积仍然满足标准转移阵族的特性：矩阵$A$的每个元素都非负；矩阵$A$的每一行的元素之和为1。因此，我们可以将矩阵$A$视为标准转移阵族中的一个转移矩阵。现在，我们来证明对于任意的正数t和正的向量$V_t$，行列式$detP(t)>0$。根据上述建立的链式变换$V_t’’=P(t_1)P(t_2)…P(t_n)V_t$，我们可以看到向量$V_t’’$是由向量$V_t$通过标准转移阵族的作用变换而来的。其中，矩阵乘积$A=P(t_1)P(t_2)…P(t_n)$也是标准转移阵族的一个转移矩阵。既然$V_t$是正的向量，根据标准转移阵族的性质，向量$V_t’’$也是正的向量。这是因为矩阵乘积$A$的每个元素都非负，并且矩阵乘积的每一行元素之和为1。现在，我们来看矩阵$A$的行列式$detA$，根据线性代数的性质，行列式$detA$是由矩阵的特征值乘积组成。由于矩阵$A$是一个正的转移矩阵，其特征值也都是正的。因此，我们可以得出结论$detP(t)>0$对于正数t和正的向量$V_t$。综上所述，对于有限维标准转移阵族${P(t);t∈R*}$，当向量$V_t$是正的时候，行列式$detP(t)>0$成立。2.略3.略4.略5.6.略7.8.9.略10.略11.略12.略

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