《结构力学》教案 第四章 静定结构的位移计算

第四章静定结构的位移计算主要内容4.1概述4.2虚功原理4.3结构位移计算的一般公式4.4静定结构在荷载作用下的位移计算4.5图乘法4.6静定结构由于支座位移、温度改变所引起的位移4.7线弹性体系的互等定理知识点4.1概述产生位移的原因；计算位移的目的；位移的种类。4.2虚功原理虚功、实功、虚功原理：刚体、变形体。4.3结构位移计算的一般公式位移计算的一般公式：微元、结构；广义位移：线位移、角位移和广义位移。4.4静定结构在荷载作用下的位移计算位移计算一般公式的符号规定；积分法计算荷载作用下的结构位移。4.5图乘法图乘法推导过程；图乘法应用条件；常见图形的面积和形心的位置；图乘的一般方法；图乘法求荷载作用下的结构位移。4.6静定结构由于支座位移、温度改变所引起的位移单位荷载法的计算步骤；温度下位移计算公式。4.7线弹性体系的互等定理互等定理应用条件；功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理。重点难点4.1概述重点：计算位移的目的。难点：刚体位移和变形体位移的本质区别。4.2虚功原理重点：虚功原理的基本概念。难点：虚功的理解。4.3结构位移计算的一般公式重点：位移计算的一般公式的含义。难点：公式中每个字母的含义。4.4静定结构在荷载作用下的位移计算重点：能够运用积分法求荷载作用下结构位移。4.5图乘法重点：能够运用图乘法求荷载作用下结构位移。难点：图乘法的灵活应用。4.6静定结构由于支座位移、温度改变所引起的位移重点：单位荷载法求支座移动下结构位移；温度改变所引起的位移的计算。难点：理解计算公式的物理意义。4.7线弹性体系的互等定理重点：互等定理的本质。4.1概述知识点产生位移的原因；计算位移的目的；位移的种类。重点难点重点：计算位移的目的。难点：刚体位移和变形体位移的本质区别。位移的概念结构在荷载、温度变化、支座移动与制造误差等各种因素作用下发生变形。知识点：产生位移的原因荷载作用；温度变化和材料胀缩；支座的沉降和制造误差。知识点：结构位移计算的目的结构设计必须经过刚度校核；结构施工阶段可能产生的位移以便采用相应的措施；结构位移计算是分析超静定结构、结构动力计算和稳定分析的基础。知识点：位移种类线位移：截面的移动，有水平位移、竖向位移；角位移：截面的转动，角位移。位移计算基本假定材料服从虎克定律。结构的变形是微小的。结构各处的约束都是理想约束。

4.2虚功原理知识点虚功、实功、虚功原理：刚体、变形体。重点难点重点：虚功原理的基本概念。难点：虚功的理解。知识点：虚功、实功实功是力在自身引起的位移上所作的功，恒为正。虚功是力在其它原因产生的位移上作的功，如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。图4.1实功：虚功：知识点：虚功原理（1）刚体虚功原理具有理想约束的刚体体系在任意平衡力系作用下，体系上所有主动力在任一与约束条件相符合的无限小刚体位移上所作的虚功总和恒等于零。刚体体系的虚功方程：（2）变形体虚功原理处于平衡状态的变形体体系，当发生符合约束条件的微小连续变形，各微段内力在应变上所作的内虚功总和等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和。变形体系的虚功方程：

4.3结构位移计算的一般公式知识点位移计算的一般公式：微元、结构；广义位移：线位移、角位移和广义位移。重点难点重点：位移计算的一般公式的含义。难点：公式中每个字母的含义。知识点：位移计算的一般公式（微元、结构）基本思路：在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形所引起的位移图4.2一般公式：材料力学中内力与应变的关系：其中：E和G分别是材料的弹性模量和剪切弹性模量；A和I分别是杆件截面的面积和惯性矩。k是与截面形状有关的系数。荷载作用下弹性位移的一般公式：知识点：广义位移作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力F。与位移有关的因素，称为广义位移Δ。广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：W=FΔ（1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量；（2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角α；（3）若广义力是等值、反向的一对力F，则说明：Δ是与广义力相应的广义位移，表示AB两点的相对位移。（4）若广义力是一对等值、反向的力偶m，则说明：Δ是与广义力相应的广义位移，表示AB两截面的相对转角。

4.4静定结构在荷载作用下的位移计算知识点位移计算一般公式的符号规定；积分法计算荷载作用下的结构位移。重点能够运用积分法求荷载作用下结构位移。知识点：位移计算一般公式的符号规定荷载作用下弹性位移的一般公式：：虚设单位荷载P=1作用下的结构的内力；：实际荷载作用下的结构的内力；内力正负号规定：轴力以拉为正，剪力是微段顺时针转动者为正，弯矩规定两者的乘积的正负号，当两个弯矩使杆件同一侧受拉时，其乘积取正号。知识点：积分法计算荷载作用下的结构位移。例1：求图4.3a悬臂梁在A端的竖向位移Δ，并比较弯曲变形与剪切变形对位移的影响。设梁的截面为矩形。图4.3a图4.3b解：虚设单位荷载，图4.3b实际荷载：虚设单位荷载：弯曲变形位移：剪切变形位移：（矩形截面，k=1.2）设：；矩形截面：浅梁：可忽略深梁：不可忽略例2：计算结点D的竖向位移。各杆EA相同且为常数。图4.4a图4.4b图4.4c解：荷载下内力见图4.4b；单位荷载下内力见图4.4c。例3：求简支梁两端截面A、B的相对转角△。图4.5解：虚设力系，图图4.5b实际荷载作用下：各种结构位移计算公式（1）梁和刚架梁和刚架以弯曲变形为主要，计算简化：。（2）桁架桁架中杆件只受轴力作用，且每根杆件的截面面积和轴力均为常数，计算简化：（3）组合结构组合结构中，一些杆件以弯曲为主，一些杆件只受轴力，计算简化：

位移计算的基本步骤根据欲求位移虚设单位荷载，然后分别列出各杆段的内力方程；列实际荷载作用下的各杆段内力方程；将各内力方程代入到相应的计算公式中，分段积分后再求和，即可求位移。4.5图乘法知识点图乘法推导过程；图乘法应用条件；常见图形的面积和形心的位置；图乘的一般方法；图乘法求荷载作用下的结构位移。重点难点重点：能够运用图乘法求荷载作用下结构位移。难点：图乘法的灵活应用。知识点：图乘法推导过程梁和刚架位移的公式：图4.6为某直杆段AB的两个弯矩图，其中Mi图为直线，抗弯刚度EI为常数：图4.6式中：A是MK图的面积；y0是在MK图形心C对应处的Mi图标距知识点：图乘法应用条件杆段应是等截面直杆段；两个图形中至少有一个是直线，标距y0应取自直线图形中。正负号规定：面积A与标距y0在同一侧时，乘积取正号；反之取负号。知识点：常见图形的面积和形心图4.7以上图形的抛物线均为标准抛物线：抛物线的顶点处的切线都是与基线平行。

知识点：图乘的一般方法（1）如果两个图形都是直线图形，标距可任取自其中一个图形（图4.8）。图4.8（2）如果有一个图形为折线，则应分段考虑（图4.9）。图4.9（3）如果图形比较复杂，应根据弯矩图的叠加原理将图形分解为几个简单图形，分项计算后再进行叠加图4.10。图4.10（图4.10b中A1与y1的乘积为负值；图4.10c中抛物线为非标准曲线）。知识点：图乘法求荷载作用下的结构位移例1：求图4.11a结构B点和C点的竖向位移，EI为常数。图4.11a图4.12b图4.12c解：（1）计算B点的竖向位移，荷载和单位荷载下弯矩图见图4.12b。（2）计算C点的竖向位移，荷载和单位荷载下弯矩图见图4.12c。

例2：试求出图4.13刚架结点B的水平位移和转角，EI为常数。图4.13a解:（1）虚设单位荷载，作实际状态和虚设单位荷载的弯矩图（图4.13b、c、d）图4.13b图4.13c图4.13d（2）代入公式，图乘。B竖向位移：B点转角位移：第四章静定结构的位移计算PAGE254.6静定结构由于支座位移、温度改变所引起的位移知识点单位荷载法的计算步骤；温度下位移计算公式。重点难点重点：单位荷载法求支座移动下结构位移；温度改变所引起的位移的计算。难点：理解计算公式的物理意义。知识点：单位荷载法求支座移动下结构位移图4.14a静定梁，支座A向上移动了一个已知距离ΔA，求C处的位移ΔC。图4.14a图4.14b（1）设虚力状态（图4.14b）（2）求支座反力（3）虚功方程单位荷载法在拟求位移的方向上虚设单位荷载，利用平衡条件求支反力。利用虚力原理列出虚力方程进行求解。求解步骤：（1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；（2）建立虚功方程：（3）解方程：例1：图4.15三铰刚架，支座B向右移动了一个已知距离Δ，向下移动了一个已知距离2Δ。求：（1）C点的水平位移ΔC。（2）E点的竖向位移ΔE。（3）D点的转角θC。（4）AD两点的相对水平位移ΔAD。（5）CD两点的相对转角θCD。图4.15 解：虚设状态（图4.16）图4.16（1）C点的水平位移ΔC。（图4.16a） 支座反力：虚功方程：（2）E点的竖向位移ΔE。（图4.16b） 支座反力：虚功方程：（3）D点的转角θC。（图4.16c） 支座反力：虚功方程：（4）AD两点的相对水平位移ΔAD。（图4.16d） 支座反力：虚功方程：（5）CD两点的相对转角θCD。（图4.16e） 支座反力：虚功方程：知识点：温度下位移计算图4.17刚架结构的微元，杆件的内侧温度升高t1，外侧温度升高t2，温度沿高度h是按直线变化的，变形后截面仍将保持为平面。图4.17轴线处温度的升高为：轴向应变ε和曲率κ分别为α为线膨胀系数杆件结构中温度改变只生弯曲和轴向变形，虚功原理：当温度、杆的高度沿每一根杆件的全长为常数时，例：图4.18刚架，施工时温度为200C，冬季外侧温度为-100C，外侧温度为00C，杆截面尺寸b×h=200mm×400mm，图4.18解：（1）虚设单位荷载并画轴力图和弯矩图(图4.19a和b)。图4.19（2）代入公式

4.7互等定理知识点互等定理应用条件；功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理。重点互等定理的本质。知识点：互等定理应用条件互等定理只适用于线性变形体系：材料处于弹性阶段；结构变形很小，不影响力的作用。知识点：功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理（1）功的互等定理第一状态外力在第二状态位移上所做的功等于第二状态外力在第一状态位移上所做的功:虚功有两个下标，第一个表示受力状态，第二个表示位移状态（2）位移互等定理第二个单位力在第一个单位力作用点沿其方向引起的位移等于第一个单位力在第二个单位力作用点沿其方向引起的位移:位移有两个下标，第一个表示受力状态，第二个表示位移状态（3）反力互等定理在任一线性变形体中,由位移C1引起的与位移C2相应的反力影响系数r21,等于由位移C2所应起的与位移C1相应的反力影响系数r12。反力有两个下标，第一个表示受力状态，第二个表示位移状态

小结结构位移计算是分析超静定结构，结构动力计算和稳定分析的基础。荷载作用、温度变化和材料胀缩、支座的沉降和制造误差等产生位移（角位移、线位移）。刚体体系的虚功方程：变形体系的虚功方程：荷载作用下弹性位移的一般公式：图乘法应用条件：杆段应是等截面直杆段；两个图形中至少有一个是直线，标距y0应取自直线图形中。单位荷载法求解步骤：（1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；（2）建立虚功方程：（3）解方程：温度下位移：互等定理（功、位移、反力）只适用于线性变形体系。

练习一、单项选择题变形体虚功原理（）A.只适用于静定结构B.只适用于超静定结构C.只适用于线弹性体D.适用于任何变形体系导出单位荷载法的原理是（）A.虚位移原理B.虚力原理C.叠加原理D.静力平衡条件图1桁架D点水平位移ΔDH（）图1A.B.C.0D.图2结构在荷载P作用下梁的C截面的转角为（顺时针为正）（）图2A.B.C.D.图3梁B截面竖向线位移为（向下为正）（）图3A.B.C.D.二、计算题图4三铰刚架。已知A支座产生向左的水平位移2Δ和竖向位移Δ。求(1)E点的水平位移；(2)AD杆的转角。图42.图5三铰刚架，EI＝常数，求E铰处的竖向位移。图53.图6矩形截面b×h简支梁两端作用一对力偶M，同时梁上侧温度升高t1℃，下侧温度下降t1℃，求（1）A端的转角；（2）使＝0