《结构力学》课程串讲（三）

课程串讲（3）第7章位移法7-1

等截面杆件的形常数和载常数7-2

位移法的基本概念7-3

无侧移刚架的计算7-4

有侧移刚架的计算7-5对称结构的计算7-1等截面杆件的形常数和载常数知识点：等截面梁的形常数等截面梁的载常数重点：记忆等截面梁的形常数和载常数。杆端位移引起的杆端内力称为形常数.i=EI/l——线刚度单跨超静定梁简图MABMBA4i2iθ=1ABABθ=13i0ABθ=1i-i1.等截面梁的形常数单跨超静定梁简图MABMBA-3i/l000ABΔ=1-6i/l-6i/lABΔ=1ABΔ=1荷载引起的杆端内力称为载常数。2.等截面梁的载常数7-2位移法的基本概念知识点：整体分析、杆件分析位移法的基本原理重点：

掌握位移法解题的基本过程。14kNABC2m4m2m（1）结构的独立结点位移θB假定顺时针位移法解题步骤14kNABC2m4m2mθB（2）结构拆成杆件，做杆件分析（3）平衡方程，求解14kNABC2m4m2mθB（4）回代，求杆端弯矩位移法的基本原理“化整为零、集零为整”（1）结构的独立结点位移（2）结构拆成杆件，做杆件分析—荷载、变形（3）平衡方程，求解（4）回代，求杆端弯矩7-3无侧移刚架的计算知识点：无侧移刚架的特点无侧移刚架的计算方法重点：掌握位移法计算连续梁和无侧移刚架。连续梁属于这类问题。刚架各节点（不含支座）只有角位移而没有线位移。1.无侧移刚架的特点2.无侧移刚架的计算方法（1）结构的独立角位移（2）结构拆成杆件，做杆件分析—荷载、变形（3）平衡方程，求解（4）回代，求杆端弯矩7-4有侧移刚架的计算知识点：有侧移刚架的特点有侧移刚架的计算方法重点：掌握位移法计算有侧移刚架的内力。难点：与线位移相关的方程的建立。刚架除有结点转角外，还有结点线位移。计算方法与无侧移刚架基本相同，但增加：未知量有结点位移；杆件计算需考虑结点位移；基本方程增加与结点位移对应的平衡方程。1.有侧移刚架的特点和计算方法特点结点的位移（线位移、铰位移）（1）角位移的数目（未知量）=刚结点数2.位移法的基本未知量（2）线位移未知量数目不考虑轴向变形弯曲变形小，受弯矩长度不变。3.基本方程的建立（2）杆端弯矩（1）基本未知量

B、（3）建立基本方程

小结：位移法的基本方程都是根据平衡方程得出的。基本未知量中每一个转角有一个相应的结点力矩平衡方程，每一个独立结点线位移有一个相应的截面平衡方程。平衡方程的个数与基本未知量的个数彼此相等，正好解出全部基本未知量。（4）解方程组

B=0.737/i

=7.58/i7-5对称结构的计算知识点：对称结构的特点

奇数跨对称结构

偶数跨对称结构重点：对称性的应用。难点：半结构的选取。■作用在对称结构上的任意荷载，可以分为对称荷载和反对称荷载；■在对称荷载作用下，变形是对称的，弯矩图和轴力图是对称的，而剪力图是反对称的；■在反对称荷载作用下，变形是反对称的，弯矩图和轴力图是反对称的，而剪力图是对称的。

1.对称性的特点(1)对称荷载▲在对称轴截面上，没有转角和水平位移，可有竖向位移。(2)反对称荷载▲在对称轴截面上，没有竖向位移，可有转角和水平位移。2.奇数跨对称结构(1)对称荷载▲在对称轴截面上，没有转角和水平位移，由于不计轴向变形，也没有竖向位移。(2)反对称荷载▲柱CD只有弯曲变形，可按抗弯刚度分成两个柱子。3.偶数跨对称结构第8章力矩分配法8-1

力矩分配法的基本概念8-2

多结点的力矩分配8-8连续梁影响线8-1力矩分配法的基本概念知识点：

转动刚度、分配系数和传递系数结点力矩、分配力矩、传递力矩

杆端弯矩、近端弯矩、远端弯矩重点：

掌握单结点力矩分配法解题的基本过程。难点：非结点荷载如何转变成结点荷载。（1）转动刚度S是指使杆端发生单位转角时需要施加的力矩。远端近端4i

B2i

BMBAMABABθBMBCMCBBCθB近端3i

B远端0（2）分配系数μ是指杆件转动刚度与结点连接所有杆件转动刚度和的比值。（3）传递系数C

是指当近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。4i

B2i

BMBAMABABθBMBCMCBBCθB3i

B074/73/743021/20M=7kN·mABC例2：若梁线刚度i相同，用力矩分配法求梁各杆端弯矩。2.3结点力矩下单结点力矩分配的解题步骤ABC1.结点力矩2.分配系数3.分配力矩4.传递力矩SBA

=4iSBC

=3i4M图（kN·m）ABC32M=7kN·mABC2.3结点力矩下单结点力矩分配的解题步骤1.结点力矩2.分配系数3.分配力矩4.传递力矩4.根据传递系数求传递力矩（远端弯矩）。

1.确定结点力矩；2.根据转动刚度求分配系数；3.根据分配系数求分配力矩（近端弯矩）；例2：若梁线刚度i相同，用力矩分配法求梁各杆端弯矩。3.非结点力矩下单结点力矩分配计算FP作用下的杆端弯矩。（1）在结点B加一个阻止转动的约束，阻止B点的转动。（2）在结点B加上一个力偶-MB。（3）两种情况叠加8-2多结点的力矩分配知识点：

多结点力矩分配的基本思路多结点的力矩分配解题的基本过程重点：

掌握多节点力矩分配法解题的基本过程。难点：结点的锁住、放松。（1）在结点B、C加约束，阻止结点的转动。（2）去掉结点B的约束（结点C仍夹紧）。（3）重新夹紧结点B

，然后去掉结点C的约束。多结点力矩分配的基本思路（4）重复（2）和（3），很快达到实际状态。8-3连续梁影响线

超静定力影响线的作法连续梁弯矩、剪力影响线的绘制知识点：重点：

掌握连续梁影响线的绘制。力法基本方程由互等定理，得则因是常数，上式可写成（1）撤去与所求的约束力Z1相应的约束。（2）使体系沿Z1的正方向发生位移，作出荷载点的挠度图，即为影响线的形状。（3）将δP1

图除以常数δ11，便确定了影响线的数值。（4）横坐标以上图形为正号，横坐标以下图形为负号。超静定力的影响线的作法第9章矩阵位移法9-1概述9-2单元刚度矩阵-局部坐标系9-3单元刚度矩阵-整体坐标系9-4用先处理法建立结构刚度矩阵9-5等效结点荷载9-1概述知识点：

矩阵位移法的理论基础、数学形式矩阵位移法与传统位移法的比较理论基础：传统的结构力学数学形式：矩阵计算手段：电子计算机与传统位移法的比较：理论同源，作法有别。前者以手算为主，后者以电算为主。矩阵位移法9-2单元刚度矩阵-局部坐标系知识点：一般单元单元刚度方程单元刚度矩阵的性质特殊单元重点：一般单元的单元刚度矩阵难点：单元刚度矩阵的性质

1.一般单元符号规则12eEAIl1212局部坐标系单元编号结点编号杆端位移编号杆端力编号■弯矩、转角：绕杆端顺时针为正；■其它：与坐标轴同向为正。凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部坐标系而言的。

2.单元刚度方程局部坐标系下的一般单元刚度方程

3.单元刚度矩阵的性质一般地，刚度系数即第

j

个杆端位移分量取单位值1，其它杆端位移为0时所引起的第

i个杆端力分量的值。单元刚度矩阵是对称矩阵依据：反力互等定理单元刚度系数的意义单位杆端位移引起的杆端力一般单元刚度矩阵是奇异矩阵矩阵行列式等于零，逆阵不存在。

梁单元的刚度方程单元刚度方程为：非奇异，可逆单元刚度矩阵为：4.特殊单元桁架单元9-3单元刚度矩阵-整体坐标系知识点：

单元坐标转换矩阵

整体坐标系的单元刚度矩阵重点：

整体坐标系的单元刚度矩阵的计算难点：

整体坐标系的单元刚度矩阵与

局部坐标系的单元刚度矩阵的异同由x轴到

x轴的夹角α以顺时针转向为正。

2.单元坐标转换矩阵正交矩阵3.整体坐标系的单元刚度矩阵元素kij的物理意义对称性奇异性整体坐标系的单元刚度矩阵整体坐标系的单元刚度方程整体坐标系的单元刚度方程的性质9-4用先处理法建立结构刚度矩阵（1）知识点：

先处理法的概念与特点

结点位移分量的统一编码

单元单位向量

刚架的整体刚度矩阵由于各单元受到的位移约束不同，单元刚度矩阵阶数各不相同。由单元刚度矩阵形成的总刚度矩阵即为结构刚度矩阵。在计算形成结构总刚度矩阵之前，即单元分析中时，就考虑结构的位移约束条件。特点：1.先处理法的概念与特点①②xy000123004对于已知为零的结点位移分量，其总码均编为零——总码、局部码2.结点位移分量的统一编码②①

①②000123004①123456xy2②134563.单元单位向量[T][T][])1(k4.刚架的整体刚度矩阵(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)12341234单元①的集成(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)9-4用先处理法建立结构刚度矩阵（2）知识点：

铰结点的处理

忽略轴向变形时刚架整体分析

桁架整体分析重点：

不同情况下整体刚度矩阵的计算难点：

单元定位向量的确定

特殊情况的处理①②0001235467

000③定位向量铰结点处有2个线位移。另有2个角位移分别与2个杆端相联系结构的整体刚度矩阵为7阶。5.铰结点的处理不考虑6.忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析12

单元刚度矩阵7.桁架整体分析xy(e)xyFx2Fx1Fy1Fx2Fy2Fx1

坐标转换矩阵001243

00①②④③⑤ddxy

单元定位向量结点荷载与非结点荷载

单元集成法求等效结点荷载9-5等效结点荷载知识点：重点：

单元集成法求整体等效结点荷载的步骤难点：

等效结点荷载的概念连续梁F1F2F3①②整体刚度矩阵1.结点荷载2.单元集成法求整体等效结点荷载的步骤单元的固端

约束力局部坐标系下的单元等效结点荷载集成结构整体等效结点荷载｛P｝定位向量反号坐标变换xy①②整体坐标系下单元等效结点荷载第10章结构动力计算基础10-1综述10-2单自由度体系的自由振动10-3单自由度体系的强迫振动10-4阻尼的影响10-5两个自由度体系的自由振动10-1概述知识点：动力计算动荷载类型动力自由度重点：动力自由度的判断(1)动荷载的特点：荷载随时间而变化动荷载区别于静荷载的关键性特征是，由于荷载变化所引起的动力响应不可忽略，即惯性力(InertiaForce)影响不可忽略。1.动荷载周期荷载（2）动荷载类型在很短的时间内，荷载值急剧增大或急剧减小。如爆炸荷载等冲击荷载随机荷载：地震、风确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所需要确定的独立几何参数的数目。2.动力自由度10-2单自由度体系的自由振动自由振动微分方程自由振动微分方程的解结构的自振周期与频率

掌握刚度法和柔度法建立振动微分方程的基本原理。

熟练掌握这些动力特性的计算。知识点：重点：难点：

理解单自由度体系自由振动的动力特性。

1.自由振动微分方程my刚度法k对质点进行受力分析，利用平衡条件ky建立振动微分方程的

2种思路柔度法δmy（）对体系进行受力分析，质点位移

2.自由振动微分方程的解T自振周期yt0Tω圆频率或角频率，或简称频率

3.结构的自振周期与频率10-3单自由度体系的强迫振动

强迫振动微分方程简谐荷载下强迫振动微分方程的解简谐荷载下强迫振动的动力系数一般荷载下的强迫振动知识点：重点：难点：

掌握单自由度体系在简谐荷载作用下强迫振动的计算。理解自由振动和强迫振动的本质区别。强迫振动：结构在动荷载作用下的振动。

1.强迫振动微分方程

2.简谐荷载下强迫振动微分方程的解则其一般解为：齐次解自由振动部分特解强迫振动部分最大振幅与最大静位移之比称动力系数：即有：

3.简谐荷载下强迫振动的动力系数动力系数的讨论：123123它是频率比值/ω的函数。特性：时，，作静荷载处理时，随频率比的增大而增大时，的绝对值随频率比的增大而减小时，，共振

5.一般荷载下的强迫振动静止开始一般荷载作用下强迫振动位移为：杜哈梅(Duhamel)积分具有初始速度和位移一般荷载作用下强迫振动位移为：突加荷载FP(t)t0FP00动力系数：2yst10-4阻尼的影响

掌握阻尼对动力特性（自振频率、振幅等）的影响。阻尼的概念与分类有阻尼的自由振动有阻尼的强迫振动知识点：重点：难点：

公式的推导。阻尼力对质点运动起阻碍作用。从方向上看：它总是与质点的速度方向相反。从数值上看：(1)阻尼力与质点速度成正比，称为粘滞阻尼力。(2)阻尼力与质点速度的平方成正比，固体在流体中运动到的阻力属于这一类。(3)阻尼力的大小与质点速度无关，摩擦力属于这一类。

1.阻尼的概念与分类有阻尼(粘滞阻尼)自由振动微分方程：有阻尼强迫振动微分方程：

2.有阻尼的自由振动(1)ξ<1(低阻尼情况)ae-ξωtty低