曲线与方程省赛一等奖

第二章曲线与方程211曲线与方程01一、新课引入从传统意义上讲，解析几何是由勒内·笛卡儿创立的。笛卡儿的创举被记录在《几何学》当中，在1637年与他的《方法论》一道发表。这些努力是以法语写成的，其中的哲学思想为创立无穷小提供了基础。最初，这些著作并没有得到认可，部分原因是由于其中论述的间断，方程的复杂所致。直到1649年，著作被翻译为拉丁语，并被冯·斯霍滕恭维后，才被大众所认可接受。笛卡尔：1596年~1650年01二、曲线与方程思考1：我们已经学过直线的方程，请同学们思考第一、三象限的角平分线的方程如何表示？y=x-y=0思考2：能否用的方程表示？直线上点的坐标不都满足这个方程思考3：能否用2-y2=0的方程表示？以这个方程的解为坐标的点不都在直线上思考：曲线上每一个点与方程f，y=0的解具备怎样的关系时，就能用方程f，y=0表示曲线C？小结：曲线C上的点方程f(x，y)=0的实数解01二、曲线与方程曲线C上的点方程f(x，y)=0的实数解例：以a,b为圆心、r为半径的圆的方程·0xyM·-a2y-b2=r2（1）直线C上的点都是方程-a2y-b2=r2的解；（2）以方程-a2y-b2=r2的解为坐标的点都在C上01二、曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f，y＝0的实数解建立了如下的关系：1_______________________________2___________________________________________那么，这个方程叫做___________；这条曲线叫做___________曲线上点的坐标都是这个方程的解以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点曲线的方程方程的曲线思考：下列曲线能用对应方程表示吗？0xy0xy只满足1只满足201三、典例分析【例1】1已知坐标满足方程f，y＝0的点都在曲线C上，那么 ，y＝0 ，y＝0的点都不在曲线C上 ，y＝0 ，y＝0，有些不适合f，y＝0 答案C01三、典例分析××01三、典例分析【例2】证明与两条坐标轴的距离的积是常数>0的点的轨迹方程是y=±证明：(1)曲线C上的点

方程f(x，y)=0的解

设M0，y0是轨迹上任意一点，|MQ|=|y0|，|MR|=|0|，故|0||y0|=所以0，y0是方程y=±的解(2)方程f(x，y)=0的解

曲线C上的点

设M0，y0是方程y=±的解则0y0=±，即|0||y0|=所以0，y0到两条坐标轴的距离的积是常数，故点M是曲线上的点01三、典例分析即＋y－1＝0≥1或＝1，∴方程表示直线＝1和射线＋y－1＝0≥1练习1判断下列命题是否正确，如果不正确，将其改为正确命题1已知A0,3，B-2,0，C2,0，则△ABC的中线AO的方程是2到轴距离为3的点的轨迹方程是y=301三、典例分析【训练3】3方程2－42＋y2－42＝0表示的图形是 A两个点 B四个点 C两条直线 D四条直线答案B已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；xyFMOB1建立适当的坐标系，用有序实数对,y表示曲线上任意一点M的坐标；

2写出适合条件的集合|}；

3用坐标表示条件，列出方程f,y=0；

4化方程f,y=0为最简形式；

5证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点求曲线方程的一般步骤：练习：已知中，为直角，斜边AB的长为2，求顶点C的轨迹方程01三、典例分析【例3】若曲线y2－y＋2＋＝0过点a，－aa∈R，求的取值范围解：∵曲线y2－y＋2＋＝0过点a，－a，∴a2＋a2＋2a＋＝001三、典例分析【训练3】已知方程2＋y－12＝1001四、课堂达标A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件B01四、课堂达标2下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是D01四、课堂达标3已知0≤α<2π，点Pcosα，sinα在曲线－22＋y2＝3上，则α的值为C1，1且互相垂直的两条直线l1与l2分别与轴、y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为______________＋y－1＝001五、课堂小结课堂小结1曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上2点0，y0在曲线C上的充要条件是点0，y0适合曲线C的方程3方程表示的曲线的判断步骤