几何学与数学教育

几何学与数学教育

蒲志林（四川师范大学）

数学国培计划班2014、09前言■数学：空间形式/数量关系所谓空间：就是各种各样的几何学。

前言几何学在数学中，特别是在20世纪基础数学中占有重要地位，这可以从近50年来菲尔兹的获奖工作便可知道。几何学与物理学之间的密切关系已为世人所知。前言近年来，由于信息科学等学科的发展，在物理学之外的许多新兴学科中也出现了系统利用几何学知识的现象，例如：在量子计算机领域，使用了许多拓扑学的知识；在机器人理论领域中，需要关于李群的系统的拓扑和几何知识；前言在编码学和信息安全领域中，需要用到深刻的代数曲线理论；等等。前言但是，由于历史的原因和认识的偏差，我们从中小学到大学的数学教育，关于几何学的教育越来越薄弱，没有受到足够重视！几何学的重要性几何是很重要的，因为大家觉得几何就是数学。比方说，现在还有这一印象，法国的科学院，它的数学组叫做几何组。对于法国来讲，搞数学的不称数学家，而叫几何学家，这都是受当时几何的影响。前言■一个永恒的科学主题——我们生活的宇宙空间究竟怎么样？

各种各样的几何学是描摹宇宙的数学框架。前言按照辩证唯物主义的观点：

空间----是物质存在的普遍形式。现实世界中的万事万物都存在于空间之中，在其中运动、变化和发展。这种现实的空间就是通常所说的三维欧几里得空间。前言19世纪以前的数学都是在三维或低于三维的空间中讨论的。19世纪中叶以后，数学家开始引入高于三维的多维空间，并逐步建立起了多维空间的几何学、代数学和分析学。进入20世纪，数学中又引进了无限维空间，并开始研究无限维空间上的几何、代数和分析问题。几何学的起源讲到几何学，我们第一个想到的是欧几里德。很可惜的是关于欧几里德的身世我们知道得很少，只知道他大概生活在纪元前三百年左右。他是亚历山大学校的几何教授，他的《几何原本》大概是当时的一个课本。亚历山大大学是希腊文化最后集中的一个地方。欧氏几何学欧几里得的巨著《几何原本》，是第一本系统研究几何的书，而且并不仅仅是几何，而是整个数学。因为那时候的数学还没有发现微积分。《几何原本》全书分13卷，有5条“公理”或“公设”、23个定义和467个命题。欧氏几何学■按照哲学原理时间是没有起点的。但是人们可以人为地选择一个标志性时间作为计算的原点——公元零年。此前的时间无限，此后的时间也是无限的。■时间的几何模型是一维的直线。没有开端也没有终结。一个具体的时刻（某年某月某日某时某分某秒）用数字表示，便是一个有理数。另一方面，时间与时间之间是连续的，没有“非时间”的空隙存在。时间和实数集构成一一对应。■

欧几里德几何学欧几里得点、线、面、角、园、三角形等23个定义后，选择了5条公设和5条公理。公理是适用于一切科学的真理，公设则只适用于几何学。

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欧几里德几何学

欧几里得所选择的5条公理是：

（1）等于同量的量相等；（2）等量加等量，和相等；（3）等量减等量，差相等；（4）彼此重合的图形是全等的；（5）整体大于部分。■

欧几里德几何学欧几里得所选择的5条公设是：（1）从任意一点到任意一点可作一直线；（2）一条有限直线可无限延长；（3）以任意中心和任意一个距离为半径可以作一个圆；（4）凡直角都彼此相等；（5）若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小雨两直角，那么把两直线无限延长，他们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。■

欧几里德几何学欧几里得本人对第五公设的叙述似乎并不是十分喜欢的。因为相对于其它四条公设来说，第五公设的叙述比较复杂，虽然没有人怀疑它的真理性，但是不像其它公设那样有说服力。通常，第五公设还可以叙述成如下等价的平行公设：（5）^若一条直线落在两直线上所构成的同旁内角和等于两直角，那么把这两条直线无论如何延长，它们都不会相交。■

欧几里德几何学欧几里得选择的公理和公设具有非凡的优点，不肤浅，又可以被人们立刻接受，从它们出发可以导出深刻的结论，得到整个几何学系统，一座精美的大夏就严密地建立了起来。更重要的是，欧几里得几何学的创立，对人类的贡献不仅仅在于产生了一些有用的美妙的定理，更主要的是孕育出了一种理性精神。欧几里得几何学被认为是数学发展史四个高峰的第一个高峰。

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欧几里德几何学欧几里德几何学已经沿用了二千多年，至今中学教材中的几何内容还是与早在公元前３００年左右的欧几里德所写的“几何原本”的内容基本一致。

欧氏几何学与公理化数学欧几里得用公理化方法建立起来几何学，是数学演绎体系的最早典范。在之后的2000多年间，这一严格的思维形式，不仅用于数学，也用于其他科学，甚至用于神学、哲学和伦理学中。欧氏几何学至高无尚的价值自面世之后，《几何原本》历经多次翻译和修订，至今已有1000多种不同的版本，据说它的发行量曾仅次于《圣经》而位居第二。我想欧几里得当初研究的动机肯定不是任何实际应用，而是美的追求，真理的追求。后来事实证明，他的成果应用广泛，影响深远。

数学发展史的四个高峰公元前300年的欧几里德《几何原本》——对人类的影响至今不衰；微积分的发明和应用——是人类思辩能力的高峰；１９世纪至２０世纪初的公理化数学——法国大革命带来了伟大的法国数学学派；以计算机技术为基础的当代数学。非欧几里得几何学长期以来，关于欧几里德几何公理体系的完备性、无矛盾性引起了很多数学家的兴趣，特别是欧几里德的第五公设（平行公设）是否与其它公设独立的问题，即平行公设能否用其它的公设推导出来的研究更导致了非欧几何学的诞生，其中决定性的工作应归功于J。Bolyai（匈牙利）和N.I.Lobachevsky（俄国）。非欧几里德几何学很多学者（包括一些著名数学家）曾宣称证明了平行公设能用其它公设推导出来，但最后发现这些论证都是不正确的。对欧氏几何中平行公设的研究，导致非欧几何学的诞生。例如，球面上的几何学（以大圆作“直线”看）就不满足欧氏几何的公理体系。非欧几里德几何学非欧氏几何的创立使人们认识到数学空间和物理空间的区别，欧氏空间不再是描写物理空间唯一正确的数学模式，它的公理系统不能认为是先验的“真理”，它只是欧几里得根据经验明智地提出来的一种先验假定，非欧氏几何的公理同样也是一种合理的先验假定。

解析几何学的诞生推动几何学第二个重要的、历史性发展的人是Descarte（1596~1650），中国人翻译成为笛卡儿。他是法国哲学家，不是专门研究数学的。他用坐标的方法，把几何变成了代数。当时没有分析或者无穷的观念。所以他就变成代数。解析几何与线性代数笛卡尔发明了坐标系，为欧氏空间安上了坐标架，使数形结合了起来，解析几何学由此诞生。所带来的新的问题:如何选取坐标系?平面和空间的几何学是直观的，但是更高维的几何学需要新的抽象表示方法。平面向量、空间向量推广到Ｎ维向量。用向量构成了线性空间，矩阵成为描述几何变换的有力工具。线性代数和几何学成为密切的伙伴。射影几何学■几何图形可以搬来搬去，不改变图形的面积和体积。但是相似变换可以把图形放大或缩小，面积、体积随之而变化。把物体投影在墙上，形状有变化的部分，也有不变的部分。这种变与不变成了几何学的研究对象。射影几何学成了一门学问。Ｆ．Ｋlein的观点：几何学应当按变换群进行分类。Ｆ．Ｋlein的基本思想是把几何看作某个变换群作用下的不变量。根据Ｋlein的思想，有一个变换群就有一个几何与之对应，欧几里德几何就是研究几何图形在欧几里德变换群下不变的性质和量。拓扑学拓扑学是一种几何学，它是研究几何图形的。但是，拓扑学所研究的并不是大家最熟悉的普通的几何性质，而是图形的一类特殊性质，即所谓“拓扑性质”。拓扑学---几个有趣的问题1、从一笔画问题到七桥问题一笔画是一个简单的数学游戏。平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上不重复？例如汉字：“日”、“中”都是可以一笔写出来的，而“田”和“目”则不能一笔写成。拓扑学---一笔画问题拓扑学----几个有趣问题著名的七桥问题：流经格尼斯堡的普雷格河的河弯处有两个小岛，七座桥连接了两岸和小岛（如图）。当地流传一个游戏：要求在一次散步中恰好通过每座桥一次。很长一段时间没有人能做到。拓扑学----七桥问题拓扑学---几个有趣问题后来大数学家欧拉(Euler)研究了这个游戏，他用点代表陆地（两岸和岛），用连接各点的线代表桥，得到图中右边的图形。于是上述游戏变成：这个图形能不能一笔画成的问题了。Euler证明他是不能一笔画成的。拓扑学----几个有趣问题2、地图着色问题给地图着色时，要把相邻的国家（或地区）着上不同的颜色，以便容易地加以区分。那么绘图员至少要准备多少种颜色才能给任何地图着色？这个问题看起来简单，却出人意料地难以解决！拓扑学----地图着色问题拓扑学----几个有趣问题从1852年由F.Guthrie提出后，知道上世纪七十年代才借助计算机得到解答！地图着色问题同一笔画问题一样，具有所谓的“拓扑”特性：它与度量（区域的面积、边界线的长度等）和形状都没有关系，关键是区域的个数和他们的邻接关系：地图经过变形（缩放或作各种投影）所需颜色数不变！拓扑学----几个有趣问题3、Euler多面体定理这是立体几何中的一个有名的定理：凸多面体的面数f,棱数l和顶点数v满足Euler公式：f-l+v=2拓扑学----欧拉多面体问题拓扑学----几个有趣问题表面上看，似乎它和前面的一笔画问题、地图着色问题不一样，而且凸多面体是平直图形，不能随意变形，但只要对Euler多面体定理稍作变形，就可看出它的“拓扑”特性了。拓扑学----几个有趣问题把多面体放进一个大球体内，是球心在多面体内部。从球心作中心投影：把凸多面体的棱映射成球面上的曲线（实际上是大圆弧），定点映射成球面上的点。这些点和大圆弧构成球面上的一个图（网络），它把球面分割成f块，有l条枝（大圆弧）和v个节点。拓扑学----几个有趣问题Euler定理可以推广为：定理：球面上一个联通的图的节点数v,枝数l以及它分割球面所成的面块数f满足公式f-l+v=2拓扑学----几个有趣问题这种推广了的Euler定理具有拓扑性质：一方面，当图在球面上变形时，f,l,和v这三个数不会变化；另一方面，当球面本身变形时（其上图也随着变化）f,l,和v也不会变化。球面可以变形为椭球面、葫芦形或其它各种形状的曲面，对这些曲面定理照样成立。拓扑学-----几个有趣问题但是，有的曲面不能由球面变形而得到，例如：环面。事实上上述定理对环面不成立！对环面，相应定理结论为：f-l+v=0.对于一些更复杂的曲面，f–l+v是个负数！拓扑学----几个有趣问题以上事实说明：整数f–l+v与曲面上图的选择无关，完全由曲面本身决定，这个数被称为曲面的Euler数----它反映出曲面的一种几何性质，当曲面被变形时，它是不会改变的！拓扑学----一种几何学Euler和他那个时代的其他数学家认识到：存在着某种新的几何性质，它们和欧式几何中研究的几何性质完全不同！这些几何性质涉及到图形在整体结构上的特性----这就是“拓扑性质”：与几何图形的大小、形状，以及所含线段的曲直等等都无关，不能用几何方法来处理。需要一种新的几何学----拓扑学。微分几何学

欧氏几何学使用的工具很简单，所以只能研究直线、平面、直方体。

由“直”向“曲”的进化，来自微积分的推动。例如：用微积分的知识可以度量光滑曲线的长度。

微分几何学

最简单的曲面是球面，地球相当于一个椭球面（近似）。地球上两点之间以怎样的曲线为最短？曲面上的最短线——称为“测地线”。球面上的测地线就是大圆。微分几何学

曲面上的几何学——经典的微分几何学。Ｅular和Ｍonge对微分几何的早期发展作出了重要贡献。

微分几何学Ｇauss关于曲面的理论，给出了一系列的基本度量，其中最重要的是曲率——曲面上各处的弯曲程度。

Ｇauss建立了基于曲面第一基本形式的几何，并把欧几里德几何推广到曲面上“弯曲”的几何，使微分几何真正成为一个独立的学科。曲面论的主要想法是把用参数(u，v)表示的曲面上两个无限邻近的点之间的距离ds表示成其中E，F，G都是参数u，v的函数。我们称矩阵为该曲面的度量矩阵，曲面上的许多弯曲性质都可用度量矩阵刻划出来。流形（Ｍinifold）

从平坦的欧氏空间到弯曲的一般空间，不仅仅是弯曲程度起了变化，更重要的是整体结构有改变。例如：球面和环面具有很不相同的整体结构。但是，从局部看都差不多，环面上一点周围的一小片和球面上一点周围的一小片没有什么大的不同，可以和欧氏平面上的一个小圆片一一对应起来——这种把曲面看成许多小块圆片堆积而成（堆成不同的结构）的观点，就是现代数学家所说的流形（Ｍinifold）。

流形流形是现代数学最重要的概念之一，是点、线、面等几何空间概念的推广。它可以描述任何可以用局部平坦空间所覆盖的物体。

宇宙空间原来也是一种流形。

流形（Ｍinifold）

文天祥的著名诗句：

天地有正气杂然赋流形下则为河岳上则为日星

流形流形的整体结构是拓扑学的研究对象。黎曼几何学黎曼生活在1826~1866年。德国的教学制度在博士毕业之后，为了有资格在大学教书，一定要做一个公开演讲，黎曼在1854年到哥廷根大学去做教授，做了一个演讲，就讨论了这些问题。黎曼的这篇1854年的论文，是非常重要的，也是几何里的一个基本文献，相当一个国家的宪法似的。黎曼几何学黎曼是大名鼎鼎的德国数学家高斯的学生，他在1851年创立黎曼几何。黎曼引进了流形和度量的概念，证明曲率是度量的唯一内涵不变量，具有划时代的意义。黎曼几何是现代几何研究的基础，在物理学和天文学等很多学科的研究当中有着许许多多的应用。黎曼几何学■

Ｒiemann在１８５４年著名的就职演讲“关于几何学的基本假设”中，把Ｇauss的曲面内蕴微分几何理论推广到任意维空间，提出了现今人们称之为“黎曼几何学”的思想，Ｒiemann几何就此诞生。欧氏几何是一种简单的黎曼几何。首先，他提出了维流形的概念。其次，切向量dx的长度ds（称为线元）可以是dx的分量的任意的一次齐次函数，要求该函数的值在dx的分量全部反号时不改变；并且该函数的系数与x有关（现在，称这种度量为Finsler度量）。

黎曼几何学Ｒiemann的思想引起了许多工作来处理和发展他的新几何。流形、变换群、李代数等是描述和理解黎曼几何的重要语言和工具，同时也是现代数学研究的重要内容。前苏联一些数学家认为：曲线和曲面的微分几何已逐渐被看成是过时的了。

黎曼（Riemann）几何学的思想在已采用了坐标系{x1,x2,…,xn}的n维空间中，他引入了无限邻近的两点{x1,x2,…,xn}和{x1+dx1,x2+dx2,…,xn+dxn}之间的“距离”ds的概念，ds2可用dx1,dx2,…,dxn的一个正定二次型来表示：其中（gij）是一个正定矩阵。

后来，人们将这种带有度量ds2的空间称为黎曼（Riemann）空间。欧氏几何是一种最简单的黎曼几何，这时gij=δ

ij，即利用度量ds，可以导出黎曼空间中曲线的弧长、区域的面积、向量的平行移动等几何概念，并由此发展成一种崭新的几何学。后来，Minkowski和Lorentz等人将黎曼几何中度量正定性的限制去掉，即(gij((x))也可以不是正定的(但要求它是非退化的)，这样就导出了Lorentz几何。这时其中矩阵（gij）是一个非正定的、但行列式不等于零的矩阵。特别地，当时，称这时的Lorentz空间为Minkowski空间。黎曼几何学与相对论1915年，爱因斯坦创立了新的引力理论——广义相对论，也使用到了黎曼创立的几何。黎曼几何及其运算方法为广义相对论研究提供了有效的数学工具。在广义相对论中，宇宙一切物质的运动都可以用曲率来描述，引力场实际上就是一个弯曲的时空，而时空就是数学中的度量化的流形。

物理学与数学刘克峰：《物理激发的数学》上海世博会期间在法国馆的演讲2010年10月12日

物理学与数学曾经有一些伟大的数学公式改变了人类历史的进程，如：牛顿的第二力学定律：F=ma爱因斯坦的质能方程：E=mc2以及牛顿的万有引力定律。这些公式极其简单，却蕴含了万物的相互作用和变化规律。物理学与数学今天我们能够制造飞船登上月球，能够利用核能量为人类服务，这些公式为此提供了重要的理论基础。老子的名言：大道至简物理学与数学现代数学和现代物理密切相关。特别是，例如：（１）广义相对论和规范场论与现代微分几何理论相互依赖、互相渗透，互相促进和发展；（２）在量子场论方面的物理学著作中，很大篇幅讲述的是高维变分理论、李群；（３）黎曼几何可以用物理观点去全面处理；（４）连续介质力学、刚体理论则大量地使用了张量、群论这些现代数学工具。物理学与数学在历史上，最成功的两个物理理论是：（1）量子场论——描述微观世界里粒子的运动规律，基本方程是Schrodinger方程。（2）广义相对论——描述宏观世界里星球的运动规律，基本方程是：爱因斯坦场方程。直到19世纪末,黎曼几何学或Lorentz几何学仍停留在纯理论的发展阶段。长期以来，人们习惯地认为欧几里德空间是现实空间的一种最好的描述。牛顿就采用欧几里德空间来描述物体所在的空间。在牛顿力学中，时间是绝对的，时间和空间是两种类型截然不同的参量。四维时空，爱因斯坦相对论例如，在三维欧氏空间中选用笛卡尔直角坐标系{O;x,y,z}，则物体在时刻t的空间位置可用{t;x,y,z}来表示。如果将坐标系{O;x,y,z}沿x轴按常速a作平移运动(无转动)，则运动坐标系{O′;x′,y′,z′}与静止坐标系{O;x,y,z}只见的坐标变换为于是同一质点在这两个不同坐标系中所观察到的速度是不同的：质点在静止坐标系{O;x,y,z}中的速度向量与在运动坐标系{O′;x′,y′,z′}中的速度向量之间有如下的关系：

但是，从19世纪末新发现的著名的Michelson实验中知道，在这两个不同的惯性系下所测到的光速（即光子的速度）却总是相同的。这一现象是很难用牛顿力学的理论来解释的。“时间相对论”一个钟静止，另一个钟在运动。根据相对论，接近光速运动的钟会走得很慢，而静止的钟则正常。同理，如果双生子之一乘宇宙飞船以接近光速运动，而另一人留在地球上，那么留在地球上的这人将会比他的兄弟老得快得多。狭义相对论1905年,爱因斯坦提出了“狭义相对论”。他把一维的时间和三维的欧氏空间放在一起考察，成为四维时空。引起了物理学的革命。他认为四维时空中的几何学应该是Minkowski几何学。爱因斯坦认为这个四维空间的几何学应该是Minkowski几何学，即两个无限邻近的事件{t,

x,y,z}和{t+dt,

x+dx,y+dy,z+dz}之间的“距离”(物理学中称为“时空间隔”)，ds应满足而两个惯性系之间的坐标变换应使无限邻近的两个事件的“时空间隔”保持不变。于是，爱因斯