离散型随机变量的数学期望

离散型随机变量的数学期望复习引入1独立重复试验定义：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验1、每次试验是在同样条件下进行；2、每次试验都只有两种结果:发生与不发生；3、各次试验中的事件是相互独立的；4、每次试验,某事件发生的概率是相同的。注：独立重复试验的基本特征：1基本概念基本概念2、二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生次的概率为此时称随机变量服从二项分布，记作~Bn,p,并称p为成功概率。51概率分布列一般地，假定随机变量有n个不同的取值，它们分别是1,2,…,n且P=i=pi,（i=1,2,…,n）则称为随机变量的分布列，简称为的分布列Xx1x2…xnPP1,p2…pn此表叫概率分布列，表格表示1、某人射击10次,所得环数分别是:1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？把环数看成随机变量的概率分布列：X1234P互动探索一、离散型随机变量取值的均值一般地，若离散型随机变量的概率分布为：则称为随机变量的均值或数学期望。············它反映了离散型随机变量取值的平均水平。试问哪个射手技术较好例1谁的技术比较好乙射手甲射手解故甲射手的技术比较好3．2011·福建福州质检已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且Eξ＝63，则a的值为A5 B．6C．7 D．8解析：由分布列性质知：05＋01＋b＝1，∴b＝04∴Eξ＝4×05＋a×01＋9×04＝63∴a＝答案：Cξ4a9P0.50.1b类型一求离散型随机变量的期望解题准备：求离散型随机变量的期望，一般分两个步骤：①列出离散型随机变量的分布列；②利用公式Eξ＝1p1＋2p2＋…＋ipi＋…，求出期望值．【典例1】2011·福州市高中毕业班综合测试卷口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，两张标有数字3，第一次从口袋里任意抽取一张，放回口袋后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为ξ1ξ为何值时，其发生的概率最大？说明理由．2求随机变量ξ的期望Eξ本题主要考查某事件发生概率的求法，以及离散型随机变量分布列的数学期望的求法．问题1，对ξ的取值做到不重不漏，这是学生容易出错的地方．利用好计数原理和排列、组合数公式，求事件发生的概率，问题2比较容易，用好离散型随机变量分布列的数学期望公式即可．（广东卷17）

随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．

（1）求的分布列；

（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；

（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于473万元，则三等品率最多是多少？高考链接：【解析】（1）的所有可能取值有6，2，1，-2；，，,

故的分布列为：0.020.10.250.63P-2126X（2）（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为依题意，，即，解得所以三等品率最多为3%设Y＝a＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．（1）Y的分布列是什么？（2）EY=？思考：···························Y＝a＋b一、离散型随机变量取值的均值············二、随机变量数学期望的性质（线性性质）即时训练：1、随机变量的分布列是X135P0.50.30.21则E=2、随机变量ξ的分布列是242若Y=21，则EY=58ξ47910P0.3ab0.2E（ξ）=75,则a=b=0401例1：已知随机变量的分布列如下：例1篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为07，则他罚球1次的得分的均值是多少？一般地，如果随机变量服从两点分布，X10Pp1－p则三、例题讲解两点分布的期望三、例题讲解变式1篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为07，则他连续罚球3次的得分的均值是多少？X0123P分析：～B（3，07）为什么呢？E=例1篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为07，则他罚球1次的得分的均值是多少？三、例题讲解变式2篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为p，则他连续罚球n次的得分的均值是多少？x01…k…np……的概率分布如下：~Bn,p为什么呢？能证明它吗？E=np证明：所以若ξ～Bn，p，则E（ξ）＝np．证明：若ξ～Bn，p，则Eξ＝np2；一般地，如果随机变量服从二项分布，即～B（n,p），则E=np结论：1；一般地，如果随机变量服从两点分布（1，p，则E＝p3，一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是3即时训练：4，随机变量~B（8，p），已知的均值E=2，则P（=3=例2一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中摸出3个球（1）求得到黄球个数ξ的分布列；（2）求ξ的期望。小结：一般地,如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则超几何分布的数学期望例3假如你是一位商场经理，在五一那天想举行促销活动，根据统计资料显示，若在商场内举行促销活动，可获利2万元；若在商场外举行促销活动，则要看天气情况:不下雨可获利10万元，下雨则要损失4万元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%，你应选择哪种促销方式？解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效益为万元，则的分布列为0406－410PXE=10×06＋－4×04=44万元＞2万元,故应选择在商场外搞促销活动。例4：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项其中仅有一个选项正确，每题选对得5分不选或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为09，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值思路分析：设甲、乙选对题数分别为X1、X2，则甲、乙两人的成绩分别为Y1=5X1、Y2=5X2，问题转化为求:E(Y1)=E(5X1)=E(Y2)=E(5X2)=思考：X1、X2服从什么分布？5E(X1)5E(X2)解：设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是1和2，则1～B20，09，2～B20，025，E1＝20×09＝18，E2＝20×025＝5．由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是51和52。所以，他们在测验中的成绩的期望分别是E51＝5E1＝5×18＝90，E52＝5E2＝5×5＝25．布置作业谢谢！2010·衡阳模拟一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有n件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查取出的产品不放回箱子，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品．1若这箱产品被用户接收的概率是，求n的值；2在1的条件下，记抽检的产品次品件数为，求的分布列和数学期望．作业：【解】1设“这箱产品被用户接收”为事件A，∴n＝22的可能取值为1,2,3PA=P=1=P=2=P=3=∴的概率分布列为：X123P1．2010·河南六市联考甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试．公司规定面试合格者可签约．甲、乙面试合格就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：1至少有