第六节对数与对数函数

第六节对数与对数函数学习要求:1理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对

数或常用对数2通过具体实例,了解对数函数的概念能画出具体对数函数的图象,探索并了

解对数函数的单调性与特殊点=loga与指数函数y=aa>0,且a≠1互为反函数1对数的概念1对数的定义一般地,如果①

a=Na>0,且a≠1

,那么数叫做以a为底N的对数,记作②

=logaN

,其中③

a

叫做对数的底数,④

N

叫做对数的真数必备知识

·

整合

对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a≠1)⑤

logaN

常用对数底数为10⑥

lgN

自然对数底数为e⑦

lnN

2几种常见的对数2对数的性质与运算法则1对数的性质i负数和0无对数ii1的对数等于0,即loga1=0a>0且a≠1iiilogaa=1a>0且a≠1▶提醒

 =⑧

N

;logaaN=⑨

N

a>0且a≠12换底公式及其推论换底公式:⑩logbN

= a,b均大于0且不等于1推论:logab= ,lo bn= logaba>0且a≠1,b>0且b≠1,m,n∈R,且m≠0,logab·logbc·logcd= logad

a,b,c均大于0且不等于1,d大于03对数的运算法则如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么logaMN= logaMlogaN

,loga = logaM-logaN

,logaMn= 

nlogaM

n∈R3对数函数的图象与性质

a>10<a<1图象

性质定义域:(0,+∞)值域:R图象恒过点(1,0),即x=1时,y=0当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0是(0,+∞)上的增函数是(0,+∞)上的减函数▶提醒当对数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和0<a<1两种情况进

行讨论4反函数指数函数y=aa>0,且a≠1与对数函数 

y=loga

a>0,且a≠1互为反函数,它们的图象关于直线 

y=

对称知识拓展1在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大=logaa>0,且a≠1的图象过定点1,0,且过点a,1, ,函数图象只在第一、四象限1判断正误正确的打“√”,错误的打“✕”1logaMN=logaMlogaN 2函数y=loga2与函数y=2loga相等 3对数函数y=logaa>0,且a≠1在0,∞上是增函数 4函数y=ln 与y=ln1-ln1-的定义域相同 ✕✕✕√2新教材人教A版必修第一册P127T3改编log29×log342log510log5025=

A0

B2

C4

D6D3新教材人教A版必修第一册P133例3改编已知a=ln3,b=log3e,c=logπe,则下

列关系正确的是 Ac<b<a

Ba<b<cCb<a<c

Db<c<aA4新教材人教A版必修第一册P159T1改编图中曲线是对数函数y=loga的图

象,已知a取 , , , 四个值,则对应于C1,C2,C3,C4的a值依次为 A , , , 

B , , , C , , , 

D , , , A=loga2-a在区间 上恒有f>0,则实数a的取值范围是

考点一对数式的化简与求值关键能力

·

突破

1多选题设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,则 bc=2ac

bc=acC =  

D = - AD解析

∵a,b,c都是正数,故可设4a=6b=9c=M,∴a=log4M,b=log6M,c=log9M,则

=logM4,

=logM6,

=logM9.∵logM4+logM9=2logM6,∴

+

=

,即

=

-

,去分母整理得,ab+bc=2ac.故选AD.2计算: 2log31-3log773ln1=0

解析原式=32×0-3×13×0=03计算: ×10 =-20

解析原式=(lg2-2-lg52)×10

=lg

×10=lg10-2×10=-2×10=-20.4计算: =1

解析原式=

=

=

=

=

=1.名师点评1在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的

形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并2先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数,然后逆用对数的运算法则,化

为同底对数真数的积、商、幂再运算=N⇔b=logaNa>0,且a≠1是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运

算中应注意互化考点二对数函数的图象及应用典例112020安徽亳州二模在同一个平面直角坐标系中,函数f= 与g=lg 的图象可能是 

A22020宁夏银川模拟已知函数f=|ln|,若0<a<b,且fa=fb,则2ab的取值

范围是 A2 ,∞

B[2 ,∞C3,∞

D[3,∞B解析(1)由题意a>0且a≠1,所以函数g(x)=lg

单调递减,故排除B、D;对于A、C,由函数f(x)=

的图象可知0<a<1,对于函数g(x)=lg

,g(1)=lga<0,故A正确,C错误.(2)f(x)=|lnx|的图象如下:

因为0<a<b且f(a)=f(b),所以|lna|=|lnb|且0<a<1,b>1,所以-lna=lnb,即ab=1,易得2a+b≥2

=2

,当且仅当2a=b,即a=

,b=

时等号成立.故选B.名师点评1在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点与

坐标轴的交点、最高点、最低点等排除不符合要求的选项2常把一些对数型方程、不等式问题转化为相应的函数图象问题,利用数形

结合法求解12020广东惠州模拟当a>1时,在同一坐标系中,函数g=a-与f=-loga的

图象大致是 

D解析

因为a>1,所以g(x)=a-x=

为R上的减函数,且过(0,1);f(x)=-logax为(0,+∞)上的减函数,且过(1,0),故只有D选项符合.22020陕西榆林三模设1、2、3均为实数,且 =ln1, =ln21, =lg3,则A1<2<3

B1<3<2C2<3<1

D2<1<3D解析

因为

=lnx1⇒

=lnx1,

=ln(x2+1)⇒

=ln(x2+1),

=lgx3⇒

=lgx3,所以作出函数y=

,y1=lnx,y2=ln(x+1),y3=lgx的函数图象,如图所示:

由图象可知函数y2,y1,y3与y的交点A,B,C的横坐标依次为x2,x1,x3,即有x2<x1<x3.故选D.考点三对数函数的性质及应用角度一比较对数值的大小典例2

2020课标Ⅲ理,12,5分已知55<84,134<=log53,b=log85,c=log138,则

 Aa<b<c

Bb<a<c

Cb<c<a

Dc<a<bA解析

a=log53∈(0,1),b=log85∈(0,1),则

=

=log53·log58<

=

<1,∴a<b.又∵134<85,∴135<13×85,两边同取以13为底的对数得log13135<log13(13×85),即log138>

,∴c>

.又∵55<84,∴8×55<85,两边同取以8为底的对数得log8(8×55)<log885,即log85<

,∴b<

.综上所述,c>b>a,故选A.角度二解简单的对数不等式典例3若logaa21<loga2a<0,则a的取值范围是 A0,1

B C 

D0,1∪1,∞C解析

由题意得a>0且a≠1,故必有a2+1>2a,又loga(a2+1)<loga2a<0,所以0<a<1,且2a>1,∴a>

.故a的取值范围是

.角度三与对数函数有关的复合函数问题典例4已知函数f=logaa2-1若a= ,求f的单调区间;2若f在区间上是增函数,求实数a的取值范围解析(1)当a=

时,f(x)=lo

,由

x2-x>0,得x2-2x>0,解得x<0或x>2,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞),利用复合函数单调性可得函数f(x)的增区间为(-∞,0),减区间为(2,+∞).(2)令g(x)=ax2-x,则函数g(x)的图象开口向上,对称轴为x=

的抛物线,①当0<a<1时,要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数,则g(x)=ax2-x在[2,4]上单调递减,且g(x)min=ax2-x>0,即

此不等式组无解.②当a>1时,要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数,则g(x)=ax2-x在[2,4]上单调递增,且g(x)min=ax2-x>0,即

解得a>

,又a>1,∴a>1.综上实数a的取值范围为(1,+∞).名师点评1确定函数的定义域,研究或利用函数的性质,都要在其定义域上进行2如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误3在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用对

数函数的单调性来求解在利用单调性时,一定要明确底数a的取值对函数增

减性的影响,并且真数必须为正12020课标Ⅲ文,10,5分设a=log32,b=log53,c= ,则 Aa<c<b

Ba<b<cCb<c<a

Dc<a<b解析

因为a=log32=log3 <log3 = =c,b=log53=log5 >log5 = =c,所以a<c<A>b>0,0<c<1,则 <logbc