第二章函数的奇偶性及周期性

第二章函数、导数及其应用第四节函数的奇偶性及周期性抓基础明考向提能力教你一招我来演练

考

什

么理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性.怎

么

考1.函数的奇偶性是高考考查的热点．2.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、

利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重

点，也是难点．3.题型以选择题和填空题为主，还可与函数单调性等其他知

识点交汇命题.一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有

，那么函数f(x)是偶函数关于

对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有

，那么函数f(x)是奇函数关于

对称f－＝ff－＝－fy轴原点二、周期性1．周期函数对于函数y＝f，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数y＝f为周期函数，称T为这个函数的周期．f＋T＝f2．最小正周期如果在周期函数f的所有周期中的正数，那么这个就叫做f的最小正周期．存在一个最小最小正数答案：C答案：B答案：B3．教材习题改编已知定义在R上的奇函数f，满足f＋4＝f，则f8的值为 A．－1 B．0C．1 D．2解析：因f为奇函数且f＋4＝f．∴f0＝0，T＝4∴f8＝f0＝0答案：23解析：由奇偶函数的定义知：1为偶函数；23为奇函数；4既不是偶函数，也不是奇函数．答案：－95．2011·广东高考设函数f＝3cos＋a＝11，则f－a＝________解析：观察可知，y＝3cos为奇函数，且fa＝a3cosa＋1＝11，∴a3cosa＝－a＝－a3cosa＋1＝－10＋1＝－9奇、偶函数的有关性质1奇、偶函数的定义域关于原点对称；2奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；3若奇函数f在＝0处有定义，则f0＝0；4利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．2011·广东高考设函数f和g分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A．|f|－g是奇函数 B．|f|＋g是偶函数C．f－|g|是奇函数 D．f＋|g|是偶函数D设F＝f＋|g|，由f和g分别是R上的偶函数和奇函数，得F－＝f－＋|g－|＝f＋|g|＝F，∴f＋|g|是偶函数．——————课堂突破保分题，分分必保！1．2011·台州一模下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是 A．y＝2|| B．y＝2－C．y＝2 D．y＝3答案：B解析：y＝2||是偶函数，y＝2是奇函数，y＝3是奇函数，y＝2－既不是奇函数也不是偶函数．2．2012·丽水模拟若函数f＝3＋3－与g＝3－3－的定义域均为R，则 A．f与g均为偶函数B．f为偶函数，g为奇函数C．f与g均为奇函数D．f为奇函数，g为偶函数解析：由f－＝3－＋3＝f可知f为偶函数，由g－＝3－－3＝－3－3－＝－g可知g为奇函数．答案：B利用定义判断函数奇偶性的方法1首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件．2如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f－＝－f，或f－＝f是否对定义域内的每一个恒成立恒成立要给予证明，否则要举出反例．注意：分段函数判断奇偶性应分段分别证明f－与f的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性法一：∵f是定义在R上的奇函数，且≤0时，f＝22－，∴f1＝－f－1＝－2×－12＋－1＝－3A法二：设>0，则－<0，∵f是定义在R上的奇函数，且≤0时，f＝22－，∴f－＝2－2－－＝22＋，又f－＝－f，∴f＝－22－，∴f1＝－2×12－1＝－3B本例的条件不变，若n≥2且n∈N*，试比较f－n、f1－n、fn－1与fn＋1．解：因为f为偶函数，所以f－n＝fnf1－n＝fn－1．又因为函数y＝f在0，＋∞为减函数，且0<n－1<n<n＋1，∴fn＋1<fn<fn－1．∴fn＋1<f－n<fn－1＝f1－n．答案：0解析：当<0时，则－>0，∴f＝2＋，f－＝a2－b，而f－＝－f，即－2－＝a2－b，∴a＝－1，b＝1，故a＋b＝05．2012·皖南八校联考已知定义在R上的奇函数满足f＝2＋2≥0，若f3－a2>f2a，则实数a的取值范围是________．解析：因为f＝2＋2在[0，＋∞上是增函数，又因为f是R上的奇函数，所以函数f是R上的增函数，要使f3－a2>f2a，只需3－a2>2a，解得－3<a<1答案：－3,1函数奇偶性的应用1已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f的方程，从而可得f的解析式．2已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f±f－＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．3奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反A6．2012·宝鸡模拟已知f是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤＜2时，f＝3－，则函数y＝f的图象在区间上与轴的交点的个数为A．6 B．7C．8 D．9—————课堂突破保分题，分分必保！解析：因为当0≤＜2时，f＝3－，所以f0＝0，又因为f是R上最小正周期为2的周期函数，所以f6＝f4＝f2＝f0＝0，又因为f1＝0，所以f3＝0，f5＝0，故函数y＝f的图象在区间上与轴的交点有7个．答案：B7．2011·南昌第一次模拟已知f是定义在R上的偶函数，对任意∈R都有f＋6＝f＋2f3，且f－1＝2，则3＝________，f2011＝________解析：依题意得f－3＋6＝f－3＋2f3，即有f3＝f3＋2f3，所以f3＝0，f＋6＝f，即函数f是以6为周期的函数．注意到2011＝6×335＋1，因此有f2011＝f1＝f－1＝2答案：028．2011·临沂一模设定义在R上的函数f满足f·f＋2＝13，则f的周期为________．答案：4递推法：若f＋a＝－f，则f＋2a＝f＝－f＋a＝f，所以周期T＝2a换元法：若f＋a＝f－a，令－a＝t，＝t＋a，则ft＝ft＋2a，所以周期T＝2a数学思想方程思想在求函数解析式中的应用