第六节二元一次不等式(组)与线性规划

第六节二元一次不等式组与线性规划学习要求:1了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组2会从实际情境中抽象出一些简单的线性规划问题,并能解决1二元一次不等式表示的平面区域一般地,二元一次不等式AByC>0在平面直角坐标系中表示直线AByC

=0某一侧所有点组成的平面区域我们把直线画成①虚线

以表示区域不

ByC≥0所表示的平面区域

时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成②实线

对于直线AByC=0同一侧的所有点,把其坐标,y代入AByC,所得到实

数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点0,y0,由A0By0

C的正负即可判断AByC>0或<0表示直线哪一侧的平面区域必备知识

·

整合

2线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由关于x,y的③一次

不等式组成的不等式组目标函数关于x,y的函数解析式,如z=x+2y线性目标函数关于x,y的④一次函数

解析式可行解满足线性约束条件的解⑤(x,y)

可行域所有⑥可行解

组成的集合最优解使目标函数取得⑦最大值或最小值

的可行

解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或

最小值问题▶提醒

如果目标函数存在一个最优解,那么最优解通常在可行域的顶点处

取得;如果目标函数存在多个最优解,那么最优解一般在可行域的边界上取得知识拓展1利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于AByC>0或AByC<0A>0,C>0,有:1当BAByC>0时,区域为直线AByC=0的上方;2当BAByC<0时,区域为直线AByC=0的下方2最优解和可行解的关系最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解最优解不一定唯一,有时唯

一,有时有多个1判断正误正确的打“√”,错误的打“✕”1不等式AByC>0A>0,B>0表示的平面区域一定在直线AByC=0的右

上方 2使目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上3在目标函数=abyb≠0中,的几何意义是直线aby-=0在y轴上的截

距 4在目标函数= 中,的几何意义是过点1,2和,y的直线的斜率 

5在目标函数=-12y-22中,的几何意义是点1,2到点,y的距离

√✕✕✕✕6<0表示的区域在直线-2y6=0的 A右上方

B右下方

C左上方

D左下方C解析

画出-2y6<0的图象如图中阴影部分所示,可知该区域在直线-2y

6=

3不等式组 所表示的平面区域的面积为

,y满足不等式组 目标函数=y-aa∈R若取最大值时的唯一解是1,3,则实数a的取值范围是

1,∞

角度一平面区域的面积问题典例11不等式组 表示的平面区域的面积为A4

B1

C5

D无穷大2不等式组 表示的平面区域的面积是A12

B24C36

D48

考点一二元一次不等式组表示的平面区域关键能力

·

突破

BB解析1不等式组 表示的平面区域如图所示阴影部分,△ABC的面积即为所求

易得A1,2,B2,2,C3,0,则△ABC的面积S= ×2-1×2=12不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分:

所求面积= =典例21若不等式组 表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是

2已知约束条件 ,表示面积为1的直角三角形区域,则实数的值为

角度二平面区域的形状问题10,1]∪ 解析1不等式组 表示的平面区域如图中阴影部分所示

解 得A ;解 得B1,0若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则直线y=a中的a的取值范围是0<a≤1或a≥ 2作出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示,要使阴影部分为直角

三角形,则≥=0时,此三角形的面积为 ×3×3= ≠1,所以不符合题意所以>0,则必有BC⊥y-4=0的斜率为-1,所以直线-y=0的斜率

为1,即=1规律总结1确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法1直线定界,特殊点定域即先作直线,再取特殊点并代入不等式组若满足

不等式组,则不等式组表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区

域;否则就对应与特殊点异侧的平面区域;2当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常

取原点2求平面区域面积的方法1首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,则应利用题目中的

已知条件转化为不等式组问题,从而作出平面区域;2对平面区域进行分析,若为三角形,则应确定底与高若为规则的四边形如

平行四边形或梯形,则利用面积公式直接求解若为不规则图形,则分割成几

个规则图形分别求解再求和即可1不等式组 所表示的平面区域的面积为

8解析

如图,不等式组表示的平面区域为直角梯形阴影部分,易得A0,2,B

2,2,C2,7,D0,5,所以AD=3,AB=2,BC== ×35×2=8

2若不等式组 表示的平面区域为三角形,且其面积等于 ,则m的值为

1解析点纵坐标

yA=1m,B点纵坐标yB= ,C点横坐标C=-2m,所以S△ABD=S△ACD-S△BCD= ×22m×1m- ×22m× = = ,所以m=1或m=-3,因为当m=-3时,不满足题意,应舍去,所以m=1

3不等式|-2||y-2|≤2所表示的平面区域的面积是

,周长是

88 解析原不等式等价于 画出不等式组表示的平面区域如图中正方形ABCD的内部及边界,正方形的

边长为2 ,故面积为2 ×2 =8,周长为4×2 =8 

角度一求线性目标函数的最值范围典例3

2020课标全国Ⅰ,13,5分若,y满足约束条件 则=7y的最大值为

考点二求线性目标函数的最值范围1解析作出可行域如图,由=7y得y=-  ,易知当直线y=-  经过点A1,0时,取得最大值,ma=17×0=1

典例4设,y满足条件 1求u=2y2的最大值与最小值;2求v= 的最大值与最小值;3求=|2y4|的最大值与最小值角度二求非线性目标函数的最值范围解析画出满足条件的可行域,如图中阴影部分所示包含边界

12y2=u表示一组同心圆圆心为原点O,且同一圆上的点,2y2的值都

相同,由图象可知,当,y在可行域内取值时,当且仅当圆O过C点时,u最大,过点0,0时,u最小,又C3,8,所以uma=73,umin=02v= 表示可行域内的点a= = ,vmin= =-43因为=|2y4|= × 表示可行域内的点P,y到直线2y4=0的距离的 倍,由图象知点A到直线2y4=0的距离最小,点C到直线2y4= ,C3,8,所以当=- ,y= 时,min= × = 当=3,y=8时,ma= × =18角度三含参的线性规划问题典例51已知,y满足约束条件 且=3y的最小值为2,则常数=

2若,y满足约束条件 且目标函数=a2y仅在点1,0处取得最小值,则a的取值范围是

-2-4,2解析1 所表示的平面区域如图中阴影部分所示包含边界,由=3y得y=-  ,结合图形可知,当直线y=-  过点A时,最小,由 解得A2,-2-,此时min=23-2-=2,解得=-22作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,直线=a2y的斜率

=- ,从图中可看出,当-1<- <2,即-4<a<2时,目标函数仅在点1,0处取得最小值

名师点评1求目标函数最值的方法1求目标函数=abyab≠0的最值,将=aby转化为直线的斜截式y=-  ,通过求直线的截距 的最值间接求出的最值2 表示点,y与原点0,0的距离, 表示点,y与点a,b的距离3 表示点,y与原点0,0连线的斜率, 表示点,y与点a,b连线的斜率2由目标函数的最值求参数的方法求解线性规划中含参问题的基本方法有两种:一是把参数当成常数用,根据线

性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或

不等式求参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,再通过观察的方

法确定含参的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数,y满足约束条件 若=ay的最大值为4,则a等于 A3

B2

C-2

D-3B解析

不等式组 表示的平面区域如图中阴影部分所示包含边界

易知A2,0,由 得B1,1由=ay,得y=-a,所以当a=-2或a=-3时,=ay在点O0,0处取得最大值,最大值为0,不满足题意,排除C,D;当a=2或a=3

时,=ay在点A2,0处取得最大值,所以2a=4,所以a=2,故选B、y满足约束条件 1求目标函数=32y的最大值与最小值;2求目标函数u=2y2的取值范围;3求目标函数v= 的取值范围解析不等式组表示的平面区域为△ABC含边界1由图可知,当直线=32y,即直线y=-  过点B时,该直线在轴上的截距