第二章专题突破四

专题突破四焦点弦的性质第二章圆锥曲线与方程抛物线的焦点弦是考试的热点，有关抛物线的焦点弦性质较为丰富，对抛物线焦点弦性质进行研究获得一些重要结论，往往能给解题带来新思路，有利于解题过程的优化．一、焦点弦性质的推导例1抛物线y2＝2pp>0，设AB是抛物线的过焦点的一条弦焦点弦，F是抛物线的焦点，A1，y1，B2，y2y1>0，y2<0，A，B在准线上的射影为A1，B1证明①当AB⊥轴时，②当AB的斜率存在时，设为≠0，代入抛物线方程y2＝2p，证明当θ≠90°时，过A作AG⊥轴，交轴于G，由抛物线定义知|AF|＝|AA1|，在Rt△AFG中，|FG|＝|AF|cosθ，由图知|GG1|＝|AA1|，当θ＝90°时，可知|AF|＝|BF|＝p，证明|AB|＝|AF|＋|BF|＝1＋2＋p当且仅当θ＝90°时取等号故通径长2p为最短的焦点弦长证明由2可得，原点O到直线AB的距离6以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；证明如图：⊙M的直径为AB，过圆心M作MM1垂直于准线于M1，故以AB为直径的圆与准线相切7A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线代入y2＝2y－p2＝0由1可得y1y2＝－p2∴直线AB1过点O∴A，O，B1三点共线，同理得B，O，A1三点共线二、焦点弦性质的应用例21设F为抛物线C：y2＝3的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为√解析方法一由题意可知，直线AB的方程为设A1，y1，B2，y2，方法二运用焦点弦倾斜角相关的面积公式，2已知F为抛物线C：y2＝4的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为A16 B14 C12 D10√解析方法一抛物线C：y2＝4的焦点为F1,0，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0不妨设直线l1的斜率为，设A1，y1，B2，y2，同理得|DE|＝4＋42，故|AB|＋|DE|的最小值为16方法二运用焦点弦的倾斜角公式，注意到两条弦互相垂直，点评上述两道题目均是研究抛物线的焦点弦问题，涉及抛物线焦点弦长度与三角形面积，从高考客观题快速解答的要求来看，常规解法显然小题大做了，而利用焦点弦性质，可以快速解决此类小题跟踪训练过抛物线y2＝2的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|＝____由题干知A，B所在直线的斜率存在，12345＝22的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为√达标检测DABIAOJIANCE123452＝4的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为Ay＝－＋1 By＝－1Cy＝－＋1或y＝－1 D以上均不对√则tanα＝±1，又直线过抛物线焦点，∴直线l的方程为y＝－＋1或y＝－123452＝－2pp>0的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是Ay2＝－12 By2＝－8Cy2＝－6 Dy2＝－4√解析设A1，y1，B2，y2，根据抛物线的定义可知|AB|＝－1＋2＋p＝8又AB的中点到y轴的距离为2，∴－＝2，∴1＋2＝－4，∴p＝4，∴所求抛物线的方程为y2＝－123452＝4的焦点作直线交抛物线于点A1，y1，B2，y2，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为____解析抛物线的焦点为F1,0，准线方程为＝－1由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝1＋2＋p，即1＋2＋2＝7，得1＋2＝5，，B两点，若点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1为______解析设抛物线方程为y2＝2pp>0，如图∵|AF|＝|AA1|，