导数的概念及其运算

第三篇导数及其应用

第1节导数的概念及其运算1导数的概念1f在=0处的导数函数y=f在=0处的瞬时变化率是称其为函数y=f在=0处的导数,记作f′0或y′|=0,即f′0=基础知识梳理：2导函数当变化时,f′称为f的导函数,则f′=y′=注意:导数是函数在x=x0处及其附近函数值的改变量Δy与自变量的改变量Δx之比的极限,它是一个局部性的概念.

则函数y=f(x)在x=x0处就有导数,否则就没有导数.2导数的几何意义函数y=f在=0处的导数的几何意义,就是曲线y=f在点P0,y0处的切线的斜率,过点P的切线方程为:y-y0=f′0-0注意：求曲线过某点的切线方程，必须先判断点是否在曲线上。若不在，则先设切点坐标再求。3几种常用函数的导数1c′=0c为常数;2n′=nn-1n∈N;3sin′=cos;4cos′=-sin;5e′=e;6a′=alna;4导数运算法则1′=f′±g′;2′=f′gfg′;注意:关于导数的加减法则,可推广到有限多个情况,如′=f′g′h′等1在平均变化率的定义中,自变量的增量Δ满足>0 <0≠0 =0解析:当Δ>0时,是从右端趋近,Δ<0时,是从左端趋近,这就是“附近”的意义答案:C考点训练：=3t2,则在时间段[2,内相应的平均速度为 A041 B3C4 D41答案:D可导,则等于 Af′1 ′1Cf′1 Df′3答案:A在=1处的导数为3,则f的解析式可能为 Af=-133-1Bf=2-1Cf=2-12Df=-1解析:先求f的导函数,=-133-1时,f′=3-123且f′1=31-123=3答案:A52010·新课标全国曲线y=3-21在点1,0处的切线方程为Ay=-1By=-1Cy=2-2Dy=-22解析:由题可知,点1,0在曲线y=3-21上,求导可得y′=32-2,所以在点1,0处的切线的斜率=1,切线过点1,0,根据直线的点斜式可得切线方程为y=-1,故选A答案:A题型一 利用导数定义求导数解题准备:根据导数的定义求函数的导数是求导数的基本方法,应熟练掌握,关键是变形,找出分子与分母的对应关系典例研习：利用定义法求导数,要先求出Δy,然后分离出与Δ无关的量,再求解题型二 利用求导公式求导数解题准备:1运用可导函数求导法则和导数公式,求函数y=f在开区间a,b内的导数的基本步骤:1分析函数y=f的结构和特征;2选择恰当的求导法则和导数公式求导;3整理得结果2对较复杂的函数求导时,应先化简再求导,特别是对数函数真数是根式或分式时,可用对数的性质把真数转化为有理式或整式求解更为方便1y′=2′sin2sin′=2sin2cos;2y′=3e′-2′e′=3′e3e′-2′=3ln3•e3e-2ln2;=ln31•3e-2ln2;类型三 导数的几何意义及应用解题准备:求曲线切线方程的步骤是:①求导数f′;②求斜率=f′0;③写出切线方程y-y0=f′0-0但是要注意,当函数f在=0处不可导时,曲线在该点处并不一定没有切线,同时还必须明确P0,y0为切点求曲线的切线方程的方法是通过切点坐标,求出切线的斜率,再通过点斜式得切线方程利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以下条件:1函数在切点处的导数值也就是切线的斜率即已知切点坐标可求切线斜率,已知斜率可求切点的坐标2切点既在曲线上,又在切线上切线有可能和曲线还有其他的公共点错源一 因忽视解题顺序而致错易错扫描：f在点0处的导数f′0,实际上是导函数f′在=0处的函数值,即f′0=f′|=在0处的导数f′0,应先求f的导函数f′,再将=0代入f′求值,顺序不能颠倒技法一 活用导数定义【典例1】设f=-1-2•…•-2006,则f′0=________技能指导：1×2×3×…×2006技法二 先化简再求导,优化解题过程【典例2】求函数y=cot的导数对此题,由于课本没有给出y=cot的直接求导公式,一些同学不知怎么办了其实,将原式化为用sin与cos来表示的式子,然后再按照商的求导法则来求导即可求解一些常用求导的策略:1多项式相乘型的函数求导,往往把多项式展开后再利用