导数的几何意义市赛一等奖

第一章§11变化率与导数113导数的几何意义′0是一个常数＝f在＝0处的导数f′0就是导函数f′在＝0处的函数值3直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点4“直线l与曲线C相切”是“l与C有一个交点”的必要不充分条件

思考辨析判断正误SIAOBIANIPANDUANHENGWU√×√×例11如图，直线l是曲线y＝f在＝4处的切线，则f′4等于一、利用图象理解导数的几何意义AB3C4D5√2已知函数f在R上可导，其部分图象如图所示，设＝，则下列不等式正确的是A<f′1<f′2 Bf′1<<f′2Cf′2<f′1< Df′1<f′2<√跟踪训练1已知函数y＝f的图象如图所示，则其导函数y＝f′的图象可能是√解析由y＝f的图象及导数的几何意义可知，当<0时，f′>0；当＝0时，f′＝0；当>0时，f′<0，只有B适合条件例2幂函数y＝3在点2,8处的切线方程为Ay＝12－16 By＝12＋16Cy＝－12－16 Dy＝－12＋16二、求切线方程√故切线的斜率为12∴曲线在点2,8处的切线方程为y－8＝12－2，即y＝12－16跟踪训练已知曲线C：y＝求曲线C在＝2的点处的切线方程解将＝2代入曲线C的方程得y＝4，∴切点P2,4∴＝y′|＝2＝4∴曲线在点P2,4处的切线方程为y－4＝4－2，即4－y－4＝0例31设曲线f＝a2在点1，a处的切线与直线2－y－6＝0平行，则a等于三、求切点坐标√2多选已知函数f＝在＝0处的切线的倾斜角为135°，则0等于A1B－1C2D3可得0＝±1√√跟踪训练3曲线y＝2＋1在点P2,5处的切线与y轴交点的纵坐标是____－3∴＝y′|＝2＝4∴曲线y＝2＋1在点2,5处的切线方程为y－5＝4－2，即y＝4－3∴切线与y轴交点的纵坐标是－3核心素养之直观想象与数学运算HEINSUYANGHIHIGUANIANGIANGYUSHUUEYUNSUAN过某点的曲线的切线典例求过点－1,0与曲线y＝2＋＋1相切的直线方程＝20＋1解得0＝0或0＝－2当0＝0时，切线斜率＝1，过－1,0的切线方程为y－0＝＋1，即－y＋1＝0当0＝－2时，切线斜率＝－3，过－1,0的切线方程为y－0＝－3＋1，即3＋y＋3＝0故所求切线方程为－y＋1＝0或3＋y＋3＝0素养提升1首先要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点2过点1，y1的曲线y＝f的切线方程的求法步骤①设切点0，f0②建立方程f′0＝③解方程得＝f′0，0，y0，从而写出切线方程3本例考查了切线的含义及切线方程的求法体现了直观想象和数学运算的数学核心素养3随堂演练PARTTHREE＝f在点0，f0处的切线方程为＋2y－3＝0，那么Af′0>0 Bf′0<0Cf′0＝0 Df′0不存在12345√的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是A0<f′2<f′3<f3－f2B0<f′2<f3－f2<f′3C0<f′3<f3－f2<f′2D0<f3－f2<f′2<f′3√f′2为函数f的图象在点B2，f2处的切线的斜率，f′3为函数f的图象在点A3，f3处的切线的斜率，根据图象可知0<f′3<f3－f2<f′212345＝－在点M1，－2处的切线方程为Ay＝－2＋4 By＝－2－4Cy＝2－4 Dy＝2＋4√即切线的斜率＝2，所以切线方程为y＋2＝2－1，即y＝2－412345＝f的图象在＝1处的切线方程是y＝－4，则＝_____解析函数y＝f的图象在＝1处的切线y＝－4的斜率为1，则f′1＝1，由于切点1，f1在直线y＝－4上，则f1＝1－4＝－3，12345＝22＋4在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_______3,30令40＋4＝16，得0＝3，12345课堂小结ETANGIAOJIE1知识清单：1导数的几何意义2求曲线的切线方程3导函数和导数的关系2方法归纳：以直代曲法，待定系数法3常见误区：1混淆在一点处的切线和过一点的切线2不理解导函数和在一点处的导数的关系4课时对点练PARTFOUR基础巩固12345678910111213141516＝f的图象如图所示，则f′A与f′B的大小关系是Af′A>f′B Bf′A<f′BCf′A＝f′B D不能确定√解析由导数的几何意义，知f′A，f′B分别是曲线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′A<f′B√解析设切点坐标为0，y0，123456789101112131415163如图，函数y＝f的图象在点P2，y处的切线是l，则f2＋f′2等于A－4 B3C－2 D1√解析由图象可得函数y＝f的图象在点P处的切线是l，与轴交于点4,0，与y轴交于点0,4，则可知l：＋y＝4，∴f2＝2，f′2＝－1，∴f2＋f′2＝1，故选D12345678910111213141516的图象如图所示，则导函数f′的图象与轴的交点个数为A0 B1C2 D3√12345678910111213141516解析根据导数的几何意义，可知导函数f′在区间－∞，0内为负值，在区间0，＋∞内为正值，在＝0处为0，故f′的图象与轴有且只有1个交点＝2的一条切线l与直线＋4y－8＝0垂直，则l的方程为－y－4＝0 B＋4y－5＝0－y＋3＝0 D＋4y＋3＝0√解析设切点为0，y0，由题意可知，切线斜率＝4，即f′0＝20＝4，所以0＝2所以切点坐标为2,4，切线方程为y－4＝4－2，即4－y－4＝0，故选A12345678910111213141516＝a2＋b在点1,3处的切线斜率为2，则＝____123456789101112131415162解析由题意知a＋b＝3，12345678910111213141516＝1－在点1,0处的切线的倾斜角等于____＝2＋在点1,2处的切线方程为____________－y＋1＝0当＝1时，y′＝2－1＝1，∴所求切线方程为y－2＝－1，即－y＋1＝012345678910111213141516＝2＋－2在点1,0处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程12345678910111213141516所以y′|＝1＝3，所以直线l1的方程为y＝3－1，即y＝3－3，所以直线l2的方程为3＋9y＋22＝0123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516综合运用＝2在点P处的切线平行于直线4－y＋1＝0，则P点坐标为A2,4 B－2,4C－1,1 D1,1√设抛物线在点P0，y0处的切线平行于直线4－y＋1＝0，则y′|＝20＝4，解得0＝2，即P2,4，经检验，符合题意1234567891011121314151612多选已知函数f＝3，过点作曲线f的切线，则其切线方程为Ay＝0－y－2＝0C＝0－9y－8＝0√解得0＝0或0＝1，从而切线方程为y＝0或3－y－2＝0√12345678910111213141516＝2上任意一点，则点P到直线y＝－2的最小距离为_____，此时P点坐标为_______解析由题意可得，当点P到直线y＝－2的距离最小时，点P为抛物线y＝2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝－2，12345678910111213141516＝a3＋＋1的图象在＝1处的切线过点2,7，则a＝____1＝3a2＋1，∴f′1＝3a＋1，又f1＝a＋2，∴f＝a3＋＋1的图象在点1，f1处的切线方程为y－a＋2＝3a＋1－1，又此切线过点2,7，∴7－a＋2＝3a＋12－1，解得a＝112345678910111213141516拓广探究＝f＝，y＝g＝，过两曲线的交点作两条曲线的切线，则曲线f在交点处的切线方程为_____________－2y＋1＝0∴两曲线的交点坐标为1,1