2023学年完整公开课版点斜式

直线的点斜式方程现实世界中，到处有美妙的曲线．从飞逝的流星到雨后的彩虹，从古代石拱桥到现代立交桥……这些曲线都和方程息息相关．行星围绕太阳运行，人们要认识行星的运行规律，首先就要建立起行星运行的轨道方程．在建造桥梁时，我们首先要确定桥拱的方程，然后才能进一步地设计和施工．

通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来，使形和数结合，是研究几何图形的一种重要的方法，这一方法是用代数方法研究几何问题的基础，它的产生对于促进教学的发展起到了巨大的作用。直线方程的概念以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线．上面的定义可简言之：有一个解,就有一个点;(方程)(直线上)有一个点,

(直线上)(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的．

在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线方程的概念和定义，并通过方程来研究直线的有关问题.

为此，我们来研究直线的方程.用代数的方法来研究几何问题直线方程的概念

如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，那么，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线.直线的方程：就是直线上任意一点的坐标x,y所满足的关系表达式。任意一点的坐标关系表达式直线方程的概念如何确定一条直线?两点确定一条直线还有其他方法吗？如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？一点和一个确定的方向可以确定一条直线.点斜式方程xy（1）直线上任意一点的坐标是方程的解（满足方程）lP0(x0,y0)设直线任意一点（P0除外）的坐标为P(x,y)。（2）方程的任意一个解是直线上点的坐标点斜式P(x,y)设直线l过定点P0(x0,y0)且斜率为k,求直线l的方程直线方程的点斜式适用于斜率存在的直线。点斜式方程xylP0(x0,y0)l与x轴平行或重合倾斜角为0°斜率k=0y0直线上任意点纵坐标都等于y0O点斜式方程xylP0(x0,y0)l与x轴垂直倾斜角为90°斜率k不存在不能用点斜式求方程x0直线上任意点横坐标都等于x0O点斜式方程xylxylxylO①倾斜角α≠90°②倾斜角α=0°③倾斜角α=90°y0x0点斜式方程的应用：例1、一条直线经过点P1（-2，3），倾斜角α=450，求这条直线的方程，并画出图形。解：这条直线经过点P1（-2，3）,

斜率是k=tan450=1代入点斜式得y－3=x+2Oxy-55°P1°°练习1、已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），求直线l的方程解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得y－(－5)=－2(x－3)

即2x+y－1=0Oxy°P2°°1例2：一直线过点A（-1，-3)，其倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，求直线的方程。解：由直线的点斜式方程，得：即：分析：只要利用已知直线求出所求直线的斜率即可设所求直线的斜率为k,直线的倾斜角为则：小结1.点斜式方程当知道斜率和一点坐标时用点斜式2.特殊情况①直线和x轴平行时，倾斜角α=0°②直线与x轴垂直时，倾斜角α=90°注意：直线上任意一点P与这条直线上一个定点P1所确定的斜率都相等。⑵当P点与P1重合时，有x=x1，y=y1，此时满足y-y1=k（x-x1），所以直线l上所有点的坐标都满足y-y1=k（x-x1），而不在直线l上的点，显然不满足（y-y1）/（x-x1）=k即不满足y-y1=k（x-x1），因此y-y1=k（x-x1）是直线l的方程。

如果直线l过P1且平行于Y轴，此时它的倾斜角是900，而它的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，但这时直线上任一点的横坐标x都等于P1的横坐标所以方程为x=x1⑶如直线l过P1且平行于x轴，则它的斜率k=0，由点斜式知方程为y=y0;⑴P为直线上的任意一点，它的位置与方程无关Oxy°P1°°°°°°°P°°°°°°小魔术：1