第二章-线性连续系统的数学模型

第二章-线性连续系统的数学模型第一页，共108页。第二章线性连续系统的数学模型§2.1

系统动态微分方程的列写§2.2

传递函数§2.3

动态结构图的绘制及化简§2.4

信号流程图及梅逊公式§2.5

系统的传递函数及典型环节第一页第二页，共108页。

描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程。线性系统的定义系统可以用线性微分方程来描述（否则为非线性系统）建立数学模型的方法：解析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。实验法人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型的定义第二页第三页，共108页。数学模型的形式

☆时间域：微分方程（连续系统）差分方程（离散系统）

状态方程（连续、离散）

☆复数域：传递函数结构图☆频率域：频率特性第三页第四页，共108页。例：电气系统三元件1.在时域的表达电阻电容电感第四页第五页，共108页。

2.在复域的表达（拉氏变换以后的表达形式）结构图传递函数第五页第六页，共108页。3.在频域的表达频率特性幅频特性相频特性代入第六页第七页，共108页。§1.1动态微分方程的编写一、绘制工作原理框图二、列写出每个方框的数学表达三、线性方程组的标准化四、消去中间变量得数学模型第七页第八页，共108页。例1：角位置跟踪系统（随动系统）一、绘制工作原理框图第八页第九页，共108页。第九页第十页，共108页。分析工作原理第十页第十一页，共108页。工作原理框图第十一页第十二页，共108页。二、按照控制信号的传递方向（从左到右）列写出每个方框的数学表达1.电位器桥第十二页第十三页，共108页。第十三页第十四页，共108页。2.电压放大器3.功率放大器第十四页第十五页，共108页。4.电枢控制直流伺服电动机当电枢运动时电枢绕组中有反电势产生电枢绕组的电势平衡方程电枢电流与磁场相互作用而产生电磁转矩电机转矩平衡方程第十五页第十六页，共108页。5.机械传动机构两齿轮啮合点：线速度相等

v1=v2；圆周力相等F1=F2i称为速比；

因此，速比i

为轴1和轴2之间互相折算的算子，齿轮系速比越大，负载的转动惯量和粘性摩擦系数折算到电机轴上的等效值就越小。第十六页第十七页，共108页。齿轮齿条传动机构齿轮传动机构第十七页第十八页，共108页。多级齿轮系折算公式第十八页第十九页，共108页。角位置跟踪系统（随动系统）的线性方程组第十九页第二十页，共108页。三、线性方程组的标准化输出量表达式=输入量表达式（降幂排列）四、消去中间变量得数学模型第二十页第二十一页，共108页。例2：电阻、电容、电感串联网络1.列写方程组2.标准化3.消去中间变量系统的数学模型或输入输出第二十一页第二十二页，共108页。输出响应曲线c(t)r(t)r(t)t0c(t)示波器或记录仪信号发生器[实验]第二十二页第二十三页，共108页。小结：动态微分方程的编写方法一、绘制工作原理框图二、按照控制信号的传递方向（从左到右）列写出每个方框的数学表达三、线性方程组的标准化四、消去中间变量得数学模型第二十三页第二十四页，共108页。§1.2传递函数一、传递函数的定义二、传递函数的意义第二十四页第二十五页，共108页。一、传递函数的定义控制系统的微分方程式（上面得到的数学模型）初始条件为零情况下，对等式两边进行拉氏变换，得第二十五页第二十六页，共108页。写成：（输出量）=（系统函数)(输入量）传递函数定义输出量输入量第二十六页第二十七页，共108页。图形表达——结构图所以，s域的系统数学模型表示为传递函数的定义：

零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。R(s)Y(s)G(s)=第二十七页第二十八页，共108页。★传递函数是通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性，即以系统外部的输入—输出特性来描述系统的内部特点。若输入给定，系统的输出特性完全由传递函数G(S）决定。二、传递函数的意义输入输出G(S)R(S)Y(S)r(t)y(t)第二十八页第二十九页，共108页。例：电气元件输入相同信号u(t)输出信号i(t)??系统的固有特性决定了输入—输出关系输入—输出关系描述了系统的固有特性第二十九页第三十页，共108页。②传递函数是复变量s的有理真分式。由于系统都具有惯性并且能源又是有限的缘故，必然n≥m；传递函数的各项系数均为实数，是因为各项系数都是由系统元件参数决定的，而元件参数只能是实数。③传递函数只取决于系统结构和元件参数，与外作用无关。①传递函数是在初始条件为零情况下定义的。有两个含义，一是在之前系统的系统的输入量及其各阶导数的值均为零；二是输入作用加入系统之前，系统是相对静止的，在之前系统输出量及其各阶导数也为零。说明：第三十页第三十一页，共108页。④传递函数是由线性定常微分方程的拉氏变换得来的，所以它遵循线性系统的叠加性和齐次性。★叠加性★齐次性第三十一页第三十二页，共108页。§1.3系统动态结构图的绘制一、动态结构图的组成与绘制二、结构图的等效变换和化简方法第三十二页第三十三页，共108页。原理图结构图动态微分方程一、动态结构图的组成与绘制定义：结构图是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形，是系统图解形式的动态数学模型。组成：第三十三页第三十四页，共108页。信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，线上标记信号的时间函数或象函数；函数的符号标记在箭头旁，正号可以省略。所以，信号线代表一个有大小、符号、量纲、方向的变量。相加点（求和点、比较点、综合点）：对两个以上的信号进行加减运算，“+”号表示相加，“-”号表示相减；有时“+”可以省略。第三十四页第三十五页，共108页。方框：对信号进行数学变换，方框中写入元件或系统的传递函数。显然，方框的输出量等于方框的输入量与传递函数之积，即C(s）=G(s）R(s）分支点（引出点、测量点）：表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号，在数值和性质方面完全一样。即引用同一变量。第三十五页第三十六页，共108页。[例1]对该方程组进行拉氏变换并标准化：输出变量=f(输入变量）第三十六页第三十七页，共108页。画出各环节的结构图联结各环节的结构图——系统结构图第三十七页第三十八页，共108页。[例2]

角位置跟踪系统（随动系统）第三十八页第三十九页，共108页。画出各环节的结构图第三十九页第四十页，共108页。第四十页第四十一页，共108页。联结各环节的结构图——系统结构图小结：系统结构图绘制方法①对系统微分方程组进行拉氏变换并标准化；②按照信号传递方向画出各环节的结构图；③联结各环节的结构图得到系统结构图。第四十一页第四十二页，共108页。[例3]画出阻容网络的结构图第四十二页第四十三页，共108页。说明：1.结构图是图解形式的数学模型，它脱离了物理系统的模型，形象直观地描述了各环节之间的关联关系。2.它更加明确描述了信号的传递方向（其方向与实际系统的物理量传递方向一致），并且把每一个元、部件的联接关系及互相作用的先后顺序及变换过程清晰的展现出来。第四十三页第四十四页，共108页。4.系统结构图描述了系统中各元件之间的连接关系，即描述了系统的结构特点。所以，系统一旦被确定，系统的结构关系就被确定。通过对结构图的研究，便可了解具有相同结构图的各类系统的特点，从而简化了研究工作。5.由于各元件之间存在着一定的关联关系，所以它们之间也存在着互相影响，即必须考虑负载影响。3.结构图的框并不能反映元、部件的结构特点（如：电压放大器、功率放大器、直流伺服电机等），因此不同结构的元件可能具有相同形式的传递函数。第四十四页第四十五页，共108页。不考虑负载影响的情况第四十五页第四十六页，共108页。第四十六页第四十七页，共108页。按两元件串联关系——没有考虑负载效应考虑负载效应情况第四十七页第四十八页，共108页。第四十八页第四十九页，共108页。二、结构图的等效变换和化简方法

结构图的等效变换对应于方程组的消元运算，它也有相应的等效变换规则（运算规则）；通过等效变换规则将系统结构图化简，得到系统的传递函数。1.结构图的运算规则1----方框的合并①串联结构的等效变换等效第四十九页第五十页，共108页。②并联结构的等效变换等效第五十页第五十一页，共108页。③反馈结构的等效变换等效第五十一页第五十二页，共108页。2.结构图的运算规则2----点的移动①相加点的移动相加点后移等效验证：应用线性系统的可叠加性a）当B=0时，通道①的传递函数相等b）当R=0时，通道②的传递函数相等①=0①=0②②=0=0第五十二页第五十三页，共108页。?相加点前移等效第五十三页第五十四页，共108页。②分支点的移动分支点后移等效分支点前移等效第五十四页第五十五页，共108页。③相邻的同类点之间可以互换位置相加点之间可以互换、合并、分解等效分之点之间可以互换、合并、分解等效第五十五页第五十六页，共108页。④相邻的异类点之间互换位置——要少用等效结构图化简的基本方法：等效性1.三种典型结构（并联、串联、反馈）可直接用公式；2.同类点可以互换位置（如相加点向相加点方向移动）；3.分支点与相加点相邻，尽量不要互换位置；第五十六页第五十七页，共108页。【例1】利用公式用化简结构图法求系统传递函数Y(s)/R(s)G1G2G3H1H2H2R(s)Y(s)-++串联G2G3并联H1+H2反馈-第五十七页第五十八页，共108页。G1G2G3G4H3H2H1abG41【例3】同类点互换位置分支点的移动与交换第五十八页第五十九页，共108页。G2H1G1G3向同类移动G1G2G3H1G1【例2】相加点的移动第五十九页第六十页，共108页。G1G4H3G2G3H1H1H3G1G4G2G3H3H1【例4】作用的分解C(s)R(s)R(s)C(s)ababdd第六十页第六十一页，共108页。【例5】求二阶低通滤波器的传递函数Uc(s)/Ur(s)Ur(s)Uc(s)----反馈分支相加-U(s)Uc(s)---第六十一页第六十二页，共108页。§1.4信号流程图一、信号流程图的基本概念二、常用术语三、梅逊公式第六十二页第六十三页，共108页。

信号流程图(简称信号流图)：它是用线来图解微分方程组的方法。设系统描述方程为：输入变量输出变量传递函数及传递方向一、基本概念第六十三页第六十四页，共108页。二、常用术语节点：表示变量或信号的点，其值等于所有进入该节点的信号之和支路：支路连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数）表示方程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递。源点：只有输出没有输入的节点。它一般表示系统的输入变量，也称输入节点。汇点：只有输入的节点，代表系统的输出变量。也称输出节点。混合节点：既有输入支路，又有输出支路的节点。前向通路:从源节点开始到汇节点终止，并且任何节点只通过一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积，称前向通路总增益，一般用Tk表示。第六十四页第六十五页，共108页。闭通路：起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭合通路。回路中所有支路增益之乘积称为回路增益，用Lk表示。不接触回路：相互间没有任何公共节点的回路。第六十五页第六十六页，共108页。三、梅逊公式R(s)Y(s)系统传函第k条前向通路传递函数在Δ中除去与Tk通路相接触的各回路传函，称为第Tk通路的余子式信号流图的特征式第六十六页第六十七页，共108页。【例1】求图示信号流图的系统传递函数一个前向通路：RabcdCC三个单独回路：没有互不接触回路特征式各回路都与T1通路接触第六十七页第六十八页，共108页。【例2】多条前向通道的情况三条前向通道四个回路第六十八页第六十九页，共108页。四个单独回路，两个回路互不接触e1abcdfghC(s)R(s)C(s)R(s)=1––––afbgchehgf++afchabcded(1–bg)前向通路两条【例3】直接列写传递函数第六十九页第七十页，共108页。用梅逊公式化简结构图例系统的动态结构图如图所示，求闭环传递函数。G1G2G3H1G4H2___C(s)+R(s)解：系统有5个回路，各回路的传递函数为L1L1=–G1G2H1L2L2=–G2G3H2L3L3=–G1G2G3L4L4=–G1G4L5L5=–G4H2ΣLiLj=0ΣLiLjLz

=0Δ

=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3+G1G4+G4H2P1=G1G2G3Δ1=1P2=G1G4Δ2=1将△、Pk、△k代入梅逊公式得传递函数：G1G2G3+G1G41+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3+G1G4+G4H2=第七十页第七十一页，共108页。L1L2L3H1_+++G1+C(s)R(s)G3G2例求系统的闭环传递函数。解:L1=G3H1L2=–G1H1L3=–G1G2P1=G1G2Δ1=1–

G3H1Δ=1+G1G2+G1H1–

G3H1R(s)C(s)1+G1G2+G1H1–

G3H1G1G2(1–

G3H1)=第七十一页第七十二页，共108页。L5=G1(s)G2(s)L4=G1(s)G2(s)L3=G1(s)G2(s)L2=–G2(s)L1=–G1(s)例求系统传递函数。___R(S)C(S)G2(s)G1(s)++解:(1)用梅逊公式L1___R(S)C(S)G2(s)G1(s)++L2___R(S)C(S)G2(s)G1(s)++L3___R(S)C(S)G2(s)G1(s)++L4___R(S)C(S)G2(s)G1(s)++L5Δ3=1Δ4=1P4=–G1(s)G2(s)P3=G1(s)G2(s)P2=G2(s)P1=G1(s)Δ1=1Δ2=1系统的传递函数R(s)C(s)1+G1(s)

+

G2(s)–

3G1(s)G2(s)G1(s)+G2(s)–

2G1(s)G2(s)=第七十二页第七十三页，共108页。§1.5系统传递函数与典型环节一、系统传递函数二、典型环节的概念与传递函数第七十三页第七十四页，共108页。几个基本概念：单回路系统；多回路系统；开环传递函数；闭环传递函数。单回路系统；只有一个主反馈而没有其它局部反馈的系统有局部反馈回路的系统多回路系统；主反馈通路断开，系统工作在开环状态。前向通道与反馈通道传递函数的乘积。开环传递函数开环传递函数：前向通道传函×反馈通道传函B闭环传递函数反馈回路接通后，输出量与输入量的比值。第七十四页第七十五页，共108页。一、系统传递函数典型结构1.输入作用下的闭环传递函数N=0令干扰为零只有输入作用输出C输入R第七十五页第七十六页，共108页。2.干扰作用下的闭环传递函数R=0只有干扰作用令输入为零输出C干扰NR=0第七十六页第七十七页，共108页。3.输入作用下的误差传递函数N=0令干扰作用为零只有输入作用输出E输入R引出误差信号第七十七页第七十八页，共108页。4.干扰作用下的误差传递函数R=0只有干扰作用令输入作用为零输出E干扰N引出误差信号第七十八页第七十九页，共108页。5.输入和干扰同时作用下的闭环传递函数与输出N=0干扰作用为零只有输入作用C11）系统总输出的求取只有干扰作用C2输入作用为零R=0第七十九页第八十页，共108页。干扰作用为零只有输入作用2）系统误差总输出的求取只有干扰作用输入作用为零第八十页第八十一页，共108页。1.输入作用下的闭环传递函数2.干扰作用下的闭环传递函数3.输入作用下的误差传递函数4.干扰作用下的误差传递函数分析：①分母只取决于系统的结构，而与输入、输出无关。②分子=前项通道传函，所以与输入点和输出点的位置有关。第八十一页第八十二页，共108页。讨论几个重要的概念1.分母多项式1+G1(s)G2(s)H(s)=1+开环传递函数因为开环传递函数中包含了所有系统的元件，系统的特性是由这些元件决定的，所以系统确定以后，系统的特性也就不变了，称之为系统固有特性。很明显系统的固有特性与输入、输出的形式、位置均无关；即同一个外作用加在系统不同的位置上，系统的响应不同，但不会改变系统的固有特性。12第八十二页第八十三页，共108页。例:角位置跟踪系统（随动系统）开环传递函数为可以看出系统的分母1+GH(s)仅由系统的结构和元件参数决定。第八十三页第八十四页，共108页。2.干扰作用下的系统输出与误差输出系统输出误差输出当G1G2H＞＞1且G1＞＞1时，干扰的影响将被抑制！第八十四页第八十五页，共108页。二、典型环节的概念与传递函数1.典型环节的概念系统传递函数分子、分母展开成多项式的乘积形式比例环节一阶微分环节二阶微分环节纯微分环节积分环节惯性环节振荡环节延迟环节第八十五页第八十六页，共108页。

说明：★环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件。★一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成，也可能一个元件由几个环节来表示。★同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。

常遇到的典型环节有七种：①比例环节②惯性环节③积分环节④微分环节⑤一阶微分环节⑥振荡环节⑦二阶微分环节第八十六页第八十七页，共108页。C(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)—比例环节系数拉氏变换:比例环节的传递函数:1．比例环节微分方程:K比例环节方框图KR(S)C(S)特点:输出不失真,不延迟,成比例地R(s)C(s)G(s)==K复现输入信号的变化.2.典型环节的传递函数第八十七页第八十八页，共108页。K=-R1R2比例环节实例(a)-∞++urR1ucR2由运算放大器构成的比例环节(b)线性电位器构成的比例环节K=R2+R1R2uc(t)+-R1R2+-ur(t)r(t)c(t)iK=i(c)传动齿轮构成的比例环节第八十八页第八十九页，共108页。2．惯性环节惯性环节的微分方程:+c

(t)=Kr(t)dc(t)dtT—时间常数—比例系数式中TK拉氏变换：TsC

(s)+C

(s)=KR(s)惯性环节的传递函数:R(s)C(s)G(s)=KTs

+

1=惯性环节方框图R(S)C(S)1+Ts1单位阶跃信号作用下的响应:R(s)=1sKTs

+

11s·C(s)=拉氏反变换得:c(t)=K(1–e)tT-第八十九页第九十页，共108页。单位阶跃响应曲线特点:输出量不能瞬时完成与输入量完全一致的变化.r(t)t0c(t)1r(t)c(t)T0.632

按指数规律上升到稳态值。它具有延迟特性，具有较大惯性的元件有这样的特点，如有储能性能的元件都具有这样的特性。第九十页第九十一页，共108页。-∞++R1R0urucC惯性环节实例(a)运算放大器构成的惯性环节R1CS+1R1/R2G(s)=–(b)RC电路构成的惯性环节R+-u(t)LuL(t)1/R(L/R)S

+1G(s)=–第九十一页第九十二页，共108页。R(s)C(s)G(s)==1TsTTsC(s)=R(s)=r(t)dc(t)dtT微分方程：—积分时间常数3．积分环节传递函数：拉氏变换：积分环节方框图R(S)C(S)Ts11TC(t)=t1TS1S·C(s)=1TS2=R(s)=1S积分环节的单位阶跃响应：第九十二页第九十三页，共108页。单位阶跃响应曲线特点:输出量与输入量对时间的积分成正比，具有滞后作用和记忆功能.r(t)t0c(t)1c(t)r(t)T

输出是输入的积分。输入突然除去→积分停止→输出维持不变。具有记忆功能。第九十三页第九十四页，共108页。积分环节实例(a)由运算放大器构成的积分环节-∞++R0ucCur1RCSG(s)=–(b)电机构成的积分环节+-UdMθSKG(s)=第九十四页第九十五页，共108页。4．微分环节R(S)C(S)Ts理想微分环节数学模型：—微分时间常数微分环节方框图单位阶跃响应函数：c(t)=dr(t)dtTTR(s)C(s)G(s)==TsC(t)=Tδ(t)第九十五页第九十六页，共108页。单位阶跃响应曲线理想脉冲实际中是不可能实现的，实际的物理装置中常用近似理想微分环节。r(t)t0c(t)c(t)r(t)第九十六页第九十七页，共108页。G(s)=RCs(a)近似理想微分环节实例-Δ∞++RucCur运算放大器构成的微分环节+-uc+-CRur(b)RC电路构成的微分环节RCsRCS+1G(s)=TsTs+1=T=RC<<1G(s)Ts第九十七页第九十八页，共108页。实用微分环节的单位阶跃响应:单位阶跃响应曲线C(s)TsTs+1=1s=1s+1/T

c(t)=etT-特点:输出量反映了输入量的变化率，而不反映输入量本身的大小.r(t)r(t)t0c(t)c(t)1第九十八页第九十九页，共108页。采用运算放大器构成的比例微分环节：R1ucC1R2ur-Δ∞++由于微分环节的输出只能反映输入信号的