常用逻辑用语　

PAGE用心爱心专心第十六章常用逻辑用语知识网络常用逻辑用语简易逻辑常用逻辑用语简易逻辑逻辑联结词简单命题与复合命题命题的四种形式及其关系充要条件全称量词与存在量词第1讲命题及其关系,充分条件与必要条件★知识梳理★1．用语言、符号或式子表达的，可以判断真假、的陈述句称为命题．其中判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题2．（1）如果第一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论_和条件_，那么这两个命题叫互逆命题.（2）如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫互否命题.（3）如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定_和_条件的否定_____，那么这两个命题叫互否命题.3．一般地，把条件的否定和结论的否定，分别记为“┐”和“┐”，则命题的四种形式可写为：原命题：“若若”逆命题：“若若”否命题：“若┐是┐”逆否命题：“若┐是┐”特别提醒：可以发现：（1）原命题、逆命题、否命题、逆否命题的关系如下图所示：原命题若原命题若p则q逆命题若q则p否命题若非p则非q逆否命题若非q则非p互逆互互互为为互否逆逆否否否互逆（2）互为逆否命题的真假性是一致的,互逆命题或互否命题真假性没有关系.4.用反证法证明的一般步骤是：(1)反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.特别提醒：1、适宜用反证法证明的数学命题：(1)结论本身以否定形式出现的命题.(2)关于唯一性、存在性的的命题.(3)结论以“至多”，“至少”等形式出现的命题.(4)结论的反面比原结论更具体或更易于研究的命题.2.用反证法证明引出矛盾的四种常见形式:(1)与定义、公理、定理矛盾.(2)与已知条件矛盾.(3)与假设矛盾.(4)自相矛盾.如果“若则”为真,记为,如果“若则”为假,记为.6．若则是的充分,是的必要___7．判断方法：（1）定义法：①p是q的充分不必要条件②p是q的必要不充分条件③p是q的充要条件④p是q的既不充分也不必要条件（2）集合法：设P={p},Q={q},①若__PQ,则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.②若___P=Q_______，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.③若______PQ且QP_______，则p是q的既不充分也不必要条件.（3）逆否命题法：①q是p的充分条件不必要条件p是q的______充分条件不必要条件_②q是p的必要条件不充分条件p是q的___充分条件不必要条件③q是p的充分要条件p是q的__________充要条件_____④q是p的既不充分条件与不必要条件p是q的__既不充分条件与不必要条件_特别提醒：1、解决充要条件的逆向问题时,往往从集合角度考虑,会更文便快捷,设P={p},Q={q},①若p是q的充分不必要条件，则PQ②若q是p的必要不充分条件，则PQ③若P=Q，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.④若PQ且QP，则p是q的既不充分也不必要条件.2、证明p是q的充要条件，既要证“”，又要证“”，前者证明的是充分性；，后者证明的必要性.★重难点突破★1.重点：初步掌握四种命题的关系，并能判断四种命题的真假；初步掌握利用反证法证明一些问题；正确理解三个概念，并在分析中正确判断.正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能用定义法、集合法和逆否命题法来判断命题是命题的什么条件.2.难点：利用反证法证题；充要条件的证明.3.重难点：.(1)与命题相关的判析问题1：下列语句中哪些是命题？其中哪些是真命题？①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”；②“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”；③“一个数不是正数就是负数”；④“珠海是一个多么美丽的海滨城市啊！”；⑤“为有理数，则、也都是有理数”；⑥“作∽”.解：根据命题的概念，判断是否为命题，若是，再判断真假.①通过反问句，对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真命题.②疑问句，没有垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断,不是命题；③是假命题,数0既不是正数也不是负数.④感叹句,不是命题.⑤是假命题,如.⑥祈使句,不是命题.命题有:①③⑤；真命题有:①点拨:判断一个语句是否是命题,关键在于能否判断其真假.一般地,陈述句、反问句都是命题，而疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.问题2：你能将把下列命题写成“若若”的形式，并判断其真假吗?实数的平方是非负数.等底等高的两个三角形是全等三角形.能被6整除的数既能被3整除也能被2整除.弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧.解：(1)若一个实数,则它的平方是非负数.这个命题是真命题.(2)若两个三角形等底等高,则这个三角形是全等三角形.这个命题是假命题.(3)若一个数能被6整除的数,则它既能被3整除也能被2整除.(4)若一条直线是弦的垂直平分线,则它经过圆心并平分弦所对的弧.点拨:将命题写成“若若”形式时,一定要注意找出命题的条件和结论,同时要注出意叙述条件和结论完整性.（2）能掌握判断充要条件的三种基本方法，并能根据具体问题选择使用.问题3:下列四个命题中真命题有哪几个?①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题②“面积相等的三角形全等”的否命题③“若m≤1，则方程x2－2x+m=0有实根”的逆否命题④“若A∩B=B，则AB”的逆否命题解析:①的逆命题为“若x、y互为倒数,则xy=1”②的否命题为“面积不相等的三角形不全等”,是真命题;③“若m≤1,则x2-2x+m=0有实根”为真命题,因此其逆否命题也为真命题;④“若A∩B=B,则AB”为假命题,则其逆否命题也为假命题.真命题有①②③点拨:在判断原命题及其逆命题、否命题、逆否命题的真假时，可以借助原命题与逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假.问题4．你能判断下列命题的真假吗?（1）已知若（2）若无实数根。解：⑴因为“已知若”的逆否命题是：“已知若”我们不难举反例说明其逆否命题不正确，从而原命题是假命题。(2)因为“若无实数根”的逆否命题是：“若方程有实数根，”当方程有实数根时，成立。故其逆否命题正确，从而原命题是真命题；点拨:利用互为逆否的两个命题同真同假的关系，将不易判断真假的命题，转化为判断其逆否命题的真假（尤其是对否定式语句的命题）——充分利用等价转化的思想方法。★热点考点题型探析★考点一：命题及其相互关系题型1.判断命题及真假[例1]陈述句“在2016年，法国巴黎将举办第31届夏季奥林匹克运动会”是命题吗？[解题思路]：判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”解析：是命题，在2016年，法国巴黎将举办第31届夏季奥林匹克运动会，是真是假，虽然目前还无法确定，但是随着时间推移，总能确定它的真假，所以我们把这类猜想仍算为命题.[例2]广东省深圳外国语学校2009届高三上学期第二次统测）下列四个命题中，真命题的个数为（）A（1）若两平面有三个公共点，则这两个平面重合；（2）两条直线可以确定一个平面；（3）若；（4）空间中，相交与同一点的三条直线在同一平面内。A.1B.2C.3D.4[解题思路]：根据命题本身涉及的知识去判断真假，判断一个命题为真，一般要进行严格的逻辑推理，但判断一个命题为假，只要举出一个反例即可.解析：（1）是假命题，两平面也可能相交；（2）是假命题，若两直线是异面直线，不可能确定一个平面；（4）是假命题，两相交直线确定一个平面，第三条直线过该交点，可与该平面相交。【名师指引】判断一个语句是否是命题,关键在于能否判断其真假.【新题导练】1．下列命题中是假命题的是（）（A）矩形的对角线相等 （B）若是奇数，则是奇数（C） （D）若，则答案:C2．（广东省华南师范附属中学2009届高三综合测试）以下命题：①二直线平行的充要条件是它们的斜率相等；②过圆上的点与圆相切的直线方程是；③平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；④抛物线上任意一点到焦点的距离都等于点到其准线的距离。其中正确命题的标号是。答案；②④题型2。写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题[例3]写出下述命题逆命题、否命题、逆否命题.（1）若，则全为0.（2）若是偶数，则都是偶数.（3）若，则[解题思路]：“都”的否定词是“不都”，而不是“都不”，同理“全”的否定词是“不全”，而不是“全不”.另外，原命题中的“或”，在否命题中要改为“且”.要认真体会它们的区别.解析:因为原命题是“若若”的形式,根据其他三种命题的构造方法,分别写出逆命题、否命题、逆否命题.解答：（1）逆命题：若全为0，则.否命题：若，则不全为0.逆否命题：若不全为0，则.（2）逆命题：若都是偶数，则是偶数.否命题：若不是偶数，则不都是偶数.逆否命题：若不都是偶数，则不是偶数.（3）逆命题：若，则.否命题：若，则逆否命题：若，则.【名师指引】认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题，最后判断真假【新题导练】3.（广东省湛江市实验中学2009届高三第四次月考（数学理））命题“若＞0，则”的逆命题是答案：逆命题是“若”4．（2009年广东省广州市高三年级调研测试）命题“”的否命题是（）A.B.C.D.答案：C题型3。四种命题间的关系与反证法[例4]若a、b、c∈R，写出命题“若ac＜0，则ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假[解题思路]：认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题，最后判断真假解析：逆命题：若ax2+bx+c=0（a、b、c∈R）有两个不相等的实数根，则ac＜0；是假命题，如当a=1，b=－3，c=2时，方程x2－3x+2=0有两个不等实根x1=1，x2=2，但ac=2＞0否命题：若ac≥0，则方程ax2+bx+c=0（a、b、c∈R）没有两个不相等的实数根；是假命题.这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题逆否命题：若ax2+bx+c=0（a、b、c∈R）没有两个不相等的实数根，则ac≥0；是真命题.因为原命题是真命题，它与原命题等价[例5]用反证法证明：设三个正实数a、b、c满足条件=2求证：a、b、c中至少有两上不小于1.[解题思路]：用反证法证题时作出正确的反设是前提，“a,b,c中至多有一个数不小于1”的反设为“a,b,c中至多有一个数不小于1”，有两种情况“a、b、c三数均小于1”和“a、b、c解析：证明：假设a,b,c中至多有一个数不小于1，这包含下面两种情况：（1）a、b、c三数均小于1，即0<a<1,0<b<1,0<c<1,则∴>3与已知条件矛盾；（2）a、b、c中有两数小于1，设0<a<1,0<b<1,而c≥1，则∴>2+>2，也与已知条件矛盾；∴假设不成立，∴a、b、c中至少有两个不小于1.【名师指引】利用互为逆否的两个命题同真同假的关系，将不易判断真假的命题，转化为判断其逆否命题的真假（尤其是对否定式语句的命题），充分利用等价转化的思想方法。正确的反设是（即否定结论）是正确运用反证法的前提，要注意一些常用的“结论否定形式”，另外，需注意作出的反设必须包括与结论相反的所有情况。【新题导练】5．（广东省汕头市澄海区2008年统测）命题：“设、、，若则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0B．1C．2答案：C6．（广东省普宁市城东中学2009届高三上学期第三次月考）命题：“若，则”的逆否命题是（）A若，则B.若，则C.若，则D..若，则答案：A7．若x、y、z均为实数，且a=x2－2y+，b=y2－2z+，c=z2－2x+，则a、b、c中是否至少有一个大于零？请说明理由.分析：“a、b、c中是否至少有一个大于零”包括多种情况，正面解决很复杂，可考虑反面入手，利用反证法证明，但如何导出矛盾颇有技巧.解：假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a+b+c≤0.而a+b+c=x2－2y++y2－2z++z2－2x+=（x－1）2+（y－1）2+（z－1）2+π－3，∵π－3＞0，且无论x、y、z为何实数，（x－1）2+（y－1）2+（z－1）2≥0，∴a+b+c＞0.这与a+b+c≤0矛盾.因此，a、b、c中至少有一个大于0.考点二:充要条件及其判定题型1:利用定义作判断[例6]（2008学年中山市一中高三年级统测试题）在中，“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解题思路]：判定p是q的充要条件，既要看“”是否为真，又要看“”否为真,只有都为真时,p才是q的充要条件.解析：A“”“”但反之不成立，故选A【名师指引】定义判断的重要依据。【新题导练】8．（2009届省实高三次月考数学试题）函数有极值的充要条件是（）A． B．C．D．答案：D9．“”是“函数在区间上为增函数”的（）A．充分条件不必要B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A题型2:从集合思想或利用逆否命题判定[例7]（广东省四会中学2009届高三上学期第一次质量检测）“成立”是“成立”的()A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件 [解题思路]：当直接判断p是q什么条件较困难时,可借助于集合或利用逆否命题来考虑,会更快捷和准确.解析：的解集是，的解集是∵AB∴选A[例8]（广东省普宁市城东中学2009届高三上学期第三次月考）若，则成立的一个充分不必要的条件是（）A. B. C. D.[解题思路]：以选项为条件，要能得到，但反之不成立解析：C可以取反例，易得只有C答案【名师指引】解答充分与必要条件问题时，要根据命题的特点，在三种方法(定义法、集合法和逆否命题法)中选择一种进行判断，而且还依赖于问题本身所涉及到的具体数学内容的掌握与理解程度.【新题导练】10．（广东省黄岐高级中学2009届高三上学期月月考）设集合，，那么“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案：B11．（广东省深圳市2009届高三九校联考）设、是方程的两个实根。那么“且”是“两根、均大于”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案：B★抢分频道★基础巩固训练1.下列语句中命题的个数是()①地球是太阳系的一颗行星；②；③这是一颗大树；④；⑤⑥老年人组成一个集合；A．1B．2C．3D．4解：①②⑤⑥是命题，故选D2.设原命题：若，则中至少有一个不小于1.则原命题与其逆命题的真假情况是（）A A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真 C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题答案：A.提示：=1.2，=0.3，则=1.52，∴逆命题为假.3．（广东省四会中学2009届高三质量检测）△ABC中“”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要答案：B4．（广东省深圳外国语学校2009届高三统测）若是常数,则“且”是“对任意,有”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：“对任意,有”的等价命题是：a=0时，必有b=0；或时，。选A5．（广东省北江中学2009届高三上学期12月月考(数学理)）“”是“的展开式的第三项是60”的________条件（）A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要答案：A6．(黄家中学高08级十二月月考)条件：，条件：在内是增函数，则是的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：∵在内是增函数∴，∴∴且∴是的充分不必要条件故选B；综合拔高训练7．用反证法证明：“已知x、y∈R，x+y≥2，求证x、y中至少有一个大于1”.则所作的反设是答案:假设x<1且y<18．写出命题“乘积为奇数的两个整数都不是偶数”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假.解：典型错解:原命题可写成：若两个整数的乘积为奇数，则它们都不是偶数,是真命题.逆命题：若两个整数的乘积都不是偶数，则这两个整数的乘积为奇数,是真命题.否命题：若两个整数的乘积不为奇数，则这两个整数不都是偶数,是真命题.逆否命题：若两个整数中不都是偶数，则这两个整数的乘积不为奇数,是真命题.否命题：若两个整数的乘积不为奇数，则这两个整数至少有一个是偶数；点拨:对“都不”的否定，许多同学都误认为是“不都”，这是错误的，应为“至少有一个”,而“不都”是对“都”的否定.正确解答:原命题可写成：若两个整数的乘积为奇数，则它们都不是偶数,是真命题.逆命题：若两个整数的乘积都不是偶数，则这两个整数的乘积为奇数,是真命题.否命题：若两个整数的乘积不为奇数，则这两个整数至少有一个是偶数,是真命题.逆否命题：若两个整数中至少有一个是偶数，则这两个整数的乘积不为奇数,是真命题.9．（2008学年中山市一中高三年测试题理科数学）已知：，：且是的必要不充分条件，求实数的取值范围。解：由即为：…4分而为：，………6分又是的必要不充分条件，即所以即实数的取值范围为。………12分10．已知：a、b、c是互不相等的非零实数.求证：三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.证明（反证法）：假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0. ①由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.备用：1．（广东省珠海市斗门第一中学2009届高三模拟）是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2．（广东省湛江市实验中学2009届高三月考（数学理））“a+b＞4且ab＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B3．（广东省恩城中学2009届高三模拟）已知命题p：，命题q：，则的__条件(填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件)。答案：充分不必要条件；4．（广东省汕头市金山中学2009届高三期中考试（数学理））函数的定义域为集合，函数的定义域为集合．（1）判定函数的奇偶性，并说明理由．（2）问：是的什么条件（充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？并证明你的结论．15.解：A={x|∴-1<x<1 ∴A=（-1，1），定义域关于原点对称f（-x）=lg=lg=lg，∴f（x）是奇函数.（2）B={x|B=[-1-a，1-a]当a³2时，-1-a£-3，1-a£-1，由A=（-1，1），B=[-1-a，1-a]，有反之，若，可取-a-1=2，则a=-3，a小于2.（注：反例不唯一）所以，a³2是的充分非必要条件。第2讲简单的逻辑联结词,全称量词与存在量词★知识梳理★1.“或”,“且”,“非”称为逻辑联结词___,不含逻辑联结词的命题称为简单命题_；含有逻辑联结词的命题称为__复合命题______,复合命题有三种形式且、或、非2．用逻辑联结词“且”把命题和命题联结起来.就得到一个新命题,记作，读作______且____3．用逻辑联结词“或”把命题和命题联结起来.就得到一个新命题,记作_______，读作___或______4．对一个命题的全盘否定,就得到一个新的命题,记作__p___，读作___非_____5．三种复合命题的真值表：（1）“p且q”：一假即假（2）“p或q”：一真即真（3）“非p”：真假相反特别提醒：命题的“否定”与“否命题”是不同的概念，对命题p的否定（即非p）是否定命题p所作的判断，而“否命题”是“若p则q”6．短语“_对所有的”、“对任意一个”逻辑中称为全称量词，并用符号“_____”表示。7．短语“存在一个”、“_至少有一个”逻辑中称为存在量词，并用符号“”表示。8．含有全称量词的命题称为全称命题__；含有存在量词的命题称为__特称命题__.9．全称命题形式：；特称命题形式：。其中M为给定的集合，特别提醒：全称命题p：的否定p：；全称命题的否定为特称命题特称命题p：的否定p：；特称命题的否定为全称命题其中p(x)是一个关于的命题。★重难点突破★1.重点：判断复合命题“p且q”、“p或q”、“非p”的真假；判断全称命题与特称命题真假2.难点：对逻辑联结词“或”、“且”和“非”的含义的理解；写出全称命题与特称命题否定3.重难点：.(1)理解逻辑联结词“非”的含义问题1：你能写出下列命题p的非(否定)吗?（1）p：100既能被4整除又能被5整除（2）p：三条直线两两相交（3）p：一元二次方程至多有两个解（4）p：解:（1）p：100不能被4整除，或不能被5整除（2）p：三条直线不都两两相交（3）p：一元二次方程至少有三个解（4）p：或点拨:“且”的否定形式是“或”，而“或”的否定形式是“且”.写出命题的非（否定），需要对其正面叙述的词语进行否定，常用正面叙述词语及它的否定列举如下：正面词语且小于（<）都是都不是至少n个至多n个否定词语或不小于（≥）不都是至少有一个是至多n－1个至少n+1个正面词语任意的所有的有无穷多个存在唯一的对任意p，使…恒成立否定词语某个某些只有有限多个不存在或至少存在两个至少有一个p，使…不成立（2）命题的否定与命题的否命题的区别问题2:写出命题：“若，则”的否定与否命题，并加以区别。解析:命题的否定：若，则命题的否命题：若，则点拨:命题的否定，是对整个命题进行否定，侧重于对命题结论的否定.如具体到“若则”而言，命题的否定是只否定结论不否定条件.而命题的否命题则是既否定条件又否定结论.（3）全称量词与存在量词问题3：写出命题“若，则”的否定解析：“若，则”显然两个命题都是假命题，这就与复合命题中的真值表相矛盾.那么问题出在哪呢？实际上命题是省略了全称量词，命题里的“”是指“对于任意的”.所以原命题的否定形式就是：“存在，使得”.这时原命题是假命题，而否定形式就是真命题.所以在判断复合命题的形式时，要准确理解命题的本质含义，尤其注意在一些表述中命题所隐含的全称量词.点拨：全称量词有时会被省略。如：不少学生认为命题：“不等式的解为或”是“或”形式的复合命题：：不等式的解为：不等式的解为显然假假，但“或”确为真，这与真值表相矛盾.实际上问题还是与上面的一样，命题里的“解”是指“所有的解”，这样“或”就是一个整体，所以上面的命题不是“或”形式的复合命题，应该是个简单命题.★热点考点题型探析★考点一：复合命题及其真假判断题型1.指出复合命题的形式及构成它的简单命题，反之能写出“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题[例1]分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题:（1）3是质数或合数.（2）他是运动员兼教练员.（3）相似三角形不一定是全等三角形.[解题思路]：根据组成上述各复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，“且”“或”“非”进行命题结构的判断.解析：(1)这个命题是“p或q”形式，其中p：3是质数，q：3是合数.(2)这个命题是“p且q”形式，其中p：他是运动员，q：他是教练员.(3)这个命题是“非p”形式，其中p：相似三角形一定是全等三角形..[例2]分别写出下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题：（1）p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除.（2）p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形.[解题思路]：在由简单命题写出复合命题时，本例的（1）、（2）可直接使用逻辑联结记词，而（3）中的“p或q”“p且q”“非p”，写复合命题时，关键要搞清“且”“或”“非”的意义.解析：（1）根据真值表，复合命题可以写成简单形式：p或q：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除.p且q：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除.非p：连续的三个整数的乘积不能被2整除.∵连续的三整数中有一个（或两个）是偶数，而有一个是3的倍数，（2）根据真值表，只能用逻辑联结词联结两个命题，不能写成简单形式：p或q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形.p且q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形.非p：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.【名师指引】要理解逻辑联结词“且”、“或”和“非”的含义，“且”是指必须两个都选，“或”是指两个中至少选一个，“非”是指否定的意思，尤其要注意理解和掌握常见正面词语的否定词语.【新题导练】1．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题:（1）3是质数或合数.（2）他是运动员兼教练员.（3）相似三角形不一定是全等三角形.解:(1)这个命题是“p或q”形式，其中p：3是质数，q：3是合数.(2)这个命题是“p且q”形式，其中p：他是运动员，q：他是教练员.(3)这个命题是“非p”形式，其中p：相似三角形一定是全等三角形..2．分别写出下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题：（1）p：是无理数，q：大于是2（2）p：，q：（3）p：，q：解：（1）p或q：是无理数或大于2p且q：是无理数且大于2非p：不是无理数（2）p或q：或p且q：且非p：（3）p或q：或p且q：且非p：题型2。判断复合命题的真假[例3]写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假。（1）p：5是17的约数，q：5是15的约数.（2）p：方程x2－1=0的解是x=1,q：方程x2－1=0的解是x=－1,（3）p：不等式的解集为R，q：不等式的解集为[解题思路]：写三种形式的复合命题时，在命题p或命题q的语句中，由于中文表达的习惯常常会有些省略，这种情况下应作词语上的调整。判断复合命题真假时，关键是判断简单命题的真假，再按真值表来判断即可.解析：（1）p或q：5是17或15的约数；p且q：5是17与15的公约数，（或写成：9是17的约数，且9是15的约数）；非p：5不是17的约数.∵p假，q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，而“非p”为真.（2）p或q：方程x2－1=0的解是x=1,或方程x2－1=0的解是x=－1（注意，不能写成“方程x2－1=0的解是x=±1”，这与真值表不符）；p且q：方程x2－1=0的解是x=1,且方程x2－1=0的解是x=－1；非p：方程x2－1=0的解不都是x=1（注意，在命题p中的“是”应理解为“都是”的意思）；∵p假，q假，∴“p或q”与“p且q”均为假，而“非p”为真.（3）p或q：不等式的解集为R或不等式的解集为.p且q：不等式的解集为R或不等式的解集为非p：不等式的解集为.∵p真，q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，而“非p”为假.[例4]已知设P：函数在R上单调递减；Q：不等式的解集为R，若“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，求的取值范围.[解题思路]：“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，根据真假表知，P，Q之中一真一假，因此有两种情况，要分类讨论.解析:函数在R上单调递减不等式【名师指引】先判断命题和的真假，再根据真值表判断复合命题的真假.【新题导练】3.分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”、“且”、“非”的真假。（1）p:梯形有一组对边平行；q：梯形有一组对边相等。（2）p:1是方程的解；q：3是方程的解。（3）p:不等式解集为R；q:不等式解集为。（4）p:解：⑴p真，q假，“pq”为真，“pq”为假，“p”为假。⑵p真，q真，“pq”为真，“pq”为真，“p”为假。⑶p假，q假，“pq”为假，“pq”为假，“p”为真。⑷p真，q假，“pq”为真，“pq”为假，“p”为假。4．（广东省四会中学2009届高三质量检测（数学理））已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A． B． C． D．答案：D考点二:全称命题与特称命题及其真假判断题型1:判断命题是全称命题还是特称命题。[例7]判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题.(1)任何一个实数除以1，仍等于这个数；(2)三角函数都是周期函数吗？(3)有一个实数，不能取倒数；(4)有的三角形内角和不等于[解题思路]：含有全称量词的命题称为全称命题；含有存在量词的命题称为特称命题.但要注意有些命题可能省略了量词.解析：（1）全称命题；（2）不是命题；（3）特称命题；（4）特称命题；【名师指引】含有全称量词的命题称为全称命题；含有存在量词的命题称为特称命题.但要注意有些命题可能省略了量词.【新题导练】5．判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题.(1)中国的所有江河都流入太平洋；(2)不能作除数；(3)有一个实数，不能取对数；(4)每一个向量都有方向吗？解析：（1）（2）（3）是命题，（4）不是命题，其中（1）全称命题；（2）既不是全称命题也不是特称命题；（3）特称命题；题型2:判断全称命题或特称命题的真假[例8]设A、B为两个集合.下列四个命题：AB对任意x∈A，有xB；②ABA∩B=；③ABAB；④AB存在x∈A，使得xB.其中真命题的序号是______________.（把符合要求的命题序号都填上）[解题思路]：①要判定一个特称性命题为真，只要在给定的集合中，找到一个元素x，使命题p(x)为真；否则命题为假。②要判定一个全称命题为真，必须对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个x0，p(x0)为假。解析：AB存在x∈A，有xB，故①错误；②错误；④正确.亦或如下图所示.③ABAB不成立的反例如下图所示.反之，同理.真命题的序号是④【名师指引】判断全称命题与特称命题真假时，若判定一个特称性命题为真，只需找出一个例子即可否则命题为假；若判定一个全称命题为真，必须对每一个元素都为真；但判断其为假，只需要举出一个反例即可。【新题导练】6．设函数f（x）的定义域为R，有下列三个命题：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f（x）≤M，则M是函数f（x）的最大值；若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f（x）＜f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值；③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f（x）≤f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值.这些命题中，真命题的个数是A.0 B.1 C.2 D.3解：①错,原因：可能“=”不能取到.②③都正确，选C.7．下列全称命题中真命题为()A.一次函数都是单调函数B.是有理数C.任何一条直线都有斜率D.答案:A8.下列特称命题中假命题为()A.空间中过直线外一点有且仅有一条直线与该直线垂直B.仅存在一个实数,使得成等比数列C.存在实数满足,使得的最小值是6D.恒成立答案:A考点三:由命题真假确定参数范围[例9]（广东省五校2009届高三上学期第二次联考（数学理））已知命题：方程在上有且仅有一解；命题：只有一个实数满足不等式若命题是假命题，求的取值范围.[解题思路]：因为命题是假命题，由真值表可知，命题p和命题q都是假命题.由此入手分析。注意参数的分类讨论，做到不重不漏。解析：由，得显然所以,因为方程在上有且仅有一解，故、所以…只有一个实数满足不等式所以因为命题是假命题，所以命题p和命题q都是假命题.所以的取值范围为【名师指引】先确定简单命题与复合命题的真假，再由命题的真假划分参数的范围【新题导练】9．（广东省四会中学2009届高三上学期第二次质量检测（数学理））已知命题：P：对任意,不等式恒成立；q：函数存在极大值和极小值。求使命题“p且q”为真命题的m的取值范围。解:恒成立，只需小于的最小值，而当时，≥3，.存在极大值与极小值，有两个不等的实根，，或.要使命题“p且q”为真，只需,故m的取值范围为[2，6].★抢分频道★基础巩固训练1.（广东省深圳市2009届高三九校联考数学试题）下列说法错误的是（） A．“”是“”的充分不必要条件； B．命题“若，则”的否命题是：“若，则” C．若命题：，则； D．如果命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题.答案：A2.（2008-2009金山中学高三期中考试数学试题）下列命题错误的是 （） A．命题“若有实数根”的逆否命题为：“若方程无实数根，则” B．“”是“”的充分不必要条件 C．若为假命题，则p、q均为假命题 D．对于命题若答案：C3．（2009学年中山市一中高三年级第二次统测试题数学理）已知：命题则（）答案：C4．（广州市海珠区2009届高三综合测试二）设命题：矩形的对角线相等;命题：的单调减区间是.则（）A．“或”为真B．“且”为真C．假真D．,均为假命题答案：A5．（广州市海珠区2009届高三综合测试）设命题：矩形的对角线相等;命题：的单调减区间是.则（）A．“或”为真B．“且”为真C．假真D．,均为假命题答案：A6．（广东省汕头市金山中学2009届高三期中考试（数学理））已知命题不等式的解集是R，命题在区间上是减函数，若命题“或”为真，命题“且”为假，则实数的取值范围是（）（A.B.C.（0，2）D.答案：B综合拔高训练7．（2008学年中山市一中高三年级第一次统测试题理科数学）设命题：“，”，该命题的否定是____________________；答案：8．（广东省四会中学2009届高三上学期第二次质量检测（数学理））下列四种说法：①命题“x∈R，使得x2＋1＞3x”的否定是“x∈R，都有x2＋1≤3x”；②设、q是简单命题，若“”为假命题，则“”为真命题；③把函数的图像上所有的点向右平移个单位即可得到函数的图像．其中所有正确说法的序号是*．12．①②③9．（2008学年中山市一中高三年级第一次统测试题理科数学）已知：，：且是的必要不充分条件，求实数的取值范围。解：由即为：…4分而为：，………6分又是的必要不充分条件，即所以即实数的取值范围为。………12分10．（广东省湛江市实验中学2009届高三第四次月考（数学理））已知函数。（Ⅰ）求的最大值及最小值；（Ⅱ）若又给条件且是的充分条件，求实数的取值范围。解：（Ⅰ）∵…………3分又∵…………4分即…………6分∴ymax=5，ymin=3（Ⅱ）∵…………9分又∵P为q的充分条件∴…………11分解得3<m<5第十八章综合能力检测一、选择题（第小题5分，共40分）1．“至多四个”的否定为 （） A．至少有四个 B．至少有五个 C．有四个 D．有五个答案：B2．若命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，则（）A.命题p和命题q都是假命题B.命题p和命题q都是真命题C.命题p和命题“非q”的真值不同D.命题p和命题q的真值不同答案：D3．已知h>0，设命题甲为：两个实数a、b满足，命题乙为：两个实数a、b满足且，那么A．甲是乙的充分但不必要条件B．甲是乙的必要但不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件解：因为所以两式相减得故即由命题甲成立推出命题乙成立，所以甲是乙的必要条件.由于同理也可得因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B.4．已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：选A分析：本题考查简易逻辑知识.因为prsq但r成立不能推出p成立，所以,但q成立不能推出p成立，所以选A