相对论性相对论的质速关系

相对论性相对论的质速关系

在传统的狭义辩论（以下简称概论）中，洛伦兹变换公式可以从光滑变量原理导出，并根据相对性原理、矩阵测量和能量守固定规律导出。通过使用洛伦兹变换公式，可以获得质速关系。在此基础上，确定了观测能量p.m、观测能量r=mc2、观测能量r-2mc2和m02c4的相关方程。因此，观测质量关系已成为观测动力学的中心公式。需要指出的是,相对论质速关系的最初推导仅适用于运动速度v=|v|<c的粒子(物体),称为“慢子”(tardyon),这类粒子原则上都具有静止参考系,因而也具有非零的静质量m0≠0。将上述相对论质速关系推广应用于以光速运动的光子,为了不违反能量守恒定律,使得光子能量ε=mc2为有限,必须要求光子静质量为零(m0=0),从而保证光子动质量m为有限值。实际上光子静质量为零完全是一个额外的理论假设,无法在实验中直接严格验证。在实验中能够检验的是光子的能量-动量关系是否满足ε2-p2c2=0,而无法确定光子的静质量精确为零。随着相对论理论的发展,对相对论质速关系的适用范围也有了进一步的推广,除了以光速运动的光子外,还可以推广应用到超光速运动的所谓“快子”(tachyon)。由于“快子”的运动速度总是大于光速,为了保证能量为实数,必须要求“快子”的静质量为虚数,即“快子”的能量-动量关系为ε2-p2c2=m02c4<0。因此在传统相对论理论中,对于“慢子”有v<c,其静质量为m02>0;对于光子有v=c,其静质量为m0=0;而对于“快子”有v>c,其静质量为m02<0。但是对于光子和“快子”引进静质量的概念,无论在实验上和理论上都会存有疑问。在实验上光子的静质量为零是无法直接严格验证的,因为任何物理测量值都不会严格为零。实验上能够给出的是光子质量的上下限,而零本身就是最小质量下限而无需由实验给出。除非实验能够确定光子具有非零的静质量下限值(但此时光子将属于“慢子”),则通过实验测量最终只能给出光子的静质量上限值。而“快子”至今还未被发现,即使今后实验发现超光速粒子,也无法确定是否就是m02<0的虚质量粒子,因为实验上也无法直接测量超光速粒子的静质量。在理论上,更是存在逻辑上的不自洽,依据相对论的速度变换公式,光子和“快子”的速度在任何惯性系中都不会小于光速,因而这类粒子是不可能存在静止参考系的。对于不存在静止参考系的粒子引进静质量的概念,既无实质意义也存在逻辑上的矛盾,特别是虚质量的概念更容易引起争议。本文认为这些问题本质上都是由于传统相对论质速关系的适用范围对于无静止参考系粒子(光子和“快子”)的不恰当推广所导致。从逻辑上说,对于无静止参考系的粒子无法准确定义静质量,因此质速关系应严格限定为只适用于具有静止参考系特性的“慢子”。本文依据相对性原理及动量和能量的基本定义,dp=Fdt,dε=F⋅dr,以及相应的动量守恒和能量守恒定律,无需引进光速不变假设,也无需利用洛伦兹变换公式和具体的时空变换关系,给出一种适用范围更广的相对论质速关系的动力学新推导,其中vm是在求解质速关系的微分方程中自动给出的极限速度,不需要引进额外的理论假设。该普遍的质速关系既适用于v<vm的“慢子”,若对“慢子”取v0=0,即可回到通常的质速关系形式;同时也无需引进静质量概念而适用于v>vm的“快子”。若对“快子”取v0→∞,则“快子”的质速关系可转化为,其中p∞为“快子”在v→∞时的有限动量。对于v=vm的恒速运动粒子,我们称为“常子”(conston),其质速关系则为m(v2)=m(vm2)。在此基础上可进一步确定时空的广义洛伦兹变换公式,从而建立起适用于所有粒子的更为普遍的相对论理论。1s系的速度特征当粒子运动速度为v时,由于动量是矢量,可设粒子的动量为p=p(a,v)=ag(v)v,其中a为参考系变换下不变的表征该粒子力学特性的本征参量,g(v)为待定函数,依据空间转动对称性,g(v)在空间转动下应保持不变,因而有g(v)=g(v2)。ag(v2)应该具有质量的量纲,称为粒子的运动质量(简称质量):m=m(v2)通常称为质速关系,由此粒子的相对论动量可一般性地写为粒子的能量为标量,可写为ε=ε(a,v)=aG(v),其中G(v)为另一待定函数。依据空间转动对称性,同样应有G(v)=G(v2),由此粒子的相对论能量也可一般性地写为为了确定未知函数g(v2)和G(v2),下面先讨论一个相对论性两体弹性散射过程。若选取适当的参考系S,使得两体散射发生在YZ平面,并设质量分别为m1和m2的两粒子分别以速度v1=[0,0,v1]和v2=[0,0,-v2]沿Z方向发生弹性散射,即在S系中,散射后质量为m3粒子的速度为v3=[0,v3y,v3z],散射后质量为m4粒子的速度为v4=[0,v4y,v4z],见图1。依据动量守恒定律则有记,则式(4)可改写为依据能量守恒定律ε3+ε4=ε1+ε2,即有式(5)和式(6)可以用于求解散射后粒子的运动速度v3和v4。对于讨论两个相同粒子(即a1=a2),以相同速率(即v1=v2)进行弹性散射的特例,则有m1v1-m2v2=0。由式(5)可得m32v32=m42v42,即a32g2(v32)v32=a42g2(v42)v42。若有a3=a4,则可推得v3=v4。代入式(6)可得a3G(v32)=a1G(v12),由此可确定v3=v4=f(v1)。引入相对于S系沿X方向以速度V运动的S′系,见图2。依据一般的线性时空变换关系:可求得一般的速度变换关系为其中α(V)和γ(V)两者间并不独立,而具有关系依据式(8)可以得到,在S′系中,散射前质量为m1和m2粒子的速度分别为;散射后质量为m3和m4粒子的速度分别为。由相对性原理,在S′系中应同样满足动量守恒定律和能量守恒定律在S′系中各粒子的运动速度分别为因为v1′x=v2′x=v3′x=v4′x=-V,由此可得即有引入记号则有若考虑a1=a2,a3=a4,即两个相同粒子以相同速率进行弹性散射的特例,由前面讨论可知,在此弹性散射特例中有v12=v22,v32=v42,由式(11)可知v1′2=v2′2,v3′2=v4′2,代入式(15)可得由于V和v1为两个独立参量,而由关系a3G(v32)=a1G(v12)可确定v3=f(v1),因而依据式(11)可知v1′2和v3′2也都可以独立地变化,因此(i=1,2,3,4)必须是与粒子运动速度无关的常量。虽然这一结论是在某个散射特例中推导而得,但对更一般的情况,显然A为常量也是普遍式(15)的解。由此可知,在S′系中,粒子能量和动质量之比应为与粒子运动速度无关的常量。另一方面由相对性原理,所有惯性系在物理上都是等价的,因而必然要求能量和动质量之比应为与参考系选取无关的常量。依据以上讨论,一般可设粒子能量和动质量之比为其中A为与粒子运动速度无关的待定常量,即粒子能量应正比于动质量,这样才能保证能量守恒或质量守恒在任何惯性系中都满足相对性原理。于是粒子能量可以写为在相对论力学中,粒子所受外力F可定义为而粒子相对论能量ε的定义为对于一个不受外力作用的孤立系统,可知其系统的总动量和总能量都为常量分别守恒。由此可得由此得到有关质速关系m=m(v2)的微分方程:积分求解式(22)可得两个不同的解。由条件v2<A,可知相应粒子的运动速度都应有上限,该类粒子可称为“慢子”,则可引入最小的速度上限vmax,使得粒子速度v=|v|<vmax,(vmax-v)→0,即vmax是“慢子”原则上能够无限趋近的运动速度上限。由条件v2>A,可知相应粒子的运动速度都应有下限,该类粒子可称为“快子”,则可引入最大的速度下限vmin,使得粒子速度v=|v|>vmin,(v-vmin)→0,即vmin是“快子”原则上能够无限趋近的运动速度下限。由p=|p|=mv,对于外力F沿粒子运动的切向分量有而普遍的质能关系则为2时空变换关系在第1节讨论的两体弹性散射过程中,由S系和S′系中散射前后的能量守恒式,并由式(11)可得联立方程:利用已确定的普遍质能关系(式(27))可得代入式(28)后可得关系vm2=(vm2-V2)[γ(V)]2,由条件γ(V=0)=1,可解得进而由式(9)可求得将γ(V)和α(V)代入式(7),即可确定相对论时空变换的广义洛伦兹变换关系:由式(8),可得相对论的速度变换关系为与我们在文献中讨论的完全非弹性碰撞过程的推导结果相同,本文依据相对性原理以及动量守恒和能量守恒定律,无需引进光速不变的假设,通过动力学推导再次确定了时空变换的广义洛伦兹变换公式。本文的推导证明该变换公式不仅适用于通常的“慢子”,也适用于“快子”。依据广义洛伦兹速度变换(式(33)),不难验证在任何惯性参考系变换下,“慢子”的运动速度都小于vm,“快子”的运动速度都大于vm,说明“慢子”与“快子”之间无法通过运动学进行转换。由此可推知在已确定的广义洛伦兹速度变换下,“慢子”的运动速度上限必须等于“快子”的运动速度下限,否则若有vmax≠vmin,就可利用|V|>Minimum{vmax,vmin}的参考系变换来实现“慢子”与“快子”之间的转换,但这显然违反广义洛伦兹变换特性,因此必有vmax=vmin=vm。可将vm称为极限速度,对于“慢子”来说极限速度是速度上限v<vm,而对于“快子”来说极限速度则是速度下限v>vm。3“快子”的质速关系对于“慢子”,原则上都存在静止参考系,因而具有非零的静质量m0=m(0)≠0,在普遍质速关系(式(26))中取v0=0,即可回到“慢子”通常的质速关系形式:将“慢子”的质速关系式与m=m(v2)=ag(v2)相比较,可知“慢子”的本征力学量为a=m0≤m,,因此“慢子”的静质量m0也可称为本征质量或最小质量。对于“快子”,在任何参考系中都有v>vm,因此快子不存在静止参考系,也无法定义静质量。由式(26)可得对于“快子”,由于有m∞=m(v2→∞)=0,令p∞为v→∞时“快子”的有限动量,则有,由此“快子”的质速关系为“快子”的动量则为将“快子”的质速关系式与m=m(v2)=ag(v2)相比较,可知“快子”的本征力学量为,因此“快子”的|p∞|也可称为本征动量或最小动量。若将p=mv和ε=mvm2推广到以速率v=vm运动的粒子,则由式(33)不难验证在任何惯性系中该粒子的运动速率都将为v=vm,我们将这类粒子命名为“常子”(conston)。由于“常子”同样不存在静止参考系,因而也不具有静质量。“常子”既不具有本征质量m0,也不具有本征动量|p∞|,表征“常子”力学特性的本征量应是本征速度vm。由于极限速度vm为广义洛伦兹变换下的不变量,因而若取vm=c,则光速不变就成为相对论的一个推论。普遍的相对论质速关系可写为而普遍的相对论质能关系则为将ε2=m2vm4和p2vm2=m2v2vm2代入式(26)可得由于等号右边是与时空变换无关的确定常量,因此(ε2-p2vm2)是一个时空变换下的不变量。对于“慢子”可取v0=0,则有m2(v02)(vm2-v02)vm2=m02vm4;对于“常子”,必须取v0=vm,则m2(v02)(vm2-v02)vm2=0;对于“快子”,则有m2(v02)(vm2-v02)vm2=-p∞2vm2。由此可得各类粒子的能量-动量关系式为4静质量概念的引进本文依据相对性原理和相对论力学的基本定义dp=Fdt,dε=F⋅dr,以及相应的动量守恒和能量守恒定律,通过讨论更为普遍的两体弹性散射过程(文献讨论过两体完全非弹性碰撞的特例),无需引进光速不变假设,完全在动力学范围内证明了相对论能量ε=aG(v2)必须正比于相对论质量m=ag(v2),其中a是表征各种粒子力学特性的相应特征参量,为参考系变换下的不变量。通过建立和求解质速关系的微分方程,得到了更为普遍的相对论质速关系和质能关系ε(v2)=m(v2)vm2,其中vm是在求解微分方程中自动给出的极限速度。极限速度vm的存在是相对论本身自洽的要求,不需要引入额外的理论假设。对于v<vm,v0<vm的“慢子”,质速关系回到通常的形式,其中静质量m0为表征“慢子”力学特性的本征质量或最小质量a=m0≤m。对于v>vm,v0>vm的“快子”,质速关系可化为,其中p∞是v→∞时的有限动量,为表征“快子”力学特性的本征动量或最小动量。对于v=v0=vm的“常子”,表征其力学特性的应为本征速度或极限速度vm。在传统相对论中,将“慢子”的静质量概念m0不恰当地推广到了“常子(光子)”和“快子”,导致光子具有零静质量和“快子”具有虚静质量的结论,但实际上“常子”和“快子”并不存在静止参考系,引进的所谓静质量在实验上无法直接测量,在理论上也存在逻辑矛盾。依据本文的讨论,给出了对所有粒子都适用的普遍质速关系和质能关系式,传统相对论的质速关系则成为“慢子”在取vm=c时的特例情况,对于“常子”和“快子”则无需引进静质量概念。实际上静质量m0只是适用于“慢子”的本征力学量,“快子”的本征力学量是本征动量|p∞|,“常子”的本征力学量则是极限速度vm。由p=mv和ε=mvm2,以及本文推得的普遍的相对论质速关系,消去v后可以得到普遍的粒子能量-动量之间的关系式:ε2-p2vm2=m2(v02)(vm2-v02)vm2,因此(ε2-p2vm2)是一个时空变换下的不变力学量,依据其值大于零、等于零和小于零,可以定义并区分“慢子”、“常子”和“快子”。这比通常以不同的静质量(m02>0,m02=0,m02<0)来定义和区分“慢子”,“常子”和“快子”,在理论上更为普遍和准确,实验上也更具可操作性。传统相对论的能量-动量关系式为ε2-p2c2=m02c4,并需要假设光子的静质量为零,从而有ε2-p2c2=0;需要假设“快子”具有虚的静质量,从而有ε2-p2c2<0。但对于无静止参考系的粒子,实际上无法测量所谓静质量。本文抛弃这些含有逻辑错误的假设,对于“快子”和“常子”无需引进静质量的概念而给出可测量的判别公式。若巳知极限速度vm,则在任意参考系中可通过测量“快子”的能量和动量,由公式来确定“快子”的本征参量|p∞|。值得指出的是,光子静质量为零m0=0的条件在实际的物理计算中并不会起实质性的作用,真正起作用的是关系式ε2-p2c2=0(或ε=pc)。认为光子无静质量与假设光子静质量为零,虽然在概念上具有明显差别,但并不影响实际的物理计算,因此抛弃光子的静质量概念并不会影响现有的物理结果。由于“常子”和“快子”都不具有静质量,无法形成实际的参考系,因而实际的参考系都是由“慢子”这类实物粒子构成的,因此参考系之间的相对运动速度必须满足条件|V|<vm,这既保证在广义洛伦兹变换下,“慢子”的速度上限等于“快子”的速度下限,也使得“慢子”、“常子”和“快子”之间无法通过运动学的参考系变换来互相转换。本文无需引进光速不变假设,无需引进“常子”和“快子”具有静质量的假设,建立了一种适用范围更广的相对论理论,不仅适用于v<vm的“慢子”,也适用于v=vm的“常子”以及v>vm的“快子”。在运动学的广义洛伦兹变换公式以及相对论动力学公式中