傅科摆运动的时间变率

傅科摆运动的时间变率

在1851年的傅科仪表实验中，倾斜球以约16s的速度旋转。同时，支撑平面缓慢移动，直径轴顺时针旋转，位移周期约为32h。地球自转。傅科小倾斜角近似祥相运动的理论分析和数值计算表明，在短时间内有几种形状，如多叶玛线、菊花线、内向线和椭圆形滑动。图案的印刷给人留下了一条周期。有必要问一个周期是重复的吗？此外，支撑平面的平面旋转也是一个值得关注的问题。在本文中，我们分析了从速度方向速度方向的时间变率的角度分析了速度方向速度方向的趋势。1傅科摆运动方程的解析解摆长l的单摆悬挂于北纬λ,考虑地球自转,自转角速度记作ω,建立固连地球的坐标系Oxyz:x轴指向正东,y轴指向正北,z轴指向天空,原点O为摆球的静平衡位置.摆球运动受到科里奥利力的作用.科里奥利力表示为Fc=2mv×(ωcosλj+ωsinλk).对于小摆角,摆球近似在水平面Oxy内运动,令p=√g/l‚ω⊥=ωsinλ,则运动方程可写为m¨r=-mp2r+2mω⊥˙r×k(1)在恒星参考系,摆球受到绳张力和重力提供的线性恢复力作用,相对原点的角动量守恒.这启发我们构想一个地面参考系中的守恒量:L=r×(˙r+ω⊥k×r)=r×˙r+ω⊥r2k证明如下:˙L=r×(-p2r+2ω⊥˙r×k)+ω⊥r2k≡0方程(1)是线性的,摆球在任意位置的运动状态包含着运动的全部信息.不妨采用极坐标,设置初始条件为最大摆幅rmax及相应横向速度Vθ=rmaxΩ,即r=rmax‚θ=0‚˙θ=ω‚˙r=0,当t=0(3)由于力学系统的机械能和物理量L都守恒,因此有˙r⋅˙r+p2r2=r2max(Ω2+p2)(4)L=r2(˙φ+ω⊥)k=r2max(Ω+ω⊥)k(5)将式(1)代入恒等式¨r2=2˙r⋅˙r+2r⋅¨r的右端,运用混合积法则,并将式(4)和式(5)代入,得¨r2=2r2max(Ω2+p2)-2p2r2+2r⋅(-p2r+2ω⊥˙r×k)=2r2max[(Ω2+ω⊥)2+p2+ω2⊥]+4(p2+ω2⊥)r2(6)简振方程(6)具有解析解:r2r2max=cos2γt+(Ω+ω⊥)2γ2sin2γt(7)其中γ=√p2+ω2⊥.将上式代入式(5),积分得φ=-ω⊥t+arctanΩ+ω⊥γtanγt+πSign(Ω+ω⊥)Int0.5+γtπ)(8)式(7)和式(8)就是傅科摆运动方程(1)的极坐标解析解.2摆球绕z轴旋转速度的特征把方程(1)的特解˙φ=-ω⊥视为摆平面偏转速度并不恰当,这里谈两点:一是特解对应着初条件Ω=-ω⊥,这与当年傅科摆的启动方式(Ω=0)和轨迹线都不符合.从数值看,当摆球被拉开一小角度后静止释放时,摆球的最小摆角rmin=ω⊥rmax/γ,依式(5)知˙φ可取得最大值˙φr=rmin=r2maxr2min-1ω⊥=p2ω⊥⋅107⋅ω⊥.其次,摆球绕z轴的旋转速度˙φ与摆平面偏转的物理内涵不等同.地面系中的摆平面偏转,使摆球与摆平面之间出现分离与合拢,当r=rmax时等效于摆球回到初态,科氏力消失,摆球回归到摆平面,而后摆球与摆平面逐渐分离,r=rmin时科氏力最强,分离最严重.摆球速度因科氏力作用而连续改变方向是摆平面进动的原因,先确定速度方向的时间变率.令˙r=veτ,用法向单位矢量en=1vk×˙r点乘方程(1)两端,得到加速度和作用力沿轨迹法线的分量,于是有v˙eτ⋅en=1vp2k⋅(r×˙r)-2ω⊥v=p2v(k⋅L-ω⊥r2)-2ω⊥v(9)利用式(4)和式(5)消去上式中的L、v,得˙e=(p2-ω⊥Ω)ΩΩ2+p2-p2(r/rmax)2-ω⊥en(10)以Ω=0方式启动摆动,发现˙eτ=-ω⊥en这表明摆球速度矢量始终以匀角速度-ω⊥旋转着.俯视看去,就好像摆平面以角速度ω⊥顺时针转动着,速度矢量与摆平面始终保持平行.3内次摆线参数本文的解析解是极坐标形式的内次摆线,标记内轮半径为Ri、外环半径为Ro、动点P到内轮轮心C的距离CP为D,见图1.内轮滚动一周,所需时间T=π/γ,在大环上滚过的圆弧长等于内轮圆周长,即π-ω⊥πγRo=2πRi易证内次摆线参数与傅科摆物理参数之间存在如下关系:{Ro=(1+η1+δ)rmaxRi=1-δ2RoD=12(1-η-δ)rmax(11)其中η=Ωγ‚δ=ω⊥γ.内轮滚动时间t,在外环上滚过的弧线对应的外环圆心角是α=RiRo2γt,动点P的轨迹与摆球轨迹相同,内次摆线的极坐标参数方程为{r2=(Ro-Ri)2+D2+2D(Ro-Ri)cosRoRiαφ=(1-Ro2Ri)α+arctan[Ro-Ri-DRo-Ri+DtanRo2Riα]+πSign(Ro-Ri-D)Ιnt(0.5+αRo2πRi)(12)若Ω=0,则有η=0‚D=1-δ2Ro=Ri,这是一条内摆线.当Ω>0时,则D<Ri,形成短幅内次摆线.当Ω<0时,则D>Ri,形成长幅内次摆线.从内次摆线结构看,半径比RiRo=1-δ2为有理数,轨迹是形如图2的周期图案;若是无理数,则形成图3所示的非周期性环状轨迹(为了显示清晰正确的图像,计算时将地球角速度ω放大了500倍).因此,傅科摆产生周期轨迹图,完全决定于系统参数δ,即ω⊥√p2+ω2⊥是个有理数.内摆线(D=Ri时,η=0)和椭圆(Ro=2Ri时,δ=0)是内次摆线的两种特殊情形,若已知内次摆线参数Ri,Ro,D可按式(1