2023届广西壮族自治区玉林市博白县高三下学期5月模拟考试理科数学试题（含解析）

姓名准考证号座位号绝密★启用前2023届广西壮族自治区玉林市博白县高三下学期5月模拟考试（理科数学）试题1．已知全集，集合，则()A． B． C． D．2．设复数，则()A． B． C． D．3．已知在一次射击预选赛中，甲、乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列四个选项中判断正确的是()A．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 B．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差C．甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数D．甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数4．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点，已知，，则光从焦点出发经镜面反射后到达焦点经过的路径长为()A．5cm B．10cm C．cm D．cm5．“”是“数列为等差数列”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件6．已知与曲线相切，则a的值为()A． B．0 C．1 D．27．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A． B．C． D．8．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列关于说法正确的是()第7题图A．奇函数 第7题图C．图象关于直线对称 D．图象关于点对称9．在正方体中，下列说法不正确的是()A．直线与直线垂直B．直线与平面垂直C．三棱锥的体积是正方体的体积的三分之一D．直线与直线垂直10．已知，且，则()A． B． C． D．11．已知分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若,，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．212．已知函数的定义域为R，为偶函数，，当时，（且），且.则（

）A．40 B．32 C．30 D．36二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，的展开式中存在常数项，写出n的一个值为____________.14．若向量，，且，共线，则____________.15．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙在同一个小组的概率为_______.16．已知三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的体积为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中的值；在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记X为3人中成绩在的人数，求；(2)规定成绩在的为A等级，成绩在的为B等级，其它为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得B等级的人数不少于2人的概率.18．已知数列的前n项和为，；数列中，，．(1)求数列、的通项公式和；(2)设，求数列的前n项和．19．如图，在三棱柱中，侧面是菱形，且，侧面是边长为2的正方形，侧面侧面，D为的中点．(1)求证：；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．20．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l：经过抛物线C的焦点.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l与抛物线C相交于A、B两点，过A、B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P.求△面积的最小值.21．设函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若有两个极值点，①求a的取值范围；②证明：．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），直线的普通方程为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求与的极坐标方程；(2)在极坐标系中，射线与，分别交于点A，B（异于极点），若，求的值．23．已知函数.(1)求的值域；(2)若的最大值为m，正实数x，y，z满足，求证：.2023届广西壮族自治区玉林市博白县高三下学期5月模拟考试（理科数学）参考答案123456789101112BCDBCBACDDAD1．B，则.2．C，则，.3．D甲的成绩的极差为：；乙的成绩的极差为：甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差，故A不正确．由条形统计图得甲的成绩相对分散，乙的成绩相对稳定，甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差，故B不正确；甲的成绩的平均数为：乙的成绩的平均数为：甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数，故C不正确；甲的成绩的中位数为：；乙的成绩的中位数为：甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数，故D正确；4．B由题意可知：，则，则光经过的路径长.C设，则，，，所以，但数列不是等差数列；若数列为等差数列，根据等差数列的性质可知，成立.所以，“”是“数列为等差数列”的必要不充分条件.B由题意，设切点为，所以，，所以，所以，则.7．A由三视图知：几何体为长方体中去掉一个圆锥体如图示，所以圆锥底面半径为3，母线长为，侧面积为，底面积为，则几何体的表面积为.8．C将函数的图象向左平移个单位长度后得函数，对于A：，为偶函数，A错误；对于B：当时，，在上单调递减，在上单调递减，B错误；对于C：，图象关于直线对称，C正确.对于D：，图象不关于点对称，D错误；9．DAB选项，因为在正方体中，，，且，平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，，，因为，平面，所以平面，所以A，B正确；D选项，由正方体中的基本关系得到，而三角形是等边三角形，故与所成角为，故直线与直线所成角为，所以D错误；C选项，设棱长为1，则四棱锥的体积等于正方体体积减去4个三棱锥的体积，即，所以三棱锥的体积是正方体的体积的三分之一，C正确．10..D，化简得11．A∵分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，∴，，又∵在中，，∵，∴，则，又，∴，即，故，解得：，∵，∴.12．D因为是偶函数，所以，用代替可得：，所以，所以函数关于直线对称，又因为，所以，所以，所以关于点中心对称，所以函数的周期为，因为当时，（且），且，所以，解得：或，因为且，所以.所以当时，，所以，，，，，，，所以，所以，13．3（答案不唯一）二项式的展开式的通项为，因为二项式的展开式中存在常数项，所以有解，即，可得n的一个值为3.14．因为，共线，所以，解得：，所以，，所以.5名棋手分别记为：甲，乙，，，，分组情况有：,共10种，其中甲和乙在同一人组的有4种，分别为：（甲乙，），（甲乙，），（甲乙，），（，甲乙），所以甲和乙在同一个小组的概率为.16．因为，，所以在中，根据余弦定理可得：，即．所以，所以∠ABC=120°，所以底面是顶角为120°的等腰三角形．由题意将三棱锥补成如图所示的直三棱柱，则该直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圆圆心连线的中点上．设外接圆的半径为r，三棱锥外接球的半径为R，由正弦定理得，，所以，，所以三棱锥外接球的体积为，17.（1）由频率和为可得， 1分解得. 2分由频率分布直方图可得，成绩在的三组人数比为，根据分层抽样抽取的成绩在的三组人数为， 3分所以. 6分由题意，成绩为B等级的频率为， 7分设从所有参加考试的同学中随机抽取3人，获得B等级的人数为，则服从二项分布，所以 9分, 11分所以获得B等级的人数不少于2人的概率为. 12分18．（1）∵，∴， 1分两式相减得，即，得． 2分又，∴， 3分可得数列是以3为首项，3为公比的等比数列，则； 4分∵，∴，即数列是等差数列， 5分又，∴． 6分（2）∵，∴， 7分∴， 8分∴， 9分两式相减可得：. 11分∴． 12分19．（1）连接，因为侧面是菱形，且，所以是等边三角形，又因为为的中点，所以， 1分因为，所以； 2分因为侧面是边长为的正方形，所以，又侧面侧面，侧面侧面，侧面，所以侧面， 3分又因为侧面，所以． 4分又，所以； 5分（2）平面，，以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系： 6分则、、、、、， 7分所以，，设平面的法向量为，则，令，则， 9分由（1）知平面的一个法向量为， 10分设平面与平面所成锐二面角大小为，则，所以平面与平面锐二面角的余弦值为. 12分20.（1）解：由题意，设抛物线C的方程为， 1分因为直线经过抛物线C的焦点，所以，解得， 3分所以抛物线C的方程为. 4分（2）解：设､，联立方程组，整理得，因为，且，， 5分所以， 6分由，可得，则，所以抛物线经过点的切线方程是，将代入上式整理得， 7分同理可得抛物线C经过点B的切线方程为，联立方程组，解得，所以， 8分所以到直线的距离， 9分所以的面积， 10分因为，所以， 11分即当时，，所以面积的最小值为. 12分21.【详解】（1）当时，，故，

所以， 2分当时，；当时，，所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 4分（2）①，依据题意可知有两个不等实数根，即有两个不等实数根．由，得， 5分所以有两个不等实数根可转化为函数和的图象有两个不同的交点，令，则， 6分由，解得；由，解得；所以在单调递增，在单调递减，所以．又当时，，当时，，因为与的图象有两个不同的交点，所以．

8分②由①可知有两个不等实数根，联立得， 9分所以不等式等价于．令，则，且等价于．所以只要不等式在时成立即可．

设函数，则， 1