七年级数学上册专题08 规律题方法总结与例题专训（解析版）

/专题08规律题方法总结与例题专训【知识点睛】常见规律题类型周期性循环特点：常以3个或4个数据为一周期，以此循环往复；总数比较大，常和年份结合考察处理方法步骤：1.找出第一周期的几个数，确定周期数2.算出题目中的总数和待求数3.用总数÷周期数=m……n（表示这列数中有m个整周期，最后余n个）4.最后余几，待求数就和每周期的第几个一样；周期性递变循环特点：常以2个或3个一周期，后边的每组，周期数不变，但是数据的大小会以相同的关系递增或递减；处理方法：同周期性循环基本一致，最后一步需要加入递变的关系递变增减型特点：分以此递增和以此递减，通常是数据之间的直接变化，偶尔借助图形；常和年份结合考察处理方法：熟记单独数据规律，直接应用于考察问题；算式类比性特点：常给出几个算式或等式，先算简单的，再从简单的类比到复杂题目的计算处理办法：1.正确计算出前面简单算式的答案2.找出数字间的规律3.将简单数字间的关系推导到字母n的关系中常见数字间固定规律识记：项数第1项第2项第3项第4项……第n项前n项和①1234……n②13572n-1n²③35792n+1n（n+2）④24682nn（n+1）⑤248162n2n+1-2⑥261220n（n+1）/⑦13610/规律题解题思想：裂项相消法：将一项拆分成多项，前后保持相等，然后利用某些项相消的原则简化运算；错位相减法：适用于两个式子间有相同项的题目，两式相减直接抵消掉中间项，剩余首项、尾项再计算；倒序求和发：如：计算1+2+3+……+50，可以设S=1+2+3+……+50，则亦有S=50+49+48+……+1，∴2S=51×50，∴S=51×25=…裂项法公式：【类题训练】1．填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a，b的值分别为（）A．16，257 B．16，91 C．10，101 D．10，161【分析】第二行第一个数的规律是2n+2，第一行第二个数的规律是2n，第二行第二个数是的规律是b＝ac+1，由此求解即可．【解答】解：第二行第一个数的规律是2n+2，∴a＝10，第一行第二个数的规律是2n，∴c＝16，第二行第二个数是的规律是b＝ac+1，∴b＝160+1＝161，故选：D．2．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这组数的第2022个数是（）A． B． C． D．【分析】通过观察发现，分子是2n+1，分母是2n，并且负正数交替出现，由此可得规律为，从而可求第2022个数．【解答】解：∵＝（﹣1）1，＝（﹣1）2，＝（﹣1）3，…，∴第n个数为：，∴第2022个数为：＝．故选：D．3．一只小球落在数轴上的某点P0，第一次从P0向左跳1个单位到P1，第二次从P1向右跳2个单位到P2，第三次从P2向左跳3个单位到P3，第四次从P3向右跳4个单位到P4……若按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点P100所表示的数恰好是2021，则这只小球的初始位置点P0所表示的数是（）A．1971 B．1970 C．﹣1971 D．﹣1970【分析】根据题意，可以先设这只小球的初始位置点P0所表示的数是a，然后再写出几个点所表示的数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可写出点P100所表示的数，从而可以求得点P0所表示的数．【解答】解：设这只小球的初始位置点P0所表示的数是a，则P1表示的数是a﹣1，P2表示的数是a+1，P3表示的数是a﹣2，P4表示的数是a+2，…，∴P100表示的数是a+50，∵点P100所表示的数恰好是2021，∴a+50＝2021，解得a＝1971，故选：A．4．有一列数a1，a2，a3，…，an，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1＝2，则a2022为（）A． B．2 C．﹣1 D．2022【分析】分别求出a1＝2，a2＝，a3＝﹣1，a4＝2，可得规律每3个数循环一次，则a2022＝a3＝2．【解答】解：∵a1＝2，∴a2＝1﹣＝，a3＝1﹣2＝﹣1，a4＝1+1＝2，……∴每3个数循环一次，∵2022÷3＝674，∴a2022＝a3＝﹣1，故选：C．5．如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数﹣2022将与圆周上的哪个数字重合（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】据圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答．【解答】解：圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则与圆周上的0重合的数是﹣2，﹣6，﹣10…，即﹣（-2+4n），同理与3重合的数是：﹣（-1+4n），与2重合的数是﹣4n，与1重合的数是﹣（1+4n），其中n是正整数．而﹣2022＝﹣（-2+4×506），∴数轴上的数﹣2022将与圆周上的数字0重合．故选：A．6．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2022应标在（）A．第506个正方形的右上角 B．第506个正方形的左下角 C．第505个正方形的右上角 D．第505个正方形的左下角【分析】根据图形的变化可知，每四个数一个正方形，2022÷4＝5052，即可判断2022在第506个正方形右上角的位置．【解答】解：根据图形的变化可知，每四个数一个正方形，且四个数在正方形上的相对位置是相同的，∵2022÷4＝5052，∴2022在第506个正方形右上角位置上，故选：A．7．等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（）A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024【分析】作出草图，不难发现，每3次翻转为一个循环组依次循环，用2013除以3，根据正好能整除可知点C在数轴上，然后进行计算即可得解．【解答】解：如图，每3次翻转为一个循环组依次循环，∵2023÷3＝674…1，∴翻转2023次后点C在数轴上，∴点C对应的数是0﹣674×3＝﹣2022．故选：B．8．下列图形都是由圆和几个黑色围棋子按一定规律组成，图①中有4个黑色棋子，图②中有7个黑色棋子，图③中有10个黑色棋子，…，依次规律，图中黑色棋子的个数是（）A．6067 B．6066 C．6065 D．6064【分析】由题意可知：图①中有3+1＝4个黑色棋子，图②中有3×2+1＝7个黑色棋子，图③中有3×3+1＝10个黑色棋子，…，依此规律，图n中黑色棋子的个数是3n+1，由此进一步求得答案即可．【解答】解：∵图①中有3+1＝4个黑色棋子，图②中有3×2+1＝7个黑色棋子，图③中有3×3+1＝10个黑色棋子，…图n中黑色棋子的个数是3n+1，∴图2022中黑色棋子的个数是3×2022+1＝6067．故选：A．9．算筹是古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形武（如图）．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位、十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推例如3306用算筹表示就是，则2022用算筹可表示为（）A．B．C．D．【分析】根据运算的规则直接判断即可得出结论．【解答】解：∵各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，∴2022用算筹可表示为，故选：C．10．根据图中数字的排列规律，在第⑦个图中，a﹣b﹣c的值是（）A．﹣190 B．﹣66 C．62 D．64【分析】每个图形中，左边三角形上的数字为a＝（﹣1）n•2n，右边三角形上的数字为b＝（﹣1）n•2n+2，下面三角形上的数字为c＝（﹣1）n•2n，先把n＝7代入求出a、b、c的值，再进一步求出a﹣b﹣c的值．【解答】解：通过观察可得规律：左边三角形上的数字为a＝（﹣1）n•2n，右边三角形上的数字为b＝（﹣1）n•2n+2，下面三角形上的数字为c＝（﹣1）n•2n，∵n＝7，∴a＝（﹣1）×27＝﹣128，b＝﹣128+2＝﹣126，c＝（﹣128）＝﹣64，∴a﹣b﹣c＝﹣128+126+64＝62．故选：C．11．已知整数m1，m2，m3，m4，…满足下列条件：m1＝0，m2＝﹣|1+m1|，m3＝﹣|2+m2|，m4＝﹣|3+m3|，…，以此类推，m2020＝．【分析】观察下面的计算结果，发现角码是偶数的，所表示的数是角码一半的相反数．【解答】解：∵m1＝0，∴m2＝﹣|1+m1|＝﹣|1+0|＝﹣1，∴m3＝﹣|2+m2|＝﹣|2+（﹣1）|＝﹣1，m4＝﹣|3+m3|＝﹣|3+（﹣1）|＝﹣2，m5＝﹣|4+m4|＝﹣|4+（﹣2）|＝﹣2，m6＝﹣|5+m5|＝﹣|5+（﹣2）|＝﹣3，m7＝﹣|6+m6|＝﹣|6+（﹣3）|＝﹣3，……∴m2020＝﹣2020÷2＝﹣1010．故答案为：﹣1010．12．在2020个“□”中依次填入一列数字m1，m2，m3…，m2020，使得其中任意四个相邻的“□”中所填的数字之和都等于15．已知m3＝2，m6＝7，则m1+m2020的值为．27…【分析】根据题意任意四个相邻的“□”中所填的数字之和都等于15，m3＝2，m6＝7，则找出m1和m2020之间与已知数据的联系即可．【解答】解：由题知m1+m2+m3+m4＝15，m2+m3+m4+m5＝15，m3+m4+m5+m6＝15，．m2017+m2018+m2019+m2020＝15，∴m1＝m5＝m9＝...＝m4n﹣3，m2＝m6＝m10＝...＝m4n﹣2，m3＝m7＝m11＝...＝m4n﹣1，m4＝m8＝m12＝...＝m4n，∴m2020＝m4，m1＝m5，∵m3＝2，m6＝7，m3+m4+m5+m6＝15，∴m4+m5＝6，即m1+m2020＝6，故答案为：6．13．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是1，可发现第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，……，请你探索第2021次输出的结果是．【分析】根据题意，可以写出前几个输出结果，从而可以发现输出结果的变化特点，从而可以求得第2021次输出的结果．【解答】解：由题意可得，第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，第三次输出的结果是1，第四次输出的结果是4，第五次输出的结果是2，…，由上可得，输出结果依次以4，2，1循环出现，∵2021÷3＝673……2，∴第2021次输出的结果是2，故答案为：2．14．如图，数字都是按一定规律排列的，其中x的值是．【分析】通过观察可知，25＝a+b，b＝a+1，x＝25a+b，求解即可．【解答】解：由题可知，25＝a+b，b＝a+1，∴a＝12，b＝13，∵x＝25a+b，∴x＝25×12+13＝313，故答案为：313．15．观察图，找出规律．，则的值为．【分析】由图形中的数字排列可知：三角形顶点的数字加上左下角的数字再减去右下角的数字就是运算的结果，由此方法计算得出答案即可．【解答】解：∵﹣5﹣2﹣3＝﹣10，﹣6+6﹣（﹣4）＝4，﹣7﹣10﹣（﹣17）＝0，∴11﹣12﹣7＝﹣8．故答案为：﹣8．16．观察以下等式：第1个等式：×（2﹣）＝1+；第2个等式：×（2﹣）＝1+；第3个等式：×（2﹣）＝1+；第4个等式：×（2﹣）＝1+；第2021个等式：×（2﹣）＝1+．【分析】从数字找规律，进行计算即可解答．【解答】解：第1个等式：×（2﹣）＝1+，即：×（2﹣）＝1+；第2个等式：×（2﹣）＝1+，即：×（2﹣）＝1+；第3个等式：×（2﹣）＝1+，即：×（2﹣）＝1+；第4个等式：×（2﹣）＝1+，即：×（2﹣）＝1+；..．第2021个等式：×（2﹣）＝1+，即：×（2﹣）＝1+，故答案为：×（2﹣）＝1+．17．请你观察：，，；…+＝+＝1﹣＝；++＝++＝1﹣＝；…以上方法称为“裂项相消求和法”．请类比完成：（1）+++＝；（2）++++…+＝；（3）计算：的值．【分析】（1）参照所给的方法进行求解即可；（2）参照所给的方法进行求解即可；（3）根据所给的式子，由，据此把其余各项进行转化即可求解．【解答】解：（1）+++＝1﹣+＝1﹣＝；故答案为：；（2）++++…+＝1﹣++…+﹣＝1﹣＝；故答案为：；（3）＝+++＝×（1﹣）＝×（1﹣）×＝．18．先阅读下列内容，然后解答问题．因为．所以．请解答：（1）应用上面的方法计算：…．（2）类比应用上面的方法计算：…．【分析】（1）对所求式子的各加数进行拆项，从而可求解；（2）仿照所给的规律进行求解即可．【解答】解：（1）…＝1﹣+﹣++…+＝1﹣＝；（2）…＝×（1﹣）+×（）+×（）+…+×（）＝×（1﹣++…+）＝×（1﹣）＝×＝．19．观察以下图案和算式，解答问题：（1）1+3+5+7+9＝；（2）1+3+5+7+9+…+19＝；（3）请猜想1+3+5+7+……+（2n﹣1）＝；（4）求和号是数学中常用的符号，用表示，例如，其中n＝2是下标，5是上标，3n+1是代数式，表示n取2到5的连续整数，然后分别代入代数式求和，即：＝3×2+1+3×3+1+3×4+1+3×5+1＝46请求出的值，要求写出计算过程，可利用第（2）（3）题结论．【分析】（1）根据连续n个奇数的和等于n2即可得；（2）利用所得规律计算可得；（3）利用（1）中所得规律计算可得；（4）由＝21+23+25+……+47+49＝（1+3+5+……+47+49）﹣（1+3+5+……+19），利用所得规律计算可得．【解答】解：（1）1+3+5+7+9＝52＝25，故答案为：25；（2）1+3+5+7+9+…+19＝102＝100，故答案为：100；（3）1+3+5+7+……+（2n﹣1）＝n2，故答案为：n2；（4）＝21+23+25+……+47+49＝（1+3+5+……+47+49）﹣（1+3+5+……+19）＝252﹣102＝525．20．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如表：加数m的个数和S12＝1×222+4＝6＝2×332+4+6＝12＝3×442+4+6+8＝20＝4×552+4+6+8+10＝30＝5×6（1）按这个规律，当m＝6时，和为；（2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：＝．（3）应用上述公式计算：①2+4+6+…+200；②202+204+206+…+300．【分析】（1）仔细观察给出的等式可发现从2开始连续两个偶数和1×2，连续3个偶数和是2×3，连续4个，5个偶数和为3×4，4×5，从而推出当m＝6时，和的值；（2）根据分析得出当有m个连续的偶数相加是，式子就应该表示成：2+4+6+…+2m＝m（m+1）．（3）根据已知规律进行计算，得出答案即可．【解答】解：（1）∵2+2＝2×2，2+4＝6＝2×3＝2×（2+1），2+4+6＝12＝3×4＝3×（3+1），2+4+6+8＝20＝4×5＝4×（4+1），∴m＝6时，和为：6×7＝42；故答案为：42；（2）∴和S与m之间的关系，用公式表示出来：2+4+6+…+2m＝m（m+1）；故答案为：S，m（m+1）；（3）①2+4+6+…+200＝100×101，＝10100；②∵2+4+6+…+300＝150×151＝22650，∴202+204+206+…+300．＝22650﹣10100，＝12550．21．观察算式：1×3+1＝4＝22；2×4+1＝9＝32；3×5+1＝16＝42；4×6+1＝25＝52；……（1）请根据你发现的规律填空：7×9+1＝（）2；（2）用含n的等式表示上面的规律：；（3）用找到的规律解决下面的问题：计算：【分析】（1）利用有理数的混合运算求解；（2）利用题中的等式得到n•（n+2）+1＝（n+1）2（n为正整数）；（3）先通分得到原式＝××××…××，再利用（2）中的结论得到原式＝××××…××，然后约分即可．【解答】解：（1）7×9+1＝82；故答案为8；（2）n•（n+2）+1＝（n+1）2（n为正整数）；故答案为：n•（n+2）+1＝（n+1）2（n为正整数）；（3）原式＝××××…××＝××××…××＝＝．22．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是一个常数，这个常数是；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18＝，an＝；②如果欲求1+2+3+4+…+n的值，可令S＝1+2+3+4+…+n❶，将①式右边顺序倒置，得S＝n+…+4+3+2+1❷，由❷式+❶式，