重难点专题22 解三角形大题十四大题型汇总（解析版）-决战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题22解三角形大题十四大题型汇总（解析版）题型1正余弦定理的应用 1题型2余弦定理求最值与取值范围 7题型3正弦定理求最值与取值范围 11题型4不对称结构的最值取值范围问题 19题型5三角形中线问题 29题型6三角形角平分线问题 35题型7三角形高线垂线问题 41题型8普通多三角形问题 48题型9四边形问题 55题型10面积最值取值范围问题 62题型11与三角函数结合 66题型12三角形个数问题 73题型13证明问题 78题型14实际应用题 87题型1正余弦定理的应用1.若式子含有a，b，c的2次齐次式，优先考虑余弦定理，"角化边"2.面积和a，b，c2次齐次式，可构造余弦定理【例题1】（2022秋·新疆伊犁·高三校考阶段练习）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，acos(1)求A；(2)若a=2，△ABC的面积为3，求b、c.【答案】(1)A=(2)b=c=2【分析】（1）在△ABC中，由acosC+3（2）由三角形面积公式结合余弦定理可得b=c=2．【详解】（1）根据正弦定理，a变为sinAcosC+也即sinA所以sinA整理，得3sinA-cosA=1，即所以A-π6=（2）由A=π3，S△ABC由余弦定理，得a2则b+c2=a2+3bc【变式1-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，向量m=(sinA,(1)求角C的大小；(2)若sinA,sinC,【答案】(1)π(2)6【分析】（1）由数量积的运算结合三角函数恒等变换公式可求出角C的大小；（2）由已知条件结合正弦定理可得2c=a+b，由CA⋅(AB-AC)=18【详解】（1）因为m=(所以m⋅因为在△ABC中，A+B=π所以sin(A+B)=sinC因为m⋅n=所以2sin因为sinC≠0，所以cos因为C∈(0,π)，所以（2）由sinA,可得2sin由正弦定理得2c=a+b，因为CA⋅(AB-所以abcosC=18，得由余弦定理得c2所以c2=4c所以c=6.【变式1-1】2.（2023秋·上海嘉定·高三上海市育才中学校考阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=2，内角A，B，C满足sin(1)求a的值；(2)求sin(2C-【答案】(1)2(2)3【分析】（1）由正弦定理直接求解；（2）先根据正弦定理求出边长，然后由余弦定理求解cosC【详解】（1）由asinA=bsinB得（2）由asinA=bsin所以c=2b=2，由余弦定理得所以sinC=1-coscos2C=2cos=3【变式1-1】3.（2023秋·广东揭阳·高三普宁市第二中学校考阶段练习）在△ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcos(1)求角B；(2)若b=5，△ABC的内切圆半径r=34，求【答案】(1)B=(2)21【分析】（1）由余弦定理得到a2+c2-（2）由余弦定理和三角形面积公式求出ac=21【详解】（1）因为bcos由余弦定理得b⋅b即a2所以cosB=又B∈0,所以B=（2）由余弦定理得：a2+c由三角形面积公式，12a+b+c⋅r=则a2所以25-ac+2ac=4ac2-20ac+25所以S△ABC【变式1-1】4．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习）设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且2acos(1)求角A；(2)若a=7，且△ABC的内切圆半径r=3，求△ABC的面积S【答案】(1)π3(2)103【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等变换求出cosA，即可求A(2)利用余弦定理和三角形的面积公式求出bc，即可求面积.【详解】（1）由正弦定理得：2sin即2sin即2sin即2cos因为B∈0,π，所以sinB≠0因为A∈0,所以A=π（2）△ABC面积S=1代入a=7，r=3和A=π3由余弦定理：a2=b即b+c2①②联立可得：bc-1422-3bc=49，解得：bc=40所以S=1【变式1-1】5.（2021秋·北京·高三景山学校校考期中）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若(b+c-a)(sinA+sin(1)求角B的大小；(2)在①a,b,c成等差数列，②a,b,c成等差数列，③a2【答案】(1)π(2)3【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和余弦定理，化简得到cosB=12（2）对于条件①：利用等差中项结合基本不等式可得b≤a+c2，再根据a2+c2-b2=ac【详解】（1）因为(b+c-a)(sin由正弦定理的(b+c-a)(a+b-c)=ac，整理得a2所以cosB=又因为B∈(0,π)，所以（2）选择条件①：因为a,b,由基本不等式(a+c所以2b=a又由a2+c2-整理得3a2+3c2又因为B=π3，且b=2，所以△ABC为边长为所以S△ABC选条件②：由a,b,c成等差数列，所以2b=a+c，又由a2+c2-b2因为B=π3，且b=2，所以△ABC为边长为所以S△ABC选条件③：由a2,b又由a2+c2-b2因为B=π3，且b=2，所以△ABC为边长为所以S△ABC题型2余弦定理求最值与取值范围”齐次对称结构”余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；【例题2】（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且满足：a(1)求角A；(2)若△ABC的外接圆半径为233，求【答案】(1)A=(2)6【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得A.（2）利用正弦定理求得a，利用余弦定理和基本不等式求得b+c的最大值，进而求得△ABC的周长的最大值.【详解】（1）由已知可得：sin=sinB+由于sinB>0，则有1=又0<A<π，则有-π6（2）由正弦定理可知：asinA=2R=又有余弦定理可知：a2由于b2+c2≥2bc又4=b2+从而b+c≤4（当b=c=2等号成立），则a+b+c≤6，故△ABC的周长的最大值为6.【变式2-1】1.（2024·陕西宝鸡·校考一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acos(1)求角A；(2)若△ABC的面积为1，求a的最小值.【答案】(1)A=(2)6【分析】（1）由题设恒等式利用正弦定理将边化为正弦，再逆用和角公式合并化简，即可求得角A.（2）先根据面积公式求出bc=4，再代入余弦定理公式，结合基本不等式求得a的最小值.【详解】（1）由已知2acosA⋅cos由正弦定理2sin所以2cosAsin又C∈0,π，所以cosA=3（2）由题12bcsin又a2=b所以，a≥即a的最小值是6-2，【变式2-1】2.（2023秋·河北·高三校联考期末）在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且2acos(1)求C的值．(2)若△ABC的面积为1，求△ABC的周长的最小值．【答案】(1)C(2)4+【分析】（1）由正弦定理及诱导公式求出结果；（2）由三角形面积公式、余弦定理及基本不等式求得结果.【详解】（1）由已知2a得2sin即2sin因为A+B+C=π，所以sin所以2sin∵A为△ABC内角，∴sinA≠0∴cosC=32∴C=π（2）∵S△ABC=1则ab=4．且c2当且仅当a=b时，即a=b=2时，等号成立．∴a+b+c≥2当且仅当a=b=2时，取等号．∴△ABC周长最小值为4+6【变式2-1】3.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一二二中学校校考开学考试）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a-bcos(1)求角C；(2)若c=2，求△ABC的面积的最大值．【答案】(1)C=(2)3【分析】（1）根据正弦定理边角互化，即可求解,（2）由余弦定理结合不等式即可求解ab的最值，由面积公式即可求解.【详解】（1）因为2a-bcosC=ccos所以2因为A∈0,π，所以所以cosC=12，因为C∈（2）因为c2=a2+所以S△ABC当a=b时S△ABC取最大值为3【变式2-1】4.（2023·江西景德镇·统考三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知tanB+(1)求角B；(2)若△ABC是钝角三角形，且a=c+2，求边c的取值范围.【答案】(1)π(2)(0,2)【分析】（1）由商数关系及和角正弦公式、三角形内角关系化简整理得cosB=（2）根据已知有A为钝角，应用余弦定理及已知条件求c的范围即可.【详解】（1）tanB+tanC=又sinBcosC+cosBsinC=由B∈(0,π)，故（2）由a>c，即A>C，又△ABC是钝角三角形且B=π3，故则a2>b题型3正弦定理求最值与取值范围采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；【例题3】（2023秋·河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c且sin2(1)求角A；(2)若a=43，求△ABC【答案】(1)A=(2)(8【分析】（1）利用正弦定理的边角互化，然后用余弦定理求解；（2）用正弦定理将三角形的周长用三角函数值来表示，利用三角函数的性质求解.【详解】（1）∵sin2B+sin由余弦定理得cosA=b2+∴A=π（2）由（1）知A=π3，又已知∵asin∴b=8sinB，b+c=8sinB+8sin由0<B<2π3故43<b+c≤83∴△ABC周长的范围是(83【变式3-1】1.（2023秋·山西运城·高三统考阶段练习）在①b2+c在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．(1)求角A；(2)若a=43，求△ABC【答案】(1)A=(2)8【分析】（1）正弦定理结合余弦定理求解即可；（2）先根据正弦定理把边转化为角表示，结合辅助角公式计算值域即可得出周长范围.【详解】（1）选择①：因为b2由余弦定理可得2bccos所以结合正弦定理可得3sin因为B∈0,π，则所以3cosA=sin因为A∈0,π，所以选择②：因为sin2由正弦定理得b2由余弦定理得cosA=因为A∈0,π，所以（2）由（1）知A=π3，又已知∵asin∴b=8sinB，∴b+c=8=8=83∵0<B<2∴12∴43∴83【变式3-1】2.（2023·全国·高三专题练习）在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知a=23且cos(1)求角A的大小；(2)若b=22，求△ABC(3)求b+c的取值范围．【答案】(1)A=(2)3(3)6,4【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换运算求解；（2）先利用余弦定理求得c=2（3）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得b+c=43【详解】（1）因为cosC+(且A,B∈0,π2，则sin整理得tanA=3，所以（2）由余弦定理a2=b解得c=2+6所以△ABC的面积S△ABC（3）由正弦定理asinA=则b+c=4=6sin因为△ABC为锐角三角形，且A=π3，则0<B<π则π3<B+π则b+c=43所以b+c的取值范围为6,43【变式3-1】3.（2023秋·广东·高三统考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC=(1)求角C的大小；(2)若△ABC是锐角三角形，且其面积为3，求边c的取值范围.【答案】(1)C=(2)2,【分析】（1）根据同角三角函数关系，结合正余弦函数和差角公式化简即可；（2）由（1）知A+B=2π3，又△ABC是锐角三角形，可得π6<A<π2，根据且其面积为3可得c【详解】（1）因为tanC=sinA+所以sinC即sinC得sinC-A所以C-A=B-C或C-A=π从而2C=A+B，又A+B+C=π，所以C=（2）由（1）知A+B=2π3，又△ABC是锐角三角形，则0<A<因为S△ABC所以c2设y=sinAsin所以y==3因为π6<A<π2，则从而c2=4,6所以边c的取值范围是2,6【变式3-1】4.（2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，已知c(1)求A；(2)若a=6，求△ABC周长的取值范围.【答案】(1)A=(2)12,6+6【分析】（1）利用正弦定理进行边换角结合两角和与差的正弦公式即可得到答案；（2）利用正弦定理、诱导公式和辅助角公式得b+c=62【详解】（1）因为ccos根据正弦定理得sinC又sinC=所以sinC因为A,B,C∈0,所以sinC+sinB>0所以A=π（2）由（1）可知，asinA=6由A=π2，得B+C=π则b+c=6sin因为B∈0,π2则b+c∈6,62，故△ABC周长的取值范围为【变式3-1】5.（2024秋·山东临沂·高三校联考开学考试）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA=(1)若B=π3，求(2)求C的最大值．【答案】(1)tan(2)π【分析】（1）根据三角形内角和利用三角恒等变换可得tanA=（2）利用正弦定理由大边对大角可限定C∈0,【详解】（1）根据题意可知，若△ABC中B=π3，则A+C=2π又sinA=2sin即sinA=2sin解得tan所以tan（2）由正弦定理可知a=2c，显然a>c，所以即角C不是最大角，因此可知C∈0,又sinA=2sinC≤1可得所以C的最大值为π4【变式3-1】6.（2023秋·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足asin(1)求角A；(2)若△ABC为锐角三角形，求4sin【答案】(1)A=π3(2)-1,2【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合和差公式求解可得；（2）利用三角恒等变换公式化简，根据锐角三角形性质求得B的范围，再由正弦函数性质可得.【详解】（1）∵asin∴sin∵A∈0,∴∴∴A=π3（2）∵△ABC是锐角三角形，∴A=则4=4=2sin∵△ABC是锐角三角形，∴2π3∴2B+π∴sin∴4sin2B-4题型4不对称结构的最值取值范围问题巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.【例题4】（2022·全国·高三专题练习）在①2sinA-sinB=2sinCcosB问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．(1)求角C；(2)若c=2，求2a-b的取值范围．【答案】(1)π(2)-2,4【分析】（1）选①利用三角形内角和定理与两角和的正弦公式求出C=π3，选②利用正弦定理和余弦定理求出C=π3，选（2）利用正弦定理得a=4【详解】（1）若选①：2sin则2sin∴2∴2∵B∈0,π，∴cosC=12，∵C∈0,若选②：a+csin由正弦定理得a+ca-c∴a2∴cosC=∵C∈0,π，∴若选③：S△ABC则12由正弦定理得12∴∴a2∴cosC=∵C∈0,π，∴（2）由正弦定理得asina=4则2a-b=8=23∵A∈0,2π3，A-∴2a-b∈-2,4【变式4-1】1.（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，已知a=1,m=1,-(1)若△ABC的面积为34，求b+c(2)求c-2b的取值范围.【答案】(1)2(2)-2,1【分析】（1）根据垂直向量数量积为0求解可得A=π（2）由正弦定理结合三角恒等变换可得c-2b=-2cos【详解】（1）由m⊥n可得sinA-3cosA=0，故又0<A<π，故A=由三角形面积公式可得S△ABC=1由余弦定理可得a2=b2+（2）由（1）A=π3，故bsinB=故c-2b====cos因为A=π3，故0<C<2π3，故故c-2b的取值范围为-2,1【变式4-1】2.（2023秋·广东深圳·高三深圳市建文外国语学校校考阶段练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且43(1)求cosB(2)求b2【答案】(1)cos(2)25【分析】（1）根据已知等式结合余弦定理可求出cosB（2）由（1）可得b2=a【详解】（1）因为43所以43由余弦定理得b2所以43ac⋅cos（2）由（1）知cosB=35所以b2因为a2+c所以b2a2所以b2a2【变式4-1】3.（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考阶段练习）已知△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，且c=2a-b(1)求角B的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，求a2【答案】(1)B=(2)5【分析】（1）利用余弦定理化简得ac=a2-b2+c【详解】（1）由余弦定理cosC=a2化简得ac=a2-又B∈0,π，所以（2）由（1）A+C=π-B=2π3，因为△ABC由正弦定理可得：a2因为sin=1+12cosπ3-2A-因此sin2A+sin所以a2+c【变式4-1】4.（2023秋·河北保定·高三校联考开学考试）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+bc(1)求角A的大小；(2)若D为BC上一点，∠BAD=∠CAD，AD=3，求4b+c的最小值.【答案】(1)A=(2)27【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理求得正确答案.（2）利用三角形的面积公式列方程，结合基本不等式求得4b+c的最小值.【详解】（1）依题意，a+bc由正弦定理得a+bcc2+b所以A是钝角，所以A=2π（2）∠BAD=∠CAD=1S△ABC=S即bc=3c+b所以4b+c=4b+c当且仅当12bc【变式4-1】5.（2023秋·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，面积为S，已知b2(1)求A的值；(2)若BC边上的中线AD=1，求△ABC【答案】(1)π(2)2【分析】（1）根据三角形面积公式及正弦定理化简b2=23S（2）先根据AD为BC边上的中线得到2AD=AB+AC，即b2+c2【详解】（1）∵△ABC面积为S，∴S=12ab得b2b=3由正弦定理得：sinB=sinA+CsinAcos∴tan∵0<A<π，∴A=π（2）∵BC边上中线AD=1∴2AD∴4AD得b2+c(b+c)2=4+bc，且b2+c0<bc≤43，当且仅当又∵∠C=π3a2∴a=4-2bc∴a+b+c=4-2bc设fxf'设gxg'∴gx在0,又∵g0=-2，∴gx∴fx在0,则fx最小值为f所以当bc=43时，a+b+c的最小值为故△ABC周长最小值为23【变式4-1】6.（2023秋·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考开学考试）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p=2b,2c-a，q=1,cos(1)求B的大小；(2)求aca+c【答案】(1)π(2)3【分析】（1）由平面向量共线和正弦定理进行边化角可得2sin（2）由余弦定理可得a2+c2-【详解】（1）因为p=2b,2c-a，q=所以2c-a=2bcos又asinA=b所以2sin所以2sin因为A∈0,π,sinA≠0,所以cos（2）根据余弦定理a得a2+c因为ac≤(a+c)24,所以(a+c)所以3<a+c≤6(当且仅当a=c=3时取等号)，设t=a+c,则t∈(3,6],所以aca+c设f(t)=t则f(t)在区间(3,6]上单调递增,所以f(t)的最大值为f(6)=32，所以aca+c【变式4-1】7.（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）已知△ABC的内角A、B、C所对边分别为(1)若A=π3，求(2)求cosA+【答案】(1)cos(2)9【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得a2=bc+c2，进而结合余弦定理可得b=2c，故（2）根据和差角公式以及三角函数的性质可得A=2C，即可结合余弦二倍角公式求解.【详解】（1）由正弦定理可知a:b:c=∴∴由余弦定理可得a故c2+bc=代入A=π3，可得b=2c，故所以b2=a故cosC=（2）由（1）知b=c(1+2cos根据正弦定理得sinB=sinC(1+2所以sinA化简可得sinAcos∵0<A<π，0<C<π，则-π∴A-C=C，或A-C+C=π所以A=2C或A=π则cos=-2=-2由A、B、C∈(0,π解得0<C<π3，则所以当sinC=14时cos题型5三角形中线问题1.可以利用向量法2.倍长中线：中线可延长，补成对称图形3.中线可借助补角.【例题5】（2023秋·广西玉林·高三校联考开学考试）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，cosA(1)求A的大小；(2)若a=7，c=3，D为BC的中点，求AD【答案】(1)A=(2)AD=【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出cosA的值，结合角A的取值范围可得出角A（2）利用余弦定理可得出关于b的方程，结合△ABC为锐角三角形可求出b的值，利用平面向量的线性运算可得出AD=12【详解】（1）解：因为cosAcosC所以，2sin因为B∈0,π2，所以sin因为0<A<π2，所以（2）解：在△ABC中，因为a2所以72=b2+3当b=1时，cosC=b2当b=2时，cosC=b2+a因为D为BC的中点，则AD=所以，AD=194，故【变式5-1】1.（2023秋·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足a+c=b3(1)求B；(2)若b=3，且△ABC的面积为3，BD是△ABC的中线，求BD的长.【答案】(1)B=(2)17【分析】（1）根据正弦定理、辅助角公式等知识化简已知条件，从而求得B.（2）利用三角形ABC的面积求得ac，结合余弦定理、向量的模、数量积等知识求得BD的长.【详解】（1）因为a+c=b3由正弦定理可得sinA+即sinA+即sinA+又因为sinA>0，所以3sinB-又因为B∈0,π，所以所以B-π6=（2）因为S△ABC=3，所以1由余弦定理得：a2又BD=所以|BD得BD=172，故BD【变式5-1】2.（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinC-A(1)证明：ba(2)点D是线段AB的中点，且CD=6,AD=2，求【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）根据题意，结合三角恒等变换的公式和正弦定理，化简得到sinB=2（2）根据题意，得到CD=12【详解】（1）证明：因为sinC-A由sinC-A可得sin所以sinCcosA+cosC又由正弦定理，可得b=2a，所以ba（2）解：因为点D是线段AB的中点，所以AD=DB，可得则CD2由余弦定理得c2又由（1）知，b=2a,CD=6,AD=2，则联立方程组a2+2a2+2a⋅2a所以△ABC的周长为a+b+c=2+4+4=10．故△ABC的周长为10．

【变式5-1】3.（2023秋·贵州贵阳·高三统考开学考试）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．①2acosB+b-2c=0；②cosCcos在以上三个条件中选择一个，并作答．(1)求角A；(2)已知△ABC的面积为3，AD是BC边上的中线，求AD的最小值．【答案】(1)条件选择见解析，A=(2)3【分析】（1）选①，利用余弦定理化简可得出cosA的值，结合角A的取值范围可得出角A的值；选②，利用正弦定理结合三角恒等变换可得出sinA的值，结合角A的取值范围可得出角A的值；选③，利用已知等式结合两角和的正切公式、诱导公式可得出tanA的值，结合A（2）利用三角形的面积公式可得出bc的值，利用平面向量的线性运算可得出2AD=AB【详解】（1）解：若选①，因为2acosB+b-2c=0，即则a2+c2-因为A∈0,π2若选②，原式等价于cosCcosB即3sin因为A、B∈0,π2，则0<2B<π，所以，sin2B>0若选③，原式等价于3tan即-所以，-tanB+tanC1-因为A∈0,π2（2）解：因为S△ABC=1因为D为BC的中点，则AD=所以，2AD则4≥2bc+bc=3bc=12，则AD≥当且仅当b=cbc=4时，即当b=c=2因此，AD长的最小值为3【变式5-1】4.（2023秋·广东揭阳·高三校考阶段练习）在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acos(1)求角A；(2)若sinBsinC【答案】(1)2(2)3【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角形内角和以及两角和的正弦公式化简，即可求得答案；（2）由题意利用正弦定理角化边可得bc=23，继而设∠BAD=θ，利用面积关系【详解】（1）由正弦定理得sinA因为B=π-A-C，所以所以sinA即3sin又C∈(0,π),∴sin即2sinA-π所以A-π6=（2）因为sinBsinC设∠BAD=θ，则∠CAD=2因为AD为BC边上的中线，所以S△ABD

即12即3sinθ=2sin即2sinθ=3cosθ即tan∠BAD=题型6三角形角平分线问题角平分线如图，在△ABC中，AD平分BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c技巧1：内角平分线定理：AB技巧2：等面积法S∆A技巧3：边与面积的比值：AB技巧4:角互补：∠ABD+∠ADC=π⟹cos在△ABD中，在△ADC中，【例题6】（2022秋·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知asin(1)求角B；(2)若b=6，D为AC边上一点，BD为角B的平分线，且BD=4，求△ABC的面积.【答案】(1)B=(2)6【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得B.（2）根据三角形的面积公式、余弦定理，先求得ac，进而求得三角形ABC的面积.【详解】（1）依题意，asin由正弦定理得sinA由于A是三角形的内角，所以sinA>0所以sinA+C2=由于0<A+C<π，所以0<所以sinA+C所以cosA+C2=（2）由余弦定理得b2由三角形的面积公式得12整理得c+a=3所以a2ac2解得ac=24，所以三角形ABC的面积为12【变式6-1】1.（2023·河北唐山·模拟预测）在△ABC中，AB=3,AC=2,D为BC边上一点，且AD平分∠BAC．(1)若BC=3，求CD与AD；(2)若∠ADC=60°，设∠BAD=θ，求tanθ【答案】(1)CD=65(2)tan【分析】（1）一方面由角平分线定理S△ABDS△ACD=ABAC=32，另一方面S△ABDS【详解】（1）如下图所示：

因为AD平分∠BAC，所以S△ABDS△ACD=12⋅AB⋅AD⋅因此BDCD=32，又在△ABC中，AB=BC=3,AC=2，可得cosC=在△ACD中，由余弦定理可得AD2=A（2）如下图所示：

因为AD平分∠BAC，∠DAC=∠BAD=θ，又∠ADC=60°，所以B=60°-θ,C=120°-θ，在△ABC中，由正弦定理可得ABsin120°-θ=ACsin展开并整理得332【变式6-1】2.（2023秋·江苏淮安·高三统考开学考试）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，AD=2．(1)若△ABC的面积S=2,∠ADB=π(2)若D为∠BAC的角平分线与边BC的交点，c=2,C=π【答案】(1)a=2(2)6【分析】（1）根据题意可得△ABC的高，再根据三角形面积公式求解即可；（2）由题意设∠BAD=∠DAC=θ，再根据三角形性质可解得θ=π【详解】（1）△ABC的高h=ADsin所以S=12BC⋅h=（2）因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠BAD=∠DAC，设∠BAD=∠DAC=θ，则∠ADB=∠DAC+∠C=θ+π在△ABD中，因为AB=AD=2，所以∠B=∠ADB=θ+π由内角和定理，∠B+∠ADB+∠BAD=2θ+π4在△ABC中，由正弦定理得asin∠BAC【变式6-1】3.（2023秋·浙江绍兴·高三浙江省上虞中学校考开学考试）在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2(1)求角C；(2)若b=2，角C的平分线CD=3，求△ABC【答案】(1)π(2)3【分析】（1）根据余弦定理和正弦定理化简题设可得sinCcosB+（2）结合角平分线利用等面积法可得a=2，进而求解即可.【详解】（1）因为a2所以由余弦定理得2accosB2ab由正弦定理得cosB整理得sinC即sinB+C又sinA≠0，则cos∵C∈(0,所以C=π（2）因为CD为角C的平分线，所以∠ACD=∠BCD=π由S△ABC=S即12a×2×3所以S△ABC

【变式6-1】4.（2023·福建宁德·福建省宁德第一中学校考一模）在①c=12；②a问题：已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，D是AC边的中点，a=BD=4(1)求b的值；(2)若∠BAC的平分线交BC于点E，求线段AE的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)条件选择见解析，b=8(2)24【分析】（1）选择①，利用余弦定理列方程组可求b，选择②，利用正弦定理及两角和差公式求角A，再用余弦定理列方程组可求b；（2）先求角A，再利用三角形面积公式及等面积法即可求出线段AE的长.【详解】（1）选择①：设b=2x，则AD=DC=x，在△ABD中，cos∠ADB=在△BCD中，cos∠CDB=因为∠ADB+∠CDB=π，所以cos即x2-3287选择②：由正弦定理得，sinA因为B∈0,π，所以所以sinA=即sinA=于是tanA=3，因为所以A=π设b=2x，c=y，在△ABD中，cosA=x2在△ABC中，cosA=4x联立（i）（ii）解得，x=4，y=12，即c=12（2）选择①：由条件及小问（1）可知，a=47，c=12则cosA=b2所以A=π由题意得，S△ABE因为AE是∠BAC的平分线，所以12所以AE=24选择②：由小问（1）可知，A=π由题意得，S△ABE因为AE是∠BAC的平分线，所以12所以AE=24题型7三角形高线垂线问题【例题7】（2023秋·山东泰安·高三统考阶段练习）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知A=(1)求sinC(2)若D是BC上一点，AC⊥AD，求△ABD的面积.【答案】(1)10(2)1【分析】（1）利用余弦定理求得a，利用正弦定理求得sinC（2）根据三角形的面积公式求得△ABD的面积.【详解】（1）在△ABC中，由余弦定理a2a2=4+2+2×2×2由正弦定理asinA=（2）因为AC⊥AD，所以∠CAD=90°，C为锐角，由sinC=1010在Rt△ACD中，tanC=因为∠BAD=45°，所以S△ABD【变式7-1】1.（2023秋·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）如图，在△ABC中，AC⋅

(1)求BC的长；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积；(3)求sinB+2C【答案】(1)BC=2(2)3(3)3【分析】（1）根据数量积和三角形的面积公式求出∠BAC，进而求得AB，再由余弦定理即可得解；（2）先由余弦定理求出角C，进而可求得AD，再根据三角形的面积公式即可求解；（3）先由余弦定理求出角B，根据二倍角公式求出sin2C,【详解】（1）易知AC⋅S△ABC=1又0<∠BAC<π，所以∠BAC=又AC⋅ABcos∠BAC=-4，且根据余弦定理可得BC2所以BC=27（2）由（1）知cosC=又∠BAC=2π3，所以C∈0,π3因为AD⊥AC，所以AD=∠BAD=∠BAC-π所以S△ABD即△ABD的面积为3.（3）l利用余弦定理可得cosB=又C∈0,π3由（2）可得sin2C=2sinC故sinB+2C可得sinB+2C【变式7-1】2.（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）如图，在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，∠B=π4，满足

(1)求sinC(2)点D在BC上，AD⊥AC，AD=6【答案】(1)6(2)3【分析】（1）由正余弦定理可求出A，利用两角差的正弦公式求解；（2）在△ABD中，由正弦定理求解即可得解.【详解】（1）由已知及正弦定理得：a+ba-b=cb+c由余弦定理得：cosA=b2+c故C=π所以sinC=（2）由（1）知A=2π3，又AD⊥AC，所以sin∠ADB=在△ABD中，由正弦定理得：ABsin∠ADB=【变式7-1】3.（2023秋·辽宁·高三东北育才学校校联考开学考试）已知H为锐角△ABC的垂心，AD,BE,CF为三角形的三条高线，且满足9HD⋅HE⋅HF=HA⋅HB⋅HC.(1)求cosA(2)求cos∠CAB⋅【答案】(1)1(2)1【分析】（1）先得到∠ABC=∠CHD，得到cos∠ABC=DHCH，同理得到cos（2）结合（1）中结论及cosBcosA+sin【详解】（1）记△ABC的三个内角为A,B,C.因为H为锐角△ABC的垂心，AD,BE,CF为三角形的三条高线，所以∠ABC+∠BCH=∠BCH+∠CHD=90°，故∠ABC=∠CHD，所以cos∠ABC=同理可得cos∠BAC=cos∠BHF=

所以cos∠ABC因为9HD⋅HE⋅HF=HA⋅HB⋅HC，所以cos∠ABC（2）因为cosBcosA+故cosA⋅即cosA设cosAcosB=t，则t故1当cosB-A又△ABC为锐角三角形，故当A=B等号成立，所以当cosA=cosB=当cosA=cosB=因此，cos∠CAB⋅cos∠CBA【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，【变式7-1】4.（2024秋·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2sin2B+2sin2C+2sinBsinC+cos2B+C(1)求角A的大小；(2)若b=2,c=4，求AE的长.【答案】(1)A=(2)2【分析】（1）利用二倍角余弦公式结合正弦定理角化边化简可得b2（2）根据三角形面积关系可求得AD的长，解直角三角形即得答案.【详解】（1）∵2sin∴由正弦定理可得：b2+c由余弦定理可得：cosA=∵A∈0,（2）∵S△ABC=S△ABD

∴1∵b=2,c=4,∴AD=4在Rt△AED中，AD=【变式7-1】5.（2023·全国·高三专题练习）△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且满足asin(1)求A；(2)若D在BC上，a=2，且AD⊥BC，求AD的最大值．【答案】(1)A=(2)3【分析】（1）将题干条件利用诱导公式，正弦定理的边角互化转化成全部都是边的关系，然后用余弦定理求解；（2）利用三角形的面积公式和基本不等式先求出面积的最大值，然后求AD的最大值.【详解】（1）由asin(B+C)=(b-c)sin根据正弦定理可得，a2根据余弦定理可得，cosA=又A∈(0,π)，故（2）由（1）知，b2根据基本不等式，b2+c于是S△ABC=1另一方面，S△ABC故AD的最大值为3

题型8普通多三角形问题高的处理方法：1.等面积法：两种求面积公式如S=2.三角函数法：在Δ【例题8】（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c=2acos(1)求A；(2)若D是BC上的一点，且BD:DC=1:2,AD=2，求a的最小值．【答案】(1)A=(2)6【分析】（1）根据正弦定理化简可得sinC=（2）根据平面向量基本定理可得AD=2AB+AC3，再两边平方可得【详解】（1）∵c=2acos∴∴又0<2A-B<π，则C=2A-B或C+2A-B=若C=2A-B，则A=π若C+2A-B=π，则A=2B，又A≤B综上所述A=π（2）∵2∴b2+4c2①÷②得：36令cb=x，又∴c≤b,∴0<c令f令6x-3=t,x=t+3令gt当t=0时gt=4，当t≠0时由对勾函数性质可得当0<t≤3时，y=t+27t为减函数，故同理当t<0时t+27∴1<g所以当三角形ABC为等边三角形时a最小，最小值为6【变式8-1】1.（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）已知△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边分别为a，b，c，且有：sinA(1)求角B的大小；(2)设AC=9，若点M是边AC上一点，且AM=12MC，AM=MB【答案】(1)B=(2)9【分析】（1）利用内角和定理与两角和的正弦化简等式即得；（2）用向量方法表示BM=23BA+13BC，两边平方并结合余弦定理建立【详解】（1）依题意得，sinA则有2sin故：2sin即：2cos因为C∈0,π，所以sinC≠0又B∈0,π，所以（2）如图，由AM=12MC，所以AM=3，MC=6在△ABC中，由余弦定理得b2即a2+又由于2AM所以BM=两边平方得BM2即9=49c2②－①得3c2=3ac，所以a=c，代入①在△BMC中，BM所以△BMC是以∠MBC为直角的三角形，所以△BMC的面积为12由于AM=12MC故△ABM的面积为93

【变式8-1】2.（2023·河南驻马店·统考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且5cos(1)求sinB(2)若a=5,c=2,D是线段AC上的一点，求BD的最小值．【答案】(1)4(2)8【分析】（1）根据余弦二倍角公式，再结合同角三角函数关系求值即可；（2）先根据余弦定理求边长再应用面积公式求高即得最小值.【详解】（1）因为5cos所以52所以5cos即5cosB+因为0<B<π，所以sin（2）由余弦定理可得b2＝a设△ABC的边AC上的高为h．∵△ABC的面积S=1∴12解得h=8∵B是锐角，∴当BD⊥AC时，垂足在边AC上，即BD的最小值是h=8【变式8-1】3.（2023·河南·统考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3(b-a(1)求A；(2)点D在线段AC上，且AD=13AC，若△ABD的面积为3【答案】(1)A=(2)BD=【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和得正弦公式化简即可得解；（2）先根据三角形的面积公式及已知求出b,c，再利用余弦定理即可得解.【详解】（1）因为3(b-a由正弦定理得3(即3sin即3cos又sinC>0，所以tan又A∈0,π，所以（2）由S△ABD=1又b+c=6，则c=6-b，则b6-b=9，解得b=3，所以则AD=1，所以BD所以BD=7【变式8-1】4.（2024秋·江西·高三校联考阶段练习）在△ABC中，A+B=11C，AB=6(1)若cosA=45(2)若A=2C，D为AB延长线上一点，E为AC边上一点，且AE=3，DE=7，求【答案】(1)BC=(2)4【分析】（1）根据三角形内角和定理，结合两角差的正弦公式、正弦定理进行求解即可；（2）利用余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.【详解】（1）在△ABC中，A+B+C=π，因为A+B=11C，所以C=则sinC=因为cosA=45由正弦定理得BCsinA=（2）由（1）知C=π12，则在△ADE中，由余弦定理得DE代入数据，得7=3+AD2-23AD×所以△BDE的面积为：12【变式8-1】5.（2023秋·湖南株洲·高三株洲二中校考开学考试）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosB(1)求角B的大小；(2)若点D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，∠EDF=π3，b=c=4.设∠BDE=α，△DEF的面积为S，求【答案】(1)π(2)3【分析】（1）首先边角互化，将边转化为三角函数，再根据三角恒等变形，即可求解；（2）首先结合正弦定理，利用三角函数分别表示DE,DF，再表示三角形的面积，根据三角恒等变形，以及三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由cosB-cos整理得2sin因为A∈0,π，所以sinA≠0，所以cosB=1（2）由B=π3及b=c=4可知△ABC为等边三角形，∴a=4，∴D为边BC的中点，又因为∠EDF=π3，∠BDE=α，所以

在△BDE中，∠BED=2π3-α，由正弦定理可得，在△CDF中，∠CFD=α，由正弦定理可得，DFsinC=所以S==33因为π6≤α≤π2，所以2α-π所以S∈3,33题型9四边形问题四边形，一般适当的连接对角线，分解为有公共边俩三角形.如果是有外接圆，则要充分运用对角互补这个隐形条件【例题9】（2023秋·海南省直辖县级单位·高三校考开学考试）如图，已知平面四边形ABCD存在外接圆（即对角互补），且AB=5，BC=2，cos∠ADC=(1)求△ABC的面积；(2)若DC=DA，求△ADC的周长.【答案】(1)3(2)3【分析】（1）根据四边形ABCD存在外接圆的几何性质可得cos∠ABC，利用平方关系可得sin∠ABC，再根据面积公式可得（2）在△ABC中，根据余弦定理求解AC的长，在△ADC中，由余弦定理可得DA,DC，从而得△ADC的周长．【详解】（1）因为平面四边形ABCD存在外接圆，所以∠ABC=π-∠ADC，又因为∠ABC∈0,π，所以所以△ABC的面积S△ABC（2）在△ABC中，由余弦定理得AC解得AC=35在△ADC中，由余弦定理得AC即45=DA2+D所以△ADC的周长为AC+CD+DA=35【变式9-1】1.（2023·山西吕梁·统考二模）如图，在平面四边形ABCD中，∠A=135°，AB=2，∠ABD的平分线交AD于点E，且BE=22

(1)求∠ABE及BD；(2)若∠BCD=60°，求△BCD周长的最大值．【答案】(1)∠ABE=15°，BD=2(2)6+6【分析】（1）在△ABE中，利用正弦定理求出sin∠AEB，从而求出∠AEB的大小，从而求出∠ABE的大小，再根据BE是∠ABD的平分线可得△BDE是等腰三角形，从而可得DE长度，在△BDE中，利用余弦定理即可求BD；（2）设BC=m，CD=n．在△BCD中，利用余弦定理得m，n的关系式，，再结合基本不等式即可求出m＋n的最大值，从而可求△BCD周长的最大值．【详解】（1）在△ABE中，由正弦定理得sin∠AEB=又∠AEB<∠A，则∠AEB=30°，于是∠ABE=180°-135°-30°=15°，∵BE为角平分线，∴∠DBE=15°，∴∠BDE=15°，∴BE=DE=22在△BDE中，根据余弦定理得B∴BD=23（2）设BC=m，CD=n．在△BCD中，由余弦定理得43即有m+n2=16+83∴m+n≤43当且仅当m=n=23∴△BCD周长的最大值为6+63【变式9-1】2.（2022秋·广东惠州·高三统考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=23，∠BAC=30°

(1)若CD=3，求BD(2)若∠CBD=30°，求tan∠BDC【答案】(1)13(2)tan∠BDC=11【分析】（1）由锐角三角函数求出∠ACD、BC，再由余弦定理计算可得；（2）设DC=x0<x<23，∠BDC=α，即可得到AD，再在△ABD、△BCD中利用正弦定理得到cosα=212-x【详解】（1）在Rt△ACD中，cos∠ACD=CD在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAC=所以∠DCB=∠ACB+∠ACD=150°，在△BCD中由余弦定理BD即BD所以BD=13（2）由已知可得∠ABC=60°，又∠CBD=30°，所以∠ABD=30°，AB=BC设DC=x0<x<23，∠BDC=α，则AD=在△ABD中由正弦定理ADsin∠ABD=ABsin在△BCD中由正弦定理DCsin∠CBD=BCsin又sin2α+cos2α=1，所以1由tanα=当x2=9-当x2=9+所以tan∠BDC=11+【变式9-1】3.（2023秋·湖南永州·高三校联考开学考试）如图，△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，△ABC外一点D（D与△ABC在同一平面内）满足∠BAC=∠DAC，AB=CD=2，sin∠ACB+

(1)求B；(2)若△ABC的面积为2，求线段AD的长.【答案】(1)3π(2)4【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可化简得sin∠ABC-（2）根据面积公式可得a=22【详解】（1）因为sin∠ACB+cos∠ACB=即sin∠ABC=2即sin∠ABC又∠ACB∈0,π，sin∠ACB>0，故sin所以2sin∠ABC-π因为∠ABC∈0,π，∠ABC-π4∈（2）因为△ABC的面积S=2，所以S=2=1即22a=2，由余弦定理得AC=c所以cos∠CAB=因为AC平分∠BAD，所以cos∠CAD=AD

【变式9-1】4.（2023秋·河北·高三校联考阶段练习）如图，△BCD为等腰三角形，BC=3，点A，E在△BCD外，且DE=4，∠BCD=∠CDE=∠BAE=

(1)求BE的长度；(2)求AB+AE的最大值．【答案】(1)BE=5(2)10【分析】（1）易得∠BDE=π2，由余弦定理求BD，在Rt△BDE（2）在△BAE中由余弦定理，结合基本不等式可得【详解】（1）在△BCD中，BC=CD=3，由余弦定理得：B∴BD=3，又BC=CD，∴∠CBD=∠CDB=π6，又∴∠BDE=2π在Rt△BDE中，BE=（2）在△BAE中，∠BAE=2π3，由余弦定理得BE2=A故AB+AE2-25=AB⋅AE≤AB+AE∴AB+AE≤1033∴BA+AE的最大值为103题型10面积最值取值范围问题【例题10】（2023秋·湖南益阳·高三统考阶段练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=4，且a-bsin(1)求cosC(2)求△ABC面积的最大值.【答案】(1)1(2)4【分析】（1）利用边化角，并结合余弦定理即可求解.（2）由三角形面积公式S=12ab【详解】（1）因为a-bsinA+b+csin有a-ba+b+cb=所以由余弦定理可得cosC=（2）由（1）可知a2+b2-利用基本不等式得16=a2+b2又由（1）可知cosC=12综上所述：S=12absinC≤【变式10-1】1.（2023秋·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）△ABC的内角A、B、C的对边分别为(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.【答案】(1)B=π(2)(3【分析】（1）根据给定条件，利用正余弦定理边化角结合和角的正弦求解作答.（2）由正弦定理用角C的三角函数表示出三角形面积，再借助三角函数性质求解作答.【详解】（1）在△ABC中，由bcosC=2a-c即2sinAcosB=sin(B+C)=sin所以B=π（2）在锐角△ABC中，B=π3，则A=2由正弦定理得asinA而0<C<π20<2π3-C<π2于是△ABC面积S△ABC所以△ABC面积的取值范围是(3【变式10-1】2.（2023秋·河南焦作·高三统考开学考试）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD=90°，D=60°，AC=4，CD=3.

(1)求cos∠CAD(2)若AB=5【答案】(1)37(2)BC=【分析】（1）利用正弦定理及同角三角函数基本关系即可求解；（2）利用诱导公式求出cos∠BAC【详解】（1）在△ACD中，由正弦定理得CDsin∠CAD=所以sin∠CAD=338.由题设知（2）由题设及（1）知，cos∠BAC=在△ABC中，由余弦定理得BC所以BC=7【变式10-1】3.（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b．c．已知asin(1)求A；(2)若a=3，求△ABC【答案】(1)A=(2)6+3【分析】（1）根据正弦定理，结合余弦函数的单调性进行求解即可；（2）利用余弦定理，结合基本不等式、三角形面积公式进行求解即可.【详解】（1）由正弦定理得sinA因为0<B<π2，所以故sinA=-因为0<A<π2，所以π2函数y=cosx在π2解得A=π（2）由余弦定理a2得3=b即bc≤32-3故△ABC面积的最大值为12【变式10-1】4.（2023秋·河北邯郸·高三统考阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=2asin(1)求sin2A(2)若a=2，求△ABC面积的最大值.【答案】(1)3(2)2+【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，化简整理可求得sinA-cosA=（2）利用余弦定理表示出b2【详解】（1）因为c=2asinC-2ccos得sinC=2因为C∈0,π,∴sin所以(sinA-cos即sin2A=（2）由（1）知sinA-cosA=所以A∈0,π2，可得sin有sinA-cosA=得S△ABC由余弦定理得，cosA=b2得b2+c即bc≤8得S△ABC≤1题型11与三角函数结合【例题11】（2023春·海南海口·高三统考期中）已知函数fx=2sinωx+φω>0,φ<(1)求fx(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=π3，a=fA，且△ABC的面积为3【答案】(1)f(x)=2(2)1+【分析】（1）先由fx图象的相邻两条对称轴之间距离求出ω,再根据正弦函数的图象的对称中心可求出φ，求出f（2）根据a=fA求出a=1，再由面积为312求出bc=1【详解】（1）因为fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以T2所以ω=2πTfx的图象的一个对称中心为5π12,0,2×5π12因为|φ|<π2，所以所以f(x)=2sin（2）由（1）知，f(x)=2sin因为A=π3，所以因为△ABC的面积为312,所以S=因为a2=b所以1=(b+c)2-1所以a+b+c=1+2，即△ABC【变式11-1】1.（2023秋·四川眉山·高三校考开学考试）已知向量m=cosx,sinx，(1)求函数fx(2)设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，若fA=2，b+c=22，△ABC的面积为1【答案】(1)kπ-(2)a=【分析】（1）根据向量数量积公式及三角恒等变换得到fx（2）在（1）基础上，求出A=π6，结合三角形面积公式求出【详解】（1）∵m=cos∴f==令2kπ-π解得kπ-π∴fx的单调递增区间是kπ（2）由（1）知：f∵fA∴sin2A+∵0<A<π∴0<2A<2π∴π∴2A+π∴A=π∵△ABC的面积为12∴12bc∵b+c=22∴由余弦定理得a=∵a>0，∴a=4-2综上所述，结论是：a=3【变式11-1】2.（2023秋·广东佛山·高三校考阶段练习）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，fx=4cos(1)求角A；(2)若点D在BC上，满足BC=3DC，且AD=7，AB=【答案】(1)A=(2)C=【分析】（1）利用三角恒等变换可得f(x)=2sin2x-π（2）由向量加减、数乘的几何意义得AD=13AB+23【详解】（1）由f=23由题意及三角函数的性质知：2A-π6=π2∴A=π

（2）如图所示，易得AD=∴AD2由余弦定理得：a2=b显然a2+c2=【变式11-1】3.（2024秋·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）已知函数fx=2sinωx+φω>0,(1)求函数fx(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若afC2+π6+c=2b，【答案】(1)kπ-π3(2)13【分析】（1）先根据题意求出函数的解析式，再由三角函数的性质即可得出结论；（2）根据正余弦定理、诱导公式以及面积公式运算即可得出结论；【详解】（1）由题意知，2πω=又fπ则π3+φ=2kπ+π2，k∈Z，所以φ=2k则fx由三角函数的性质可得：2x+π6∈解得：kπ-π3≤x≤k∴fx的单调递增区间为kπ-（2）由afC2+π6结合正弦定理得，2sin即sinC2cosA-1=0，又sin又A∈0,π，所以A=π3，则由余弦定理有，a=b【变式11-1】4.（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知fx(1)求fx(2)在△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c．若fA=3【答案】(1)k(2)2,4【分析】（1）先根据降幂公式及辅助角公式化一，再根据正弦函数的单调性即可得解；（2）先求出角A，再根据正弦定理结合三角函数的性质即可得解.【详解】（1）f=1-令2kπ+π所以fx的增区间为k（2）由fA=3由A∈0,π，得所以2A+π6=因为asin所以b=4则b+2c=4cos因为B∈0,π3所以b+2c∈2,4【变式11-1】5．（2023秋·江西·高三校联考开学考试）已知函数fx=2sinωx+φω>0,0<φ<π在一个周期内的图象如图所示，将函数

(1)求gx(2)在△ABC中，若gA=-3，AB=2，AC=5【答案】(1)g(2)BC=【分析】（1）由fx的图象可得T2=12×2πω=5π12（2）由gA=-3可求出角A【详解】（1）由图象可知T2=1又因为最高点是-π12,2，所以-即φ=2π3又因为0<φ<π，所以k=0，φ=所以fx将函数fx的图象向左平移π3个单位长度得到再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数gx（2）因为gA=-2sin又A∈0,π，所以所以A+π3=由余弦定理，得BC所以BC=19题型12三角形个数问题【例题12】（2022秋·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，三边a，b，c与面积S满足关系式：43S-b2=c2-a【答案】选①,有两个解；若选②，有一个解；若选③，无解.【分析】由43S-b2=c2【详解】解：因为43S-b所以12所以3sin所以A=30°，即有sinA=若选①：b=23因为bsin3<2<2即bsin若选②：b=4，因为bsin即bsin若选③：b=32因为bsin即a<bsin【变式12-1】1.（2022·河南开封·统考三模）已知△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，AB=4.(1)求AC；(2)若D为BC边上一点，给出三种数值方案：①AD=3；②AD=15；③AD=21.判断上述三种方案所对应的△ABD的个数（不需说明理由），并求三种方案中，当△ABD【答案】(1)2(2)答案见解析【分析】（1）根据正弦定理求解即可；（2）根据所给AD的长与AO,AB的关系确定解得个数，有解时根据余弦定理求解即可.【详解】（1）由正弦定理得：ABsinC=ACsin（2）过A作BC的垂线AO，垂足为O，则AO=4sin①AD=3<23，此时满足条件的△ABD②AD=15，因为26>4，2③AD=21，因为4<21<2在③的情况下，由余弦定理得：AD即21=16+BD2-8BD×【变式12-1】2.（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosC+ccosA=3(1)求a；(2)请从下面的三个条件中任选一个，探究满足条件的△ABC的个数，并说明理由.条件：①S=312a2+注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)a=(2)选①，满足条件的△ABC的个数为2；选②，满足条件的△ABC的个数为1；选③，不存在满足条件的三角形；理由见解析【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，由此求得b,a.（2）选①，利用三角形的面积公式化简已知条件，求得tanB，进而求得B，利用正弦定理求得A有两个解，从而得出结论.选②利用正弦定理化简已知条件，求得B，利用正弦定理求得A有一个解，从而得出结论.选③，结合三角恒等变换求得B，利用正弦定理求得sin【详解】（1）因为acosC+ccos解得b=3，所以a=（2）选择①，因为S=312a所以12acsin又0<B<π，故B=由asinA=因为a>b，所以A=π4或A=3选择②，因为bcosA+22a=c化简得22因为sinA≠0，所以cosB=2由asinA=bsinB，得选择③，因为bsinA=acos又sinA≠0，所以sin所以sinB=32又0<B<π，故B=由asinA=【变式12-1】3.（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为△ABC的内心，记△OBC，△OAC，△OAB的面积分别为S1，S2，S3，已知(1)在①acosC+ccosA=1；②4sinBsinA+(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围.【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）由题意，根据△ABC的内切圆的性质可得a2+c2-b2=ac，选①，根据余弦定理可得a2+4-1=2a，方程无解即△ABC不存在；选②，根据正弦定理可得a=2b，由a2+c2-（2）由三角形的面积可得S=32BC【详解】（1）设△ABC的内切圆半径为r，因为S1所以(12ar)所以cosB=a2+c选择①，因为acosC+ccos因为a2+c2-整理得a2方程无实数解，所以△ABC不存在．选择②，因为4sinBsin因为sinA≠0，所以sinA-2sin因为a2+c2-整理得3b2-4b+4=0选择③，由1-2cosAsin所以sinA+sinB=2sin(A+B)因为以a2+c所以a2+4-b2=2a所以△ABC存在且唯一，△ABC的周长为a+b+c=6．（2）由（1）知，B=π3，△ABC面积因为ABsinC==因为△ABC为锐角三角形，所以0<C<π2，0<2所以tanC>33，所以0<1tan所以BC的取值范围为(1,4)，而△ABC面积S=3题型13证明问题【例题13】（2024秋·福建漳州·高三统考开学考试）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin(1)求A；(2)若D为边BC上一点，且BD=13BC，AD=【答案】(1)A=(2)证明见解析【分析】（1）结合正弦定理、诱导公式及二倍角公式化简求解即可；（2）解法一：根据向量运算可得AD=23解法二：直接利用余弦定理结合cos∠ADB+【详解】（1）因为asin所以sinA因为sinB>0，所以sinA=cos又cosA2≠0又0<A2<π2（2）解法一：因为AD=所以AD2即b2+2bc-8c2=0因此a2又b=2c，所以b2所以B=90°，所以△ABC为直角三角形.解法二：因为∠ADB=π-∠ADC，所以所以AD又BD=13BC=所以43即6c又a2所以6c即8c2-2bc-所以b=2c，所以a2因此b2所以B=90°，所以△ABC为直角三角形.【变式13-1】1.（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos(1)证明：b=acos(2)若cosB=34，c=2【答案】(1)证明见解析(2)214+6【分析】（1）由正弦定理及两角和正弦公式化简，再利用正弦定理化简即可证明；（2）结合（1）的结论，利用余弦定理求出a，利用同角三角函数关系求出sinB=【详解】（1）因为acosB=ccos所以sinA由asinA=（2）由（1）及cosB=34知b=由余弦定理b2=a2+解得a=24+827或a=24-82当a=24+827当a=24-827【变式13-1】2.（2023秋·河南周口·高三校联考阶段练习）在△ABC中，∠BAC=60°，△ABC的面积为103，D为BC的中点，DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F

(1)求△DEF的面积；(2)若AD=1292，求【答案】(1)15(2)sin【分析】（1）由题意，可得∠FDE=120°，∴S△DEF=12DE⋅DF⋅sin120o=34DE⋅DF（2）延长AD到点Q，使AD=DQ，连接CQ，在△AQC中，利用余弦定理可得BC，在△ABC中由正弦定理可求得结果.【详解】（1）在四边形AFDE中，∠BAC=60°，∠DFA=∠DEA=90故∠FDE=120°，故S△DEF作BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，

又D为BC的中点，则DE=1DF=1故S△DEF（2）设△ABC的三条边BC，AC，AB分别为a，b，c，由S△ABC=1延长AD到点Q，使AD=DQ，连接CQ，则AQ=129，∠ABC=∠BCQ则在△AQC中，∠ACQ=120o，故由b2+c2+bc=129与bc=40b2+c由正弦定理得b+csin则sin∠ABC+【变式13-1】3.（2023秋·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, (1)证明：cosC=(2)若b2=ac，求【答案】(1)证明见解析(2)5【分析】（1）由两角和与差的正弦公式化简，结合正弦定理可证明结论；

（2）由已知条件结合余弦定理求出ca的值，再由余弦定理求cos【详解】（1）△ABC中sinA=由2sinC=sin所以2sin所以2sinC=2sin结合正弦定理，所以cosC=（2）由（1）知：cosC=所以2ac=ac+a2-c2解得ca=5所以cosB=【变式13-1】4.（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3acosB=2c，(1)证明：tanA=2(2)若a2+b【答案】(1)证明见解析(2)1【分析】（1）由正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式求解；（2）由余弦定理求出cosC，进而得tanC=-3，即tanA+B=3，由两角和的正切公式结合tanA=2tanB解得tanB，进而得【详解】（1）△ABC中，3acosB=2c，由正弦定理得∵A+B+C=π，∴C=∴3sin∴sinA∴tanA=2（2）∵a2∴由余弦定理得，cosC=∵C∈0,π，cosC<0，∴C∈∴tanC=-3，即tanπ-∴tanA+tanB∴3tanB1-2又C∈π2,π，从而A,B∈0,∴tanA=1，又A∈0,π由正弦定理得asinA=csin由B∈0,π2，tanB=sin∴S△ABC【变式13-1】5.（2023·四川成都·校联考模拟预测）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsin(1)求证：sinB，sinA，(2)求tanA【答案】(1)证明见解析(2)3．【分析】（1）由三角恒等变换化简可得tanA2=sinA1+cos（2）由（1）中结论可得a=b+c【详解】（1）证明：因为tanA2=所以2bsin即2bsin由正弦定理，得2bc1+又由余弦定理，得2bc1+即b2则b+c=2a，即sinB+所以sinB，sinA，（2）由sinB+sinC=2又cosA=b2+c因为0<A<π，所以0<A≤则tanA的最大值为3【变式13-1】6.（2023秋·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）如图，在△ABC内任取一点P，直线AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB相交于点D、E、F．

(1)试证明：BD(2)若P为重心，AD=5,BE=4,CF=3，求△ABC的面积．【答案】(1)证明见解析(2)8【分析】（1）利用正弦定理及角的互补关系即可证结论；（2）由题意AD,BE,CF为中线，可得AP=103,PD=53,BP=83,PE=43【详解】（1）△ABD中ABsin∠ADB=△ACD中ACsin∠ADC=又∠ADB+∠ADC=π,则所以BDDC（2）由P是重心，则AD,BE,CF为中线，又AD=5,BE=4,CF=3，所以AP=10而PC+PB=2所以4+323cos∠BPC+649=4×同理PA+PB=2PF，PC+所以sin∠APB=35则S△ABC题型14实际应用题【例题14】（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）天门山，古称嵩梁山，位于湖南省张家界市永定区大庸中路11号，属武陵山脉向东进入洞庭湖平原的余脉.为了测量天门山的海拔，某人站在海拔600米的点A处，他让无人机从点A起飞，垂直向上飞行400米到达点B处，测得天门山的最高点C处的仰角为45°，他遥控无人机从点B处移动到点D处（BD平行于地平面），已知B与D之间的距离为518米，从点D处测得天门山的最高点C处的仰角为α（tanα=2

(1)设平面β过BD且平行于地平面，点C到平面β的距离为h米，求BC与CD的长（用h表示）；(2)已知cos∠BCD=【答案】(1)BC=2h米，(2)1518米【分析】（1）过C作CO⊥β，垂足为O，再根据直角三角形中三边关系表示即可；（2）在△BCD中，由余弦定理结合（1）中数据求解可得h=518，进而可得山高.【详解】（1）如图，过C作CO⊥β，垂足为O，则CO=h米，∠