常微分方程练习题与答案(复习题)_第1页
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#/6x<x<Pa<x<x下面只就区间0上讨论，对于0的讨论完全—样。其中M=max{x2|屮(x)I+Ix1}x日a,P]因为w(x)-%(x)|<J(g其中M=max{x2|屮(x)I+Ix1}x日a,P]x0所J屮(x)-91(x)|<I(g2|屮(g)-9o(g)I)dg<lIM(g-xo)dgxox0ML(x-x)2,0其中L=其中L=max{x2},设对正整数nx日a,p]MLn-1有N(x)-9n-1(x)|<-nr(x-xo)n'则有xI屮(x)-0(x)I<I(g2nx0I屮(g)—0(g)l)dg<LfML^(gn-1n!x0-x)“dg0MLn=(x-x)n+1,(n+1)!o故由归纳法，对一切正整数k，有MLk-1MLk-11屮(x)Y-i(x)I<占x-xo)k<有(p-a"k-g—o而上不等式的右边是收敛的正项级数的通项，故当时，它因而函数序列｛(Pn(x)｝在x0<x<P上—致收敛于"(x).根据极限的唯—性，即得屮(x)三9(x)x<x<P,0设都是区间上的连续函数，且是二阶线性方程的一个基本解组.试证明：和都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在—点同时为零);和没有共同的零点;和没有共同的零点.证明：和的伏朗斯基行列式为因和是基本解组,故.若存在,使得,则由行列式性质可得,矛盾.即最多只能有简单零点.同理对有同样的性质，故(i)得证.若存在，使得，则由行列式性质可得，矛盾.即与无共同零点.故(ii)得证.若存在,使得,则同样由行列式性质可得,矛盾.即与无共同零点.故(iii)得证.申(t)——=ax9(t)=耳申(t)=expA(t-1o)n试证：如果是dt满足初始条件o的解，那么o①(t)=expAtdX=AX9(t)C0仃丿=exPAt-C.证明：因为是dt的基本解矩阵，是其解，所以存在常向量使得：t=t令t=t令o，则：耳=expAtCo所以C=(expAt)-5o0(t)=ex

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