求展开式系数的六种常见类型

3/5展开式系数的六种常见类型求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。一、型例1．的展开式中项的系数是（）（A）840（B）－840（C）210（D）－210解析：在通项公式中令=4，即得的展开式中项的系数为=840,故选A。例2．展开式中的系数为。解析：通项公式，由题意得，则，故所求的系数为。评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定的值。二、型例3．的展开式中整理后的常数项等于.解析；的通项公式为,令，则,这时得的展开式中的常数项为=－32,的通项公式为,令，则,这时得的展开式中的常数项为=70，故的展开式中常数项等于。例4．在的展开式中，含的项的系数是（）(A)(B)5(C)(D)10解析：中的系数,中的系数为,故的展开式中的系数为,故选D。评注：求型如的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。三、型例5．的展开式中项的系数是。解析：的展开式中、的系数分别为和，故的展开式中项的系数为+=1008。例6．的展开式中的系数是（）（A）（B）（C）（D）略解：的展开式中、的系数分别为和,故展开式中的系数为,故选B。评注：求型如的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数。四、型例7．的展开式中整理后的常数项为.解法一：=，通项公式,的通项公式为,令，则，可得或或。当时，得展开式中项为；当时,，得展开式中项为；当时，得展开式中项为。综上，的展开式中整理后的常数项为。解法二：===，对于二项式中，，要得到常数项需，即。所以，常数项为。解法三：是5个三项式相乘。常数项的产生有三种情况：在5个相乘的三项式中，从其中一个取，从另外4个三项式中选一个取，从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得；从其中两个取，从另外3个三项式中选两个取，从剩余的1个三项式中取常数项相乘，可得；从5个相乘的三项式中取常数项相乘，可得=。综上，的展开式中整理后的常数项为。评注：解法一、解法二的共同特点是：利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决。解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项。五、型例8．在的展开式中，项的系数是。（用数字作答）解析：由题意得项的系数为。例9．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()(A)74(B)121(C)－74(D)－121解析：(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8=中的系数为，中的系数为－,－126+5=－121,故选D。评注：例8的解法是先求出各展开式中项的系数，然后再相加；例9则从整体出发，把原式看作首相为(1－x)，公比为(1－x)的等比数列的前4项和，用等比数列求和公式减少项数，简化了运算。例8和例9的解答方法是求的展开式中某特定项系数的两种常规方法。六、求展开式中若干项系数的和或差例10．若，则。(用数字作答)解析：在中，令，则，令，则故=2003+。例11．，则的值为（）(A)1(B)－1(C)0(D)2解析：在中，令，可得，令，可得所以，====1,故选A。评注：求展开式中若干项系数的和或差常采用“赋值法”。赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问