2023新教材高考数学二轮专题复习强化训练7三角函数与解三角形-大题备考

强化训练7三角函数与解三角形——大题备考第二次作业1．[2022·山东临沂二模]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋eq\f(π,4))(A>0，0<ω<1)，f(eq\f(π,4))＝f(eq\f(π,2))，且f(x)在(0，eq\f(3π,4))上的最大值为eq\r(2).(1)求f(x)的解析式；(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩小为原来的eq\f(1,3)，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若g(eq\f(α,2))＝eq\f(1,2)，求sin2α的值．2．[2022·辽宁锦州一模]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点M在边AC上，BM平分∠ABC，△ABM的面积是△BCM面积的2倍．(1)求eq\f(sinC,sinA)；(2)若cosB＝eq\f(1,4)，b＝2，求△ABC的面积．3.[2022·河北石家庄二模]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝2，csineq\f(B＋C,2)＝asinC(1)求角A的大小；(2)请在①sinB＝eq\f(\r(21),7)②a＋c＝7两个条件任选一个，求△ABC的面积．注：如果分别选择多个条件进行解答，按第一个解答过程计分．4．[2022·山东枣庄一模]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsineq\f(B＋C,2)＝asinB．求：(1)角A；(2)eq\f(a－c,b)的取值范围．强化训练7三角函数与解三角形1．解析：（1）因为0<ω<1，所以周期T＝eq\f(2π,ω)>2π，又f（x）在（0，eq\f(3π,4)）上的最大值为eq\r(2)，且f（eq\f(π,4)）＝f（eq\f(π,2)），所以当x＝eq\f(1,2)（eq\f(π,4)＋eq\f(π,2)）＝eq\f(3π,8)时，f（x）取得最大值eq\r(2)，所以A＝eq\r(2)，且f（eq\f(3π,8)）＝eq\r(2)，即eq\r(2)sin（eq\f(3π,8)ω＋eq\f(π,4)）＝eq\r(2)，∵0<ω<1，∴eq\f(π,4)<eq\f(3π,8)ω＋eq\f(π,4)<eq\f(5π,8)，故eq\f(3π,8)ω＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，解得ω＝eq\f(2,3)，故f（x）＝eq\r(2)sin（eq\f(2,3)x＋eq\f(π,4)）；（2）g（x）＝f（3x）＝eq\r(2)sin（2x＋eq\f(π,4)），又g（eq\f(α,2)）＝eq\r(2)sin（α＋eq\f(π,4)）＝eq\f(1,2)，则sin（α＋eq\f(π,4)）＝eq\f(1,2\r(2))，sin2α＝－cos（2α＋eq\f(π,2)）＝2sin2（α＋eq\f(π,4)）－1＝－eq\f(3,4).2．解析：（1）S△ABM＝eq\f(1,2)AB·BM·sin∠ABM，S△BCM＝eq\f(1,2)BC·BM·sin∠MBC，因为S△ABM＝2S△BCM，∠ABM＝∠MBC，所以AB＝2BC，由正弦定理可得eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(AB,BC)＝2.（2）由（1）知c＝2a，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，又cosB＝eq\f(1,4)，b＝2，所以4＝a2＋4a2－4a2×eq\f(1,4)，所以a＝1，c＝2，因为cosB＝eq\f(1,4)，且0<B<π，可得sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(\r(15),4)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×1×2×eq\f(\r(15),4)＝eq\f(\r(15),4).3．解析：（1）由csineq\f(B＋C,2)＝asinC可得：sinCsineq\f(B＋C,2)＝sinAsinC，即sinCsineq\f(π－A,2)＝sinAsinC，即sinCcoseq\f(A,2)＝2sineq\f(A,2)coseq\f(A,2)sinC，因为0<C<π，0<A<π，所以sinC>0，0<eq\f(A,2)<eq\f(π,2)，coseq\f(A,2)>0，所以sineq\f(A,2)＝eq\f(1,2)，即eq\f(A,2)＝eq\f(π,6)，A＝eq\f(π,3).（2）选①：sinB＝eq\f(\r(21),7)，由正弦定理可得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(a,\f(\r(3),2))＝eq\f(2,\f(\r(21),7))，解得a＝eq\r(7)，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即7＝4＋c2－2c，解得c＝3（负值舍），所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).选②：a＋c＝7，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即（7－c）2＝4＋c2－2c，解得c＝eq\f(15,4)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×eq\f(15,4)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),8).4．解析：（1）∵bsineq\f(B＋C,2)＝asinB，∴sinBcoseq\f(A,2)＝sinAsinB，∵B∈（0，π），∴sinB≠0，∴coseq\f(A,2)＝2sineq\f(A,2)coseq\f(A,2)，∵A∈（0，π），∴coseq\f(A,2)≠0，∴sineq\f(A,2)＝eq\f(1,2)，∵0<eq\f(A,2)<eq\f(π,2)，∴eq\f(A,2)＝eq\f(π,6)，∴A＝eq\f(π,3).（2）由正弦定理，eq\f(a－c,b)＝eq\f(sinA－sinC,sinB)＝eq\f(sin\f(π,3)－sin（\f(2π,3)－B）,sinB)＝eq\f(\f(\r(3),2)－\f(\r(3),2)cosB－\f(1,2)sinB,sinB)＝eq\f(\r(3),2)·eq\f(1－cosB,sinB)－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)·eq\f(1－（1－2sin2\f(B,2)）,2sin\f(B,2)cos\f(B,2))－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)taneq\f(B,2)－eq\f(1,2).因为0<B<eq\f(2π,