方差分析专题

方差分析专题方差分析专题方差分析专题方差分析专题单要素试验的方差分析（一）单要素试验在科学试验和生产实践中，影响一事物的要素常常是很多的。比方，在化工生产中，有原料成分、原料剂量、催化剂、反响温度、压力、溶液浓度、反响时间、机器设备及操作人员的水相同要素。每一要素的改变都有可能影响产品的数目和质量。有些要素影响较大，有些较小。为了使生产过程得以稳固，保证优良、高产，就有必需找出对产质量量有明显影响的那些要素。为此，我们需进行试验。方差分析就是依据试验的结果进行分析，鉴别各个有关要素对试验结果影响的有效方法。在试验中，我们将要观察的指标称为试验指标。影响试验指标的条件称为要素。要素可分为两类，一类是人们可以控制的（可控要素）；一类是人们不可以控制的。比方，反响温度、原料剂量、溶液浓度等是可以控制的，而丈量偏差、气象条件等一般是难以控制的。以下我们所说的要素都是指可控要素。要素所处的状态，称为该要素的水平（见下述各例）。假如在一项试验中只有一个要素在改变称为单要素试验，假如多于一个要素在改变称为多因素试验。例1设有三台机器，用来生产规格相同的铝合金薄板。取样，丈量薄板的厚度精确至千分之一厘米。得结果如表9.1所示。表9.1铝合金板的厚度机器Ⅰ机器Ⅱ机器Ⅲ0.2360.2570.2580.2380.2530.2640.2480.2550.2590.2450.2540.2670.2430.2610.262这里，试验的指标是薄板的厚度。机器为要素，不一样的三台机器就是这个要素的三个不一样的水平。我们假设除机器这一要素外，资料的规格、操作人员的水相同其余条件都相同。这是单要素试验。试验的目的是为了观察各台机器所生产的薄板的厚度有无明显的差异。即观察机器这一要素对厚度有无明显的影响。例2下边列出了随机采纳的、用于计算器的四各样类的电路的响应时间（以毫秒计）。表9.2电路的响应时间种类Ⅰ种类Ⅱ种类Ⅲ种类Ⅳ192016182221152220331819182726154017这里，试验的指标是电路的响应时间。电路种类为要素，这一要素有要素试验。试验的目的是为了观察各样种类电路的响应时间有无明显差异。这一要素对响应时间有无明显的影响。

4个水平。这是一个单即观察电路种类例3一火箭使用了四种燃料，三种推动器作射程试验。每种燃料与每种推动器的组合各发射火箭两次，得结果以下（射程以海里计）。表9.3火箭的射程推动器（B）B1B2B3A158.256.265.352.641.260.8A249.154.151.642.850.548.4燃料（A）60.170.939.2A358.373.240.7A475.858.248.771.55141.4这里，试验的指标是射程，推动器和燃料是要素，它们分别有3个、4个水平。这是一个双要素的试验。试验的目的在于观察在各样要素的各个水平下射程有无明显的差异，即观察推进器和燃料这两个要素对射程能否有明显的差异。本节限于谈论单要素试验，我们就例1来谈论。在例1中，我们在要素的每一水平下进行了独立实验，其结果是一个随机变量。表中数据可看作来自三个不一样整体（每个水平对应一个整体）的样本值。将各个整体的均值挨次记为1，2，3。按题意需要检验假设H0:123H1:1,2,3不全相等此刻从而假设各整体均为正态变量，且各整体的方差相等，那么这是一个检验同方差的多个正态整体均值能否相等的问题。下边所要谈论的方差分析法，就是解决这种问题的一种统计方法。此刻开始谈论单要素试验的方差分析。设要素有s个水平A1,A2,,As，在水平Aj（j1,2,,s）下，进行nj（nj2）次独立实验，获取以下表的结果。表9.4水平A1A2As观察值x11x12x1sx21x22x2sxn11xn22xnss样本均值x1x2xs整体均值12s我们假设：各个水平Ajj1,2,,s）下的样本x1j,x2j,,xnjj来自拥有相同方差2（，均值分别为j（j1,2,,s）的正态整体N(j,2)，j与2未知。且设不一样水平Aj下的样本之间互相独立。因为xij~N(j,2)，即有xijj~N(0,2)，故xijj可看作是随机偏差。记xijjij，则xij可写成xijjij,i1,2,,nj;j1,2,,s,ij~N(0,2),各ij独立,（1.1）此中j与2均为未知参数。（1.1）式称为单要素试验方差分析的数学模型。这是本节的研究对象。方差分析的任务是对于模型（1.1），10检验s个整体N(1,2),N(2,2),,N(s,2)的均值能否相等，即检验假设H0:12sH1:1,2,,s不全相等。（1.2）20作出未知参数1,2,,s,2的预计。为了将问题（1.2）写成便于谈论的形式，我们将1,2,,1ss的加权均匀值njjnj1记为，即1snjj（1.3）nj1s此中nnj。称为总均匀。再引入j1jj,j1,2,,s（1.4）此时有n11n22nss0，j表示水平Aj下的整体均匀值与总均匀的差异，习惯大将j称为水平Aj的效应。利用这些记号，模型（1.1）可改写成xijjij,sj1njj0,i1,2,,nj;j1,2,,s,(1.1)ij~N(0,2),各ij独立,而假设（1.2）等价于假设H0:12s0H1:1,2,,s不全为零。(1.2)这是因为当且仅当12s时j，即j0，（j1,2,,s）。（二）平方和的分解下边我们从平方和的分解着手，导出假设检验(1.2)的检验统计量。引入总平方和snjx)2STj1i1(xij（1.5）此中x1snjxij（1.6）ni1j1是数据的总均匀。ST能反响所有试验数据之间的差异，所以ST又称为总变差。又记水平Aj下的样本均匀值为xj，即1njxjxij（1.7）nji1我们将ST写成snjx)2snj2ST(xij(xijxj)(xjx)j1i1j1i1snjxj)2snjx)2snj(xij(xj2(xijxj)(xjx)j1i1j1i1j1i1注意到上式第三项（即交织项）snjsnj2(xijxj)(xjx)2(xjx)(xijxj)0j1i1j1i1于是我们就将ST分解成为STSESA，（1.8）snjxj)2此中SE(xij,（1.9）j1i1snjss22SA(xjx)2nj(xjx)2nxnjxj（1.10）j1i1j1j1上述SE的各项(xijxj)2表示在水平Aj下，样本观察值与样本均值的差异，这是由随机偏差所引起的。SE叫做偏差平方和。SA的各项(xjx)2表示Aj水平下的样本均匀值与数据总均匀的差异，这是由水平Aj引起的。SA叫做要素A的效应平方和。（1.8）式就是我们所需要的平方和分解式。（三）SE，SA的统计特征为了引出(1.2)的检验统计量，我们挨次来谈论SE，SA的一些统计特征。（1）SE的统计特征将SE写成n1n2nsSE(xi1x1)2(xi2x2)2(xisxs)2（1.11）i1i1i1j注意到(xijxj)2是整体N(j,2)的样本方差的nj1倍，于是有i1njxj)2(xij2i1~(nj1)2因各xij独立，故（1.11）式中各平方和独立。由2分布的可加性知SE2s~2(nj1)，即j1SE2~2(ns)，（1.12）由（1.12）式还可知，SE的自由度为ns。且有E(SE)(ns)2（1.13）（2）SA的统计特征snjx)2sx)2是s个变量nj(xjx)我们看到SA(xjnj(xjj1i1j1（j1,2,,s）的平方和，它们之间仅有一个线性拘束条件ssnjnj(xjx)nj(xjx)0j1j1故知SA的自由度为s1。再由（1.3），（1.6）及xij的独立性，知2x~N(,)n即得s22E(SA)Enjxjnxj1s22njE(xj)nE(x)j1s2njnD(x)D(xj)E(xj)j1s2222njnnjjj1ns2j)22njnj(nj1n22sss2njj2nnjjj1j1s0，故有由(1.1)式，知njjj12s2E(SA)(s1)njjj1

2E(x)22n2

1.14）1.15）进一步还可以证明SA与SE独立，且当H0为真时SA2~2(s1)证略。思虑：当H0为真时，整个样原来自什么整体？（四）假设检验问题的拒绝域此刻我们可以来确立假设检验问题(1.2)的拒绝域了。由（1.15）式知，当H0为真时

1.16）E(SA)2（1.17）s1SA2s2是的无偏预计。而当H1为真时，0，此时即1njjsj1s2E(SAnjj)2j112（1.18）s1s又由（1.13）式知E(SE)2（1.19）ns即无论H0能否为真，SE都是2的无偏预计。ns综上所述，分式SAs1SEns的分子与分母独立，SE的分布与H0没关，分母的数学希望总是2。当H0为真时，分子的数学希望为2，而当H1为真时，由（1.18）式分子的取值有偏大的趋向。故知检验问题(1.2)的拒绝域拥有形式SAFs1kSEns此中k由早先给定的明显性水平确立。由（1.12），（1.16）式及SE与SA的独立性知，当H0为真时，SASA(s1)s12~F(s1,ns)SESE(ns)ns2由此得检验问题(1.2)的拒绝域为SAFs1F(s1,ns)（1.20）SEns上述分析的结果可排成表9.5的形式，称为方差分析表。表9.5单要素试验方差分析表方差本源平方和自由度均方F比要素ASAs1SASASA1FsSE偏差SEnsSESEsn总和STn1表中SASA，SESE分别称为SA，SE的均方。s1ns思虑：当H0为真时，均方的数学希望分别是什么？所以均方又可以称什么？其余，因为在ST中n个变量xijx之间仅满足一个拘束条件（1.6），故ST的自由度为1。例4如上所述，在例1中需要检验假设H0:123H1:1,2,3不全相等试取0.05，完成这一假设检验。解：表9.6例4的方差分析表方差本源平方和自由度均方F比要素A0.0010533320.0005266732.92偏差0.00019200120.00001600总和0.0012453314因F0.05(2,12)3.8932.92，故在水平0.05下拒绝H0，以为各台机器生产的薄板厚度有明显的差异。例5设在例2中的四各样类电路的响应时间的整体均为正态，且各整体的方差相同。又设各样真互相独立。试取0.05，检验各样类电路的响应时间能否有明显差异。解：我们需检验假设H0:1234H1:1,2,3,4不全相等表9.7例5的方差分析表方差本源平方和自由度均方F比要素A318.977777783106.325925933.76偏差395.466666671428.24761905总和714.4444444417因F0.05(3,14)3.343.76，故在水平0.05下拒绝H0，以为各样类电路的响应时间有显著差异。（五）未知参数的预计上边已讲到过，无论H0能否为真，SE都是2的无偏预计，所以ns?2SEsn又由（1.14），（1.7）式知，1njE(x)，E(xj)E(xij)j，j1,2,,s，故nji1?x，?jxj分别是，j的无偏预计。又若拒绝H0，这意味着1,2,,s不全为零。因为jj,j1,2,,s，知?xjx是j的无偏预计。j当拒绝H0时，常需要作出两整体N(j,2)和N(k,2)，jk的均值差jkjk的区间预计。其做法以下。因为E(xjxk)jk，D(xjxk)211njnk由第六章附录知xjxk与?2SE独立。于是ns(xjxk)(jk)211njnk(xjxk)(jk)~t(ns)SE11SE2nknjns据此，可得均值差jkjk的置信度为1的置信区间为xjxkt(n11）s)SE（1.212njnk思虑：以前我们学过两个正态整体方差相等但未知的状况下，均值差的置信区间：xjxkt(njnk2)SW211，2njnk此中，SW2(nj1)S2j(nk1)Sk21.21）式有何异同？njnk，请问这与（2（提示：SW2的自由度是多少？）双要素试验方差分析本节介绍双要素试验方差分析。（一）双要素等重复试验的方差分析设有两个要素A、B作用于试验的指标，要素A有r个水平A1,A2,,Ar，要素B有s个水平B1,B2,,Bs。现对要素A，B的水平的每对组合(A,B)，i1,2,,r，j1,2,,s都作（t2）次试验（称为等重复试验），ijt获取以下结果。表9.8要素B要素AB1B2BsA1x111,x112,x121,x122,x1s1,x1s2,,x11t,x12t,x1stA2x211,x212,x221,x222,x2s1,x2s2,,x21t,x22t,x2stArxr11,xr12,xr21,xr22,xrs1,xrs2,,xr1t,xr2t,xrst并设：xijk~N(ij,2),i1,2,,r,j1,2,,s,k1,2,,t,各xijk独立。这里，ij，2均为未知参数。或写成xijkijijk,ijk~N(0,2),各xijk独立,i1,2,,r,j1,2,,s,k1,2,,t（2.1）引入记号：1rs

rsiji1j1i1sij，i1,2,,r1sj1jrii，i1,2,,rjrs易见，i0，j0i1j1

rij，j1,2,,si1j，j1,2,,s称为总均匀，称i为水平Ai的效应，称j为水平Bj的效应。这样可将ij表示成ijij(ijij)，i1,2,,r，j1,2,,s（2.2）记ijijij，i1,2,,r，j1,2,,s（2.3）此时ijijij（2.4）ij称为水平Ai和水平Bj的交互效应，这是由Ai，Bj搭配起来结合起作用而引起的。易见rij1sijj1

0，j1,2,,s0，i1,2,,r这样，（2.1）可写成xijkijijijk,ijk~N(0,2),i1,2,,r,j1,2,,s,k1,2,,t,各ijk独立，（2.5）rsrsi0,j0,ij0,ij0i1j1i1j1此中，i，j，ij及2都是未知参数。2.5）式就是我们所要研究的双要素试验方差分析的数学模型。对于这一模型我们要检验以下三个假设：H01:12r，0H11:1,2,,r不全为零，（2.6）H02:12s，0H12:1,2,,s不全为零，）（2.7H03:1112rs，0H13:11,12,,rs不全为零（2.8）与单要素状况近似，对这些问题的检验方法也是建立在平方和的分解上的。先引入以下记号：1rstxxijkrsti1j1k11txijk，i1,2,,r,j1,2,,sxijtk1x1stxijk，i1,2,,ristj1k1x1rtxijk，j1,2,,sjrti1k1再引入总平方和rstx)2ST(xijki1j1k1我们可将ST写成：rstx)2ST(xijki1j1k1rst2(xijkxij)(xix)(xjx)(xijxixjx)i1j1k1rst)2rstx)2rstx)2(xijkxij(xi(xji1j1k1i1j1k1i1j1k1rstx)2(xijxixji1j1k1即得平方和的分解式：STSESASBSAB（2.9）此中rstxij)2SE(xijk（2.10）i1j1k1rstx)2rx)2SA(xist(xi（2.11）i1j1k1i1rstx)2sx)2SB(xjrt(xj（2.12）i1j1k1j1rstrsSAB(xijxixjx)2t(xijxixjx)2i1j1k1i1j1SE称为偏差平方和，SA，SB分别称为要素A、要素B的效应平方和，SAB称为A，B交互效应平方和。可以证明ST，SE，SA，SB，SAB的自由度挨次为rst1，rs(t1)，r1，s1，(r1)(s1)，且有ESE2rs(t1)r2stSA2ii1E1r1rs2rtSBj2j1E1s1srst2SAijEB2i1j11)(s1)(r1)(s1)(r当H01:12r0为真时，可以证明SAFAr1~F(r1,rs(t1))SErs(t1)

2.14）2.15）2.16）2.17）2.18）取明显性水平为，得假设H01的拒绝域为SAFAr1F(r1,rs(t1))（2.19）SErs(t1)近似地，在明显性水平下，假设H02的拒绝域为SBFBs1F(s1,rs(t1))（2.20）SErs(t1)在明显性水平下，假设H03的拒绝域为SABFAB(r1)(s1)F((r1)(s1),rs(t1))SErs(t1)上述结果可汇总成以下的方差分析表：方差本源平方和要素ASA要素BSB交互作用SAB偏差SE

表9.9双要素试验的方差分析表自由度均方F比r1SASASA1FArSEs1SBSBSB1FBsSE(r1)(s1)SABSABSABFAB(r1)(s1)SErs(t1)SESE1)rs(t总和STrst1（二）双要素无重复试验的方差分析在以上的谈论中，我们考虑了双要素试验中两个要素的交互作用。为要检验交互作用的效应能否明显，对于两个要素的每一组合(i,Bj)最少要做2次试验。这是因为在模型（2.5）A中，若k1