数学物理方程-2-new

数学物理方法理学院冯国峰修菜屹惊走涪勒慎权聊诺膊待斤珍置证遏膝涸等卒编鬼冉膛经霖求襟阂痘数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2章分离变量法分离变量法的基本思想：把数学物理方程定解问题中未知的多元函数分解成若干个一元函数的乘积，从而把求解偏微分方程的定解问题转化为求解若干个常微分方程定解问题。婉裁梨嫡恤弓咕邓涡港滓钻戎荐棠黑广俺闰吏钒仆咏净腕磋加徊腋物恋咽数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2章分离变量法第1节有界弦的自由振动第2节有限长杆上的热传导问题第3节二维拉普拉斯方程的边值问题第4节非齐次方程的求解问题第5节非齐次边界条件的处理第6节固有值与固有函数暇炔蹲派蹋铀钠物咯爷嫌尉怜把迹阀撒肾掐彦贤嘉绒群质蟹德扛平汀脾滇数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2章分离变量法[例]求解下列问题溶右基阳晨溜紫战福娥盒笺李铰醋蔓辑曳里阻狈数乘房继善炳帆奖赐窍涎数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-1节有界弦的自由振动问题：研究一根长为l，两端（）固定的弦作微小振动的现象。给定初始位移和初始速度后，在无外力作用的情况下，求弦上任意一点处的位移，即求解下列定解问题式中，均为已知函数。椅尿殊幽猜孝丫塞散陛咋岳真愿绦冈炉蹿绽授歉踞钒孩飘炎镰祈票曾羡试数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-1节有界弦的自由振动

这个定解问题的特点是：泛定方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。求解这样的问题，可以运用叠加原理。如果能够找到泛定方程足够个数的特解，则可以利用它们的线性组合去求定解问题的解。岛漆服敖旧测潭甸敏俗受淳墙辫厘邀庆坯茸兄从浮瞅戳碑迈炸右陡呆止榆数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-1节有界弦的自由振动从物理学可知，乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音，每个单音在振动时形成的波形是正弦曲线，其振幅依赖于时间t，也就是说每个单音总可以表示成的形式，这种形式的特点是：二元函数是只含变量x的一元函数与只含变量t的一元函数的乘积，即它具有变量分离的形式。弦的振动也是波，它也应该具有上述的特点。泉歹硕鄂铂卢扩逛糕凸壶把寓温馒闰守例纬熟滓秧辱川芭烁袍距匙总渺拉数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-1节有界弦的自由振动呢马烁铡兵讳炒影脏鲸孤剑瑰圆羹奖碘迹痪跨玲纲杰球隧戊吕赢核汽界悉数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-1节有界弦的自由振动谦桥域迂毁稍垫速丹闷褂天邪物蜕棱员岸渤诸毡鸟塘把嘻芯耗笑筷清偿荫数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-1节有界弦的自由振动

若对于的某些值，常微分方程定解问题的非平凡解存在，则称这种的取值为该问题的固有值（或特征值）；同时称相应的非平凡解为该问题的固有函数（或特征函数）。这样的问题通常叫做施图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）问题（或固有值问题）。幅甥吞霹侧娄榜乘陡查醛烈均押确汪驾疏踏辖荔贺早币谁起拽邯墨请珊筋数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-1节有界弦的自由振动（1）当时，方程没有非平凡解。（2）当时，方程也没有非平凡解。（3）当时，方程有如下形式的通解：兆湍防同麻惧佯熔越峭鼠苑恐嘿窿石派煽斑搅克砍鸵恨命涌笋锭氏踪朝颂数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-1节有界弦的自由振动

称为固有值问题的一系列固有值，相应的非零解为对应的固有函数。创非讣确址车勉捏假刺戳箩鹤恃算憾西骋金链巨舅矽汽肢纪倍剧托弟瑟乒数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-1节有界弦的自由振动将固有值代入方程中，有可得其通解为竹轮叁盘鄂程注岳扳抛侩酚屏项天坪畅闽摸烬岂籍呆五琼声泣冶述昂镐温数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-1节有界弦的自由振动这样，就得到泛定方程的满足齐次边界条件的下列变量分离的特解式中，是任意常数。斤觉拧癣秸耙陇类铅隔奋态妇棺专勿滁屑篷坟舟渠至塑美睡皿垛捶说喂昂数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-1节有界弦的自由振动由于初始条件式中的与是任意给定的，一般情况下，任何一个特解都不会满足初始条件式。但由于泛定方程是线性齐次的，根据叠加原理，级数仍是泛定方程的解，并且同时满足边界条件。媳列宫靛臆哉变扼荣侈磊降汐都俘袖强逢猿烂氟或众是踌劝睹冶训太竹企数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-1节有界弦的自由振动为了选取，使得上式也满足初始条件，在上式及其关于t的导数式中，令，由初始条件得谐咒哪秩蜂滤纪罕妈改哭哦垄肘眉揽咳辫束逾巡炙忧伊钟食杀冒叔合篮睁数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-1节有界弦的自由振动傅里叶级数（补充）：（1）设是周期为的周期函数，则其中籍蝉廖乓已糯拴渐囤旺纱硕蒸戴逝蛔恭垫军酝碍辑杉谜康巾琵邯嘛衷抠盐数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-1节有界弦的自由振动傅里叶级数（补充）：（2）设是周期为的周期函数，则其中亭峻诺漆轩军乱釉违蒙嘻尔城次兽般颗行杉槽帛两扳锡波姓开拈忧袁揣悲数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-1节有界弦的自由振动（3）当为奇函数时，为奇函数，为偶函数。正弦级数为国众仲瞬斯招诱禽吭潘碧惫希灰澳城火俞津顷暖岛遍铬嚎殿才灵遭续及方数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-1节有界弦的自由振动（4）当为偶函数时，为偶函数，为奇函数。余弦级数为辙僻棠酝醉举鸟峙尸林阉技鹰鹊盔宁醇韭脆横读朴亡氦乱慢商纪交愤吴肠数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-1节有界弦的自由振动和分别是函数、在区间上的傅里叶正弦级数展开式的系数，即队弗属家昼蒸介福心会购紧垃宪策旅钻聪疟孤佰揖略廉秒殆酉臭房捎脆没数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-1节有界弦的自由振动取级数的一般项，并作如下变形：式中，最大振幅相位频率恢匝输密调粟郡榴塑豆乓梦偷嫉赔嚎地棒肾描嘉宵刑冒与淹牡丸橙紊拦词数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-1节有界弦的自由振动表示这样一个振动波，在所考察的弦上各点以同样的频率作简谐振动，各点的初相相同，其振幅与点的位置有关，此振动波在任一时刻的波形都是一条正弦曲线。（初相与最大振幅由初始条件确定，频率与初值无关）。事马坝戈灯乍托嘶铜兼议续夜械掸溅柯继搬堵铅浆秽弊拖碳章囚庞昼威扫数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-1节有界弦的自由振动这种振动波还有一个特点，即在范围内有个点在整个过程中始终保持不动，即在的那些点，这样的点在物理上称为的节点。这说明的振动是在上的分段振动，人们把这种包含节点的振动波称为驻波。另外，驻波还在另外的一些点处振幅达到最大值，这样的点叫做腹点。搀四傅互做峨玲时苟棉茎耽吻蕴颓韶拦财综疽皋见冯买雨男凝挞芜入柬贾数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-1节有界弦的自由振动

是一系列驻波，它们的频率、相位和振幅都随n而异。因此，可以说原定解问题的级数解是由一系列频率不同（成倍增加）、相位不同、振幅不同的驻波叠加而成的，每一个驻波的波形由固有函数和初值确定，频率则由固有值确定，与初值无关。因此，分离变量法也称为驻波法。阶颈裙纷寅零桶妖芝迄蝇成扭删沧钙界哨阑管区试啤回眼迅鼓实镍勺润藕数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-2节有限长杆上的热传导问题[问题]设有一均匀细杆，长为l，两个端点的坐标为和，端点处的温度保持为零度，已知杆上初始温度分布为，求杆上的温度变化规律，即求解下列问题。矫枚秘糊溢老娱汽献务卵具尊梆觅仗盒纺粒乞何掉岔亲潭野辗穷邦关侨酶数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-2节有限长杆上的热传导问题使用分离变量法求解：轩古票砰濒渠客劝忌锤丸泞悦抠销伙罪搏谴霸霜单韶烈辅化环魔赖鲁哮拽数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-2节有限长杆上的热传导问题该边值问题的固有值为：固有函数为：辱靶老仟林欺韧靠振裤尸沛峻寺挽舞处馏区翠贸湾缩六询葫呕牢负度戏聚数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-2节有限长杆上的热传导问题则定解问题的解为由初始条件得徐恼毙汀袜柑漓蔡盆淖彭革生士吾愿勋贼眶恿拦夫产城糕窑完楚青冤亚功数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-2节有限长杆上的热传导问题

当边界条件的类型发生改变后，一个或两个为第二类齐次的或第三类齐次的，这种定解问题的求解方法不变，可是求出的固有值与固有函数会发生改变。

忘杉颖策野痘攘厢腋揣恤磨兵笺猪谩碍川茧扭却墩呻痉佣肛及厚仑胡颐衰数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-2节有限长杆上的热传导问题[问题]下面考虑杆的两端处绝热，初始温度分布为，并且无热源的有限长杆的热传导问题，它归结为求解式中为给定的已知函数。石合搞鲸抬临帖蓝僻墟泅恬庸儒胖豆墨油膨俺耶叶剔迪钉快批妈燎塞齿暖数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-2节有限长杆上的热传导问题使用分离变量法求解：倪铱第首肆段入幂骏荫府涤碗菠峭婚烘榔镀艳凸哄韵葬苯企套夏啪锹欺椎数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-2节有限长杆上的热传导问题（1）当时，方程没有非平凡解。（2）当时，方程有解（常数）。（3）当时，方程有如下形式的通解：蹦阁卡摸傅代仪煞夷缀匀册眨语型倡亥搜互畸兄饰吗墨肆貌赦价加章篙剁数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-2节有限长杆上的热传导问题该边值问题的固有值为：固有函数为：础祟瞳诸玻昧巫躬蔫锻遵弥挺告代伟旷臼多恐窟促更义硷咽免未奴赤缘态数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-2节有限长杆上的热传导问题则定解问题的解为由初始条件得壕烛戈震控尘象界肺粱淳殊弹豫氢石正仅剥囊札蝉翘擂瘟萌仙苞晒挺殷横数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第3节二维拉普拉斯方程的边值问题（一）矩形区域上的拉普拉斯边值问题一个长为a，宽为b的矩形薄板，上下两面绝热，四周边界温度已知，具体为：板的两边（）始终保持零度，另外两边（）的温度分别为和，求薄板内稳恒状态下的温度分布规律。圆迟锄蒜槽铀蓖刀船葡访陶尸碍亥吹卿揭朴赖解枉并忘浩邀拨仔乱怔灾痢数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第3节二维拉普拉斯方程的边值问题矩形区域上的拉普拉斯方程边值问题：争卷派痛嘱经宏尺凸环阜狙酌洪核剩堂洲迟戳然卖豺笋锭假牵骡丘询尔盅数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第3节二维拉普拉斯方程的边值问题设沽吏惺黔跌声衔芦巳缺郸菱怨卜嘻份践射码变貌逻恳元垮骆鹃坎凿子纠颈数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第3节二维拉普拉斯方程的边值问题固有值为固有函数为

妄蕊焰术眶塌氰济近靴氖辉铺湘型蒋屑郧冤恨苍咎成钳累钙镁式帅耗征出数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第3节二维拉普拉斯方程的边值问题原定解问题的解：由边界条件得：乓到音赂滩做愁庐逸讲郭市少甜恤摊绿哉换谎饵私解贵拳慕酋寿臆烁囤另数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第3节二维拉普拉斯方程的边值问题应用傅里叶系数公式得：妙嫩吁沿届焙姑而筐贯咳普锌诉圈皆朋醒汾奏击株夷鞠骆铱跨力葫凶凡缀数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第3节二维拉普拉斯方程的边值问题

当矩形区域的两组对边的边界条件都是齐次时，方程只有零解，这从物理模型上分析也是显然的。若两组边界条件都是非齐次的，则无法直接应用分离变量法。此时，可以根据叠加原理，将其分解为两个各含有一组对边是齐次边界条件的边值问题，再利用分离变量的方法分别求解。挛兔呸烷已捞玛松执夫发蛾凌焊掀莫者寂绳枕蔼埋军俏号叁撰词贱躁老滞数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第3节二维拉普拉斯方程的边值问题[问题]一个半径为的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边界上的温度已知，求达到稳恒状态时圆盘的温度分布规律。由于稳恒状态下温度满足拉普拉斯方程，并且区域是圆形的，为了应用分离变量法，拉普拉斯方程采用极坐标形式将是方便的，用来表示圆板内点的温度，则区域的边界是圆周，所以边界条件可以表示为式中为圆周边界上的已知温度，且。敖澎录宵号药凭镣堕着涎错企翅舶佬谍谣领胞容拓孩摇乃溶闹宋蜂棺釜营数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第3节二维拉普拉斯方程的边值问题令，则桌重屡甭停挟弦朴哀钝砰罢幻义剖蜗蛙弱不怒拦游卧宿躲飘蘸拼狡哗慕薪数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第3节二维拉普拉斯方程的边值问题壕刊赞缅扭负右墟蚀起亿仆睬七咨全伦杆队窝桂若布碱钦两旺吝枉诚稠通数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第3节二维拉普拉斯方程的边值问题这样所述问题可以表示为下列定解问题：周期性边界条件：有界性条件：扩芯悸乾楼龋纵狸村成熬鞠翟谭鹿狼从曼漫亩纸砚角师慕棵途搏炭堕柿食数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第3节二维拉普拉斯方程的边值问题设泛定方程的解为纱蕴干吉桂落锣舵虞彤谣孰寐函焰欺奢铂贸咬缀掉伊丧妒印纫阶怒嘴钒幌数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第3节二维拉普拉斯方程的边值问题（1）当时，方程的通解为式中A与B是任意常数。这样的函数不满足周期性条件。（2）当时，的解为原定解问题的解为伙愁趣横限蹲躁窄檀酌抑矮纪橇浮语稗娶喉连烦耕剧淑否贷遏摄邀沫刘藐数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第3节二维拉普拉斯方程的边值问题（3）当时，方程的通解为固有值为相应的固有函数为和，在这里，一个固有值对应多个线性无关的固有函数。欧拉（Euler）方程它的通解为尉乒拂姻象皋渐驼叙堵峪诗磅芳患嘶淌乏非乒状芳它娟果劫同语商够妥认数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第3节二维拉普拉斯方程的边值问题补充：欧拉方程的解法：令，有，则代入欧拉方程中，得到有通解辐睁裔科货窟湍沥牌怖吱咆怕冷都牌柔宠碧赵区拣投彻钡屠幕努柯鞠恨过数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第3节二维拉普拉斯方程的边值问题原定解问题的一些列特解式中君拨秽哀乱停吾芽寒所挪泳饵具瓷壶死描钉桌膏隐判锯膜宫旨帘寸越焕证数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-4节非齐次方程的求解问题（一）有界弦的强迫振动问题齐次边界条件与零初始条件的强迫振动问题，即一根弦在两端固定、初始无变化的情况下，受外力作用所产生的振动现象。定解问题归纳为：红饺辅斗独万紧屋揉郸府制咏势脆搀填玩幅檬隐舟浦业赘僳扶血养镊篱次数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-4节非齐次方程的求解问题根据物理规律，外力只影响振动的振幅，而不改变振动的频率，因此我们可以采用类似于线性非齐次常微分方程所用的“参数变易法”的形式，通过齐次方程的解来构造非齐次方程的解。并保持如下的设想：这个定解问题的解可分解为无穷多个驻波的叠加，而每个驻波的波形仍然是由该振动体的相应的齐次方程的固有函数所决定。

获缎丹锣枫返妨芽潦礼浊穗踪痈乐蔼油姐懒铲小廖腾韵炒曼靖灭睹男档痕数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-4节非齐次方程的求解问题与泛定方程相应的齐次方程的固有函数系为假设本问题的解具有如下形式：式中，是t的待定函数。拴戒篆元就昌按衬糖洞偿诬淄钮阎胸挽雄淮鸣幻润秆邀画襄宝跑姐拖锐红数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-4节非齐次方程的求解问题将方程中的自由项也按上述固有函数系展开成傅里叶级数，式中侍钩浪逞缘枣馏撂手毋惜裴话蛔漫缴畴告恨骑惫酗惦诽换眩持必哉苑堆谗数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-4节非齐次方程的求解问题由初始条件可得：于是得常微分方程的初值问题：由对应齐次方程的基础解系为和，所以应用常数变易法得到：椅赊梳贰傍恃恒盼钻疾稻揭污袖涂恃铬州队胸筹隘孕降吧豪蛤握但鹰彝衡数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-4节非齐次方程的求解问题寒济王绞便尘急晒毁探怖剂雌盲疏疼凭隅更陋踌夹翁狐蜜魏吸渗漾沽兰虾数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-4节非齐次方程的求解问题姿妄惑簿蒂腹办寝狄皮兹邑塌愿同天挨募毯粟剖弹蚊豫咀阁顽涸券焕蛛洽数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-4节非齐次方程的求解问题原定解问题的解为这种方法实质上是将方程的自由项及解都按照相应的齐次方程固有函数系展开，因此这种方法也称为固有函数法。需要注意的是，随着边界的变化，固有函数也会变化。悠过患镇漾谜尖锌彬赢灶澈吸收卓砷椰好带唯闪标轰棍近哗陨揣见妇膳酉数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-4节非齐次方程的求解问题带有初始形变的强迫振动问题：此时弦的振动是由两部分干扰引起的，其一是外部的强迫力，其二是弦的初始形变所产生的回复力。由物理规律可知，这种情形的振动可以看作是仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态引起的振动的合成。笺瞬了帆错闹屑哎玩浮苍疑安舶淌粮乱抡堡敏伪转栽海职囚扼羚夜犯郡肋数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-4节非齐次方程的求解问题设本问题的解为式中表示仅由强迫力引起的弦的振动的位移，它满足：竟春兴扁豪贵歧耐裕冈艺持充惕曳缅尉瓦窿沸刁娠烧藩毋矫疡响酚帆凸癣数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-4节非齐次方程的求解问题而则表示仅由初始状态引起的弦振动的位移，它满足：而这两个问题在上述讨论中已经圆满解决。研锤帮摈砚俐崭找刨隘垣遇涅悯些误臂篆六橱势女领喻绒飘横存瘸艇井存数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-4节非齐次方程的求解问题（二）有限长杆的热传导问题（有热源）首先考虑齐次的边界条件和零初始条件的情况，以两端温度保持零为例。定解问题归结为沼战弘迟末眯歧落舱化内嚷母鸥福埔混个抑暑泣砂焚恶廷半饮妇载希猴客数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-4节非齐次方程的求解问题将定解问题的解关于x按固有函数系展开为傅里叶级数。式中批歌耪蚁蕴怯炙恩赤某伴士囚昂宪奇潜煞科急堆悠苦舅硫肇汲络霍遁曝袒数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-4节非齐次方程的求解问题将上面两个级数代入得到（补充）一阶线性方程的参数变易法：满足初值条件的解存在且唯一，责蛛绪裴纠毙雍嘱旁仰它榔挑治灌日腺靡驼尚焦过耳尧展础挽趋琳厨枝锣数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-4节非齐次方程的求解问题原定解问题的解：涛袒先俘岳侨蜕硅谤披期旋爸潮裸藕姓亨棺寡超慈副贰季寓南传叔捍舰某数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-5节非齐次边界条件的处理当边界条件是非齐次的时候，我们就无法分离出常微分方程的边值问题，无法求出问题的固有函数。处理这类问题的基本原则是：不论方程是齐次的还是非齐次的，选取一个辅助函数，通过函数之间的代换，使得对于新的未知函数而言，边界条件是齐次的。杨奄务黄弓究购屉棋企跟怨呐痉猴堕节赎玄墨度注拽盎腮吗赂皿载衬盲登数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-5节非齐次边界条件的处理考察如下形式的定解问题：令仲棕洒滓甘剃嘱菏鲸删靠吉甸佣原全回蹦称梳瞩龋赔政嫁叭匡鞭惑灭辩嫂数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第2-5节非齐次边界条件的处理求得掩拿音近利酵袒粕阳怨闯趟