2019年山东单招理科模拟试题(一)-数学

./2019年单招理科数学模拟试题〔一[含答案]一、选择题〔本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,2,3,5},B={2,4,6},则〔∁UA∩B=〔A．{2}B．{4,6}C．{l,3,5}D．{4,6,7,8}2．若复数〔b∈R,i为虚数单位的实部和虚部互为相反数,则实数b为〔A．﹣2B．2C．D．3．设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+3y的最大值为〔A．0B．6C．9D．124．图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图,1号到16号同学的成绩依次是A1,A2,…,A16,图2是统计茎叶图中成绩在一定围的学生情况的程序框图,那么该程序框图输出的结果是〔A．6B．7C．10D．165．已知命题"p：∃x0∈R,|x0+1|+|x0﹣2|≤a"是真命题,则实数a的最小值为〔A．5B．4C．3D．26．已知在菱形ABCD中,对角线BD=4,E为AD的中点,则•=〔A．12B．14C．10D．87．已知函数f〔x为定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f〔x=log3〔x+1+a,则f〔﹣8等于〔A．﹣3﹣aB．3+aC．﹣2D．28．某班有6位学生与班主任老师毕业前夕留影,要求班主任站在正中间且女生甲、乙不相邻,则排法的种数为〔A．96B．432C．480D．5289．已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为〔A．B．C．4D．10．已知点M〔m,m2,N〔n,n2,其中m,n是关于x的方程sinθ•x2+cosθ•x﹣1=0〔θ∈R的两个不等实根．若圆O：x2+y2=1上的点到直线MN的最大距离为d,且正实数a,b,c满足abc+b2+c2=4d,则log4a+log2b+log2c的最大值是〔A．B．4C．2D．二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分11．函数y=的定义域为____．12．已知曲线与直线x=1,x=3,y=0围成的封闭区域为A,直线x=1,x=3,y=0,y=1围成的封闭区域为B,在区域B任取一点P,该点P落在区域A的概率为____．13．已知△ABC中,边a,b,c的对角分别为A,B,C,且a=,c=,C=,则△ABC的面积S=____．14．棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一个球面上,其中PA⊥平面ABC,△ABC是正三角形,PA=2BC=4,则该球的表面积为____．15．若函数y=f〔x的定义域D中恰好存在n个值x1,x2,…,xn满足f〔﹣xi=f〔xi〔i=1,2,…,n,则称函数y=f〔x为定义域D上的"n度局部偶函数"．已知函数g〔x=是定义域〔﹣∞,0∪〔0,+∞上的"3度局部偶函数",则a的取值围是____．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．〔12分已知=〔cosωx,cos〔ωx+π,=〔sinωx,cosωx,其中ω＞0,f〔x=•,且f〔x相邻两条对称轴之间的距离为．〔I若f〔=﹣,α∈〔0,,求cosα的值；〔Ⅱ将函数y=f〔x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,然后向左平移个单位,得到函数y=g〔x的图象,求函数y=g〔x的单调递增区间．17．〔12分一箱中放了8个形状完全相同的小球,其中2个红球,n〔2≤n≤4个黑球,其余的是白球,从中任意摸取2个小球,两球颜色相同的概率是．〔I求n的值；〔Ⅱ现从中不放回地任意摸取一个球,若摸到红球或者黑球则结束摸球,用ξ表示摸球次数,求随机变量ξ的分布列和数学期望．18．〔12分已知四边形ABCD为梯形,AB∥DC,对角线AC,BD交于点O,CE⊥平面ABCD,CE=AD=DC=BC=1,∠ABC=60°,F为线段BE上的点,=．〔I证明：OF∥平面CED；〔Ⅱ求平面ADF与平面BCE所成二面角的余弦值．19．〔12分已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=〔2+cosnπ〔an+1﹣3〔n∈N*．〔1求数列{an}的通项公式；〔2令bn=,Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn．20．〔13分已知函数f〔x=x2﹣2lnx﹣2ax〔a∈R．〔1当a=0时,求函数f〔x的极值；〔2当x∈〔1,+∞时,试讨论关于x的方程f〔x+ax2=0实数根的个数．21．〔14分已知抛物线C：y2=2px〔p＞0的焦点是F,点D〔1,y0是抛物线上的点,且|DF|=2．〔I求抛物线C的标准方程；〔Ⅱ过定点M〔m,0〔m＞0的直线与抛物线C交于A,B两点,与y轴交于点N,且满足：=λ,=μ．〔i当m=时,求证：λ+μ为定值；〔ii若点R是直线l：x=﹣m上任意一点,三条直线AR,BR,MR的斜率分别为kAR,kBR,kMR,问是否存在常数t,使得．kAR+kBR=t•kMR．恒成立？若存在求出t的值；若不存在,请说明理由．2019年单招理科数学模拟试题〔一参考答案一、选择题〔本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,2,3,5},B={2,4,6},则〔∁UA∩B=〔A．{2}B．{4,6}C．{l,3,5}D．{4,6,7,8}[考点]1H：交、并、补集的混合运算．[分析]由全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,2,3,5},B={2,4,6},知CUA={4,6,7,8},由此能求出〔CuA∩B．[解答]解：∵全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,2,3,5},B={2,4,6},∴CUA={4,6,7,8},∴〔CuA∩B={4,6}．故选B．[点评]本题考查交、并、补集的混合运算,是基础题,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化．2．若复数〔b∈R,i为虚数单位的实部和虚部互为相反数,则实数b为〔A．﹣2B．2C．D．[考点]A5：复数代数形式的乘除运算．[分析]直接利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部和虚部互为相反数列式求解．[解答]解：∵=的实部和虚部互为相反数,∴2﹣2b=4+b,得b=﹣．故选：D．[点评]本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题．3．设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+3y的最大值为〔A．0B．6C．9D．12[考点]7C：简单线性规划．[分析]先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,只需求出直线z=x+3y过点P〔0,3时,z最大值即可．[解答]解：作出约束条件的可行域如图,由z=x+3y知,y=﹣x+z,所以动直线y=﹣x+z的纵截距z取得最大值时,目标函数取得最大值．由得P〔0,3．结合可行域可知当动直线经过点P〔0,3时,目标函数取得最大值z=0+3×3=9．故选：C．[点评]本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于中档题．4．图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图,1号到16号同学的成绩依次是A1,A2,…,A16,图2是统计茎叶图中成绩在一定围的学生情况的程序框图,那么该程序框图输出的结果是〔A．6B．7C．10D．16[考点]EF：程序框图．[分析]模拟执行算法流程图可知其统计的是数学成绩大于等于90的人数,由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10,从而得解．[解答]解：由算法流程图可知,其统计的是数学成绩大于等于90的人数,所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10,因此输出结果为10．故选：C．[点评]本题考查学生对茎叶图的认识,通过统计学知识考查程序流程图的认识,属于基础题．5．已知命题"p：∃x0∈R,|x0+1|+|x0﹣2|≤a"是真命题,则实数a的最小值为〔A．5B．4C．3D．2[考点]2I：特称命题．[分析]根据绝对值不等式的性质,利用特称命题为真命题．,建立不等式关系进行求解即可．[解答]解：∵|x0+1|+|x0﹣2|≥|x0+1﹣x0+2|=3．∴若命题"p：∃x0∈R,|x0+1|+|x0﹣2|≤a"是真命题,则a≥3,即实数a的最小值为3,故选：C．[点评]本题主要考查命题的真假的应用,根据绝对值不等式的性质以及特称命题的性质是解决本题的关键．6．已知在菱形ABCD中,对角线BD=4,E为AD的中点,则•=〔A．12B．14C．10D．8[考点]9R：平面向量数量积的运算．[分析]可作出图形,根据向量加法和数乘的几何意义可以得出,这样进行向量的数乘运算便可得出,且,从而带入进行向量数量积的运算便可求出的值．[解答]解：如图,根据条件：======12．故选A．[点评]考查向量加法和数乘的几何意义,以及向量的数乘运算,向量数量积的运算及计算公式,以及菱形对角线互相垂直,向量垂直的充要条件．7．已知函数f〔x为定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f〔x=log3〔x+1+a,则f〔﹣8等于〔A．﹣3﹣aB．3+aC．﹣2D．2[考点]3L：函数奇偶性的性质．[分析]根据奇函数的结论f〔0=0求出a,再由对数的运算得出结论．[解答]解：∵函数f〔x为奇函数,∴f〔0=a=0,f〔﹣8=﹣f〔8=﹣log3〔8+1=﹣2．故选：C．[点评]本题考查了对数的运算,以及奇函数的结论、关系式得应用,属于基础题．8．某班有6位学生与班主任老师毕业前夕留影,要求班主任站在正中间且女生甲、乙不相邻,则排法的种数为〔A．96B．432C．480D．528[考点]D3：计数原理的应用．[分析]利用间接法,求出班主任站在正中间的所有情况；班主任站在正中间且女生甲、乙相邻的情况,即可得出结论．[解答]解：班主任站在正中间,有A66=720种；班主任站在正中间且女生甲、乙相邻,有4A22A44=192种；∴班主任站在正中间且女生甲、乙不相邻,排法的种数为720﹣192=528种．故选：D．[点评]本题考查计数原理的运用,考查排列知识,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题．9．已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为〔A．B．C．4D．[考点]KI：圆锥曲线的综合．[分析]根据双曲线和椭圆的性质和关系,结合余弦定理即可得到结论．[解答]解：设椭圆的长半轴为a,双曲线的实半轴为a1,〔a＞a1,半焦距为c,由椭圆和双曲线的定义可知,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F1F2|=2c,椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2∵∠F1PF2=,则由余弦定理可得4c2=〔r12+〔r22﹣2r1r2cos,①在椭圆中,①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②,在双曲线中,①化简为即4c2=4a12+r1r2…③,+=4,由柯西不等式得〔1+〔+=〔+×2∴+≤故选：B．[点评]本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质,利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．属于难题．10．已知点M〔m,m2,N〔n,n2,其中m,n是关于x的方程sinθ•x2+cosθ•x﹣1=0〔θ∈R的两个不等实根．若圆O：x2+y2=1上的点到直线MN的最大距离为d,且正实数a,b,c满足abc+b2+c2=4d,则log4a+log2b+log2c的最大值是〔A．B．4C．2D．[考点]7F：基本不等式．[分析]m,n是关于x的方程sinθ•x2+cosθ•x﹣1=0〔θ∈R的两个不等实根．可得m+n=,mn=,由直线MN的方程为：y﹣m2=〔x﹣m,化简代入可得：xcosθ+ysinθ﹣1=0．圆O：x2+y2=1的圆心O〔0,0到直线MN的距离为1,可得圆O上的点到直线MN的最大距离为d=2,由正实数a,b,c满足abc+b2+c2=4d=8,利用基本不等式的性质与对数的运算性质即可得出．[解答]解：∵m,n是关于x的方程sinθ•x2+cosθ•x﹣1=0〔θ∈R的两个不等实根．∴m+n=,mn=,直线MN的方程为：y﹣m2=〔x﹣m,化为：y=〔m+nx﹣mn,∴xcosθ+ysinθ﹣1=0．圆O：x2+y2=1的圆心O〔0,0到直线MN的距离=1,∴圆O上的点到直线MN的最大距离为d=1+1=2,∴正实数a,b,c满足abc+b2+c2=4d=8,∴8≥abc+2bc≥2,化为：ab2c2≤8,当且仅当b=c=,a=2时取等号．则log4a+log2b+log2c=≤log48=,其最大值是．故选：D．[点评]本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、同角三角函数基本关系式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系、对数的运算性质、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题．二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分11．函数y=的定义域为〔1,2．[考点]33：函数的定义域及其求法．[分析]由根式部的代数式大于等于0,分式的分母不为0联立不等式组求得答案．[解答]解：要使原函数有意义,则,解得1＜x＜2．∴函数y=的定义域为〔1,2．故答案为：〔1,2．[点评]本题考查函数的定义域及其求法,考查了对数不等式的解法,是基础题．12．已知曲线与直线x=1,x=3,y=0围成的封闭区域为A,直线x=1,x=3,y=0,y=1围成的封闭区域为B,在区域B任取一点P,该点P落在区域A的概率为．[考点]CF：几何概型；67：定积分．[分析]首先利用定积分求出封闭图形A/B的面积,然后利用几何概型的公式求概率．[解答]解：由题意A对应区域的面积为=lnx|=ln3,B的面积为2,由几何概型的公式得到所求概率为；故答案为：．[点评]本题考查了几何概型的概率求法以及利用定积分求封闭图形的面积；属于中档题．13．已知△ABC中,边a,b,c的对角分别为A,B,C,且a=,c=,C=,则△ABC的面积S=．[考点]HP：正弦定理．[分析]由已知及正弦定理可得sinA==,又结合大边对大角可得A为锐角,从而可求A,进而利用三角形角和定理可求B,利用三角形面积公式即可得解．[解答]解：△ABC中,∵a=,c=,C=,∴由正弦定理可得：sinA===,又∵a＜c,A为锐角．∴A=,B=π﹣A﹣C=,∴S△ABC=acsinB==．故答案为：．[点评]本题主要考查了正弦定理,大边对大角,三角形角和定理,三角形面积公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题．14．棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一个球面上,其中PA⊥平面ABC,△ABC是正三角形,PA=2BC=4,则该球的表面积为π．[考点]LG：球的体积和表面积．[分析]由题意把A、B、C、P扩展为三棱柱如图,求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径,然后求出球的表面积．[解答]解：由题意画出几何体的图形如图,把A、B、C、P扩展为三棱柱,上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径,PA=2BC=4,OE=2,△ABC是正三角形,∴AB=2,∴AE=．AO==．所求球的表面积为：4π〔2=π．故答案为：π．[点评]本题考查球的接体与球的关系,考查空间想象能力,利用割补法结合球接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键．15．若函数y=f〔x的定义域D中恰好存在n个值x1,x2,…,xn满足f〔﹣xi=f〔xi〔i=1,2,…,n,则称函数y=f〔x为定义域D上的"n度局部偶函数"．已知函数g〔x=是定义域〔﹣∞,0∪〔0,+∞上的"3度局部偶函数",则a的取值围是〔,．[考点]5B：分段函数的应用．[分析]根据条件得到函数f〔x存在n个关于y轴对称的点,作出函数关于y轴对称的图象,根据对称性建立不等式关系进行求解即可．[解答]解：由"n度局部偶函数"的定义可知,函数存在关于y对称的点有n个,当x＜0时,函数g〔x=sin〔x﹣1,关于y轴对称的函数为y=sin〔﹣x﹣1=﹣sin〔x﹣1,x＞0,作出函数g〔x和函数y=h〔x=﹣sin〔x﹣1,x＞0的图象如图：若g〔x是定义域为〔﹣∞,0∪〔0,+∞上的"3度局部偶函数",则等价为函数g〔x和函数y=﹣sin〔x﹣1,x＞0的图象有且只有3个交点,若a＞1,则两个函数只有一个交点,不满足条件；当0＜a＜1时,则满足,即,则,即＜a＜,故答案为：〔,．[点评]本题主要考查函数图象的应用,根据条件得到函数对称点的个数,作出图象,利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强,有一定的难度．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．〔12分〔2016•二模已知=〔cosωx,cos〔ωx+π,=〔sinωx,cosωx,其中ω＞0,f〔x=•,且f〔x相邻两条对称轴之间的距离为．〔I若f〔=﹣,α∈〔0,,求cosα的值；〔Ⅱ将函数y=f〔x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,然后向左平移个单位,得到函数y=g〔x的图象,求函数y=g〔x的单调递增区间．[考点]HJ：函数y=Asin〔ωx+φ的图象变换；H5：正弦函数的单调性．[分析]〔I利用两个向量的数量积公式,三角恒等变换,化简f〔x的解析式,再利用正弦函数的图象的对称性求得ω的值,得到f〔x的解析式,从而利用同角三角函数基本关系、两角差的余弦公式,求得cosα的值．〔Ⅱ根据y=Asin〔ωx+φ的图象变换规律,正弦函数的单调性,求得函数y=g〔x的单调递增区间．[解答]解：f〔x=•=sinωx•cosωx+cos〔ωx+π•cosωx=sinωx•cosωx﹣cosωx•cosωx=﹣=sin〔2ωx﹣﹣,由于f〔x相邻两条对称轴之间的距离为==,∴ω=1．故f〔x=sin〔2x﹣﹣．〔I∵f〔=sin〔α﹣﹣=﹣,∴sin〔α﹣=．∵α∈〔0,,∴α﹣∈〔﹣,,∴cos〔α﹣==,∴cosα=cos[〔α﹣+]=cos〔α﹣cos﹣sin〔α﹣•sin=﹣=．〔Ⅱ将函数y=f〔x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得y=sin〔x﹣﹣的图象,然后向左平移个单位,得到函数y=g〔x=sin[〔x+﹣]﹣=sin〔x﹣﹣的图象,令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+,求得2kπ﹣≤x≤2kπ+,可得函数y=g〔x的单调递增区间为[2kπ﹣,2kπ+],k∈Z．[点评]本题主要考查两个向量的数量积公式,三角恒等变换,同角三角函数基本关系,两角差的余弦公式,y=Asin〔ωx+φ的图象变换规律,正弦函数的单调性,属于中档题．17．〔12分〔2016•二模一箱中放了8个形状完全相同的小球,其中2个红球,n〔2≤n≤4个黑球,其余的是白球,从中任意摸取2个小球,两球颜色相同的概率是．〔I求n的值；〔Ⅱ现从中不放回地任意摸取一个球,若摸到红球或者黑球则结束摸球,用ξ表示摸球次数,求随机变量ξ的分布列和数学期望．[考点]CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．[分析]〔Ⅰ设"从箱中任意摸取两个小球,两球颜色相同"为事件A,由已知列出方程,由此能求出n．〔Ⅱξ的可能取值为1,2,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列及Eξ．[解答]解：〔Ⅰ设"从箱中任意摸取两个小球,两球颜色相同"为事件A,由题意P〔A==,解得n=3．〔Ⅱξ的可能取值为1,2,3,4,P〔ξ=1=,P〔ξ=2==,P〔ξ=3==,P〔ξ=4==,∴ξ的分布列为：ξ1234PEξ==．[点评]本题考查概率的求法及应用,考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．18．〔12分〔2016•二模已知四边形ABCD为梯形,AB∥DC,对角线AC,BD交于点O,CE⊥平面ABCD,CE=AD=DC=BC=1,∠ABC=60°,F为线段BE上的点,=．〔I证明：OF∥平面CED；〔Ⅱ求平面ADF与平面BCE所成二面角的余弦值．[考点]MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．[分析]〔Ⅰ由余弦定理,求出AC=,AB=2,从而OF∥DE,由此能证明OF∥平面CED．〔Ⅱ以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,CE为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面ADF与平面BCE所成二面角的余弦值．[解答]证明：〔Ⅰ∵=,∴FB=2EF,又梯形ABCD中,AD=DC=BC=1,∠ABC=60°,∴∠ADC=120°,由余弦定理,得：AC==,cos60°=,解得AB=2,∵AB∥DC,∴,∴OF∥DE,又OF⊄平面CDE,DE⊂平面CDE,∴OF∥平面CED．〔Ⅱ由〔Ⅰ知AC=,AB=2,又BC=1,∴∠ACB=90°,∴AC⊥BC,又CE⊥面ABCD,∴以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,CE为z轴,建立空间直角坐标系,则A〔,0,0,B〔0,1,0,E〔0,0,1,D〔,﹣,0,=〔﹣,﹣,0,===〔﹣,,,设平面ADF的法向量=〔x,y,z,则,取x=1,得=〔1,﹣,2,平面BCE的法向量=〔1,0,0,∴cos＜＞==,∴平面ADF与平面BCE所成锐二面角的余弦值为,平面ADF与平面BCE所成钝二面角的余弦值为﹣．[点评]本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,注意向量法的合理运用．19．〔12分〔2016•二模已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=〔2+cosnπ〔an+1﹣3〔n∈N*．〔1求数列{an}的通项公式；〔2令bn=,Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn．[考点]8E：数列的求和；8H：数列递推式．[分析]〔1an+2=〔2+cosnπ〔an+1﹣3,n∈N*．当n=2k﹣1时,an+2=an﹣2,∴{a2k﹣1}是等差数列,首项为1,公差为﹣2．当n=2k时,an+2=3an,可得{a2k}是等比数列,首项为3,公比为3,即可得出．〔2bn=,n=2k〔k∈N*时,bn==；n=2k﹣1〔k∈N*时,bn=2﹣n．对n分类讨论即可得出．[解答]解：〔1∵an+2=〔2+cosnπ〔an+1﹣3,n∈N*．∴当n=2k﹣1时,an+2=an﹣2,∴{a2k﹣1}是等差数列,首项为1,公差为﹣2,∴a2k﹣1=1﹣2〔k﹣1=3﹣2k,即n为奇数时an=2﹣n．当n=2k时,an+2=3an,∴{a2k}是等比数列,首项为3,公比为3,∴a2k=3×3k﹣1,即n为偶数时an=．∴an=．〔2bn=,n=2k〔k∈N*时,bn==；n=2k﹣1〔k∈N*时,bn=2﹣n．∴n=2k〔k∈N*时,Tn=T2k=〔b1+b3+…+b2k﹣1+〔b2+b4+…+b2k=++…+=2k﹣k2+=2k﹣k2+=+．n=2k﹣1〔k∈N*时,Tn=Tn﹣1+bn=++2﹣n=1﹣+．[点评]本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．20．〔13分〔2016•二模已知函数f〔x=x2﹣2lnx﹣2ax〔a∈R．〔1当a=0时,求函数f〔x的极值；〔2当x∈〔1,+∞时,试讨论关于x的方程f〔x+ax2=0实数根的个数．[考点]6D：利用导数研究函数的极值；54：根的存在性及根的个数判断．[分析]〔1将a=0代入f〔x,求出f〔x的导数,解关于导函数的不等式,得到函数的单调区间,求出函数的极值即可；〔2令g〔x=f〔x+ax2=〔a+1x2﹣2lnx﹣2ax,x∈〔1,+∞,求出g〔x的导数,通过讨论a的围,确定g〔x的单调性,求出函数的最值,从而判断函数的零点即方程的实数根的个数．[解答]解：〔1a=0时,f〔x=x2﹣2lnx,〔x＞0,f′〔x=2x﹣=,令f′〔x＞0,解得：x＞1,令f′〔x＜0,解得：x＜1,∴f〔x在〔0,1递减,在〔1,+∞递增,∴f〔x极小值=f〔1=1,无极大值；〔2令g〔x=f〔x+ax2=〔a+1x2﹣2lnx﹣2ax,x∈〔1,+∞,g′〔x=2〔a+1x﹣﹣2a=,①当﹣≤1即a≤﹣2,或a≥﹣1时,g′〔x＞0在〔1,+∞恒成立,g〔x在〔1,+∞递增,∴g〔x＞g〔1=1﹣a,若1﹣a≥0,即a≤1时,g〔x＞0在〔1,+∞恒成立,即程f〔x+ax2=0无实数根,若1﹣a＜0,即a＞1时,存在x0,使得g〔x0=0,即程f〔x+ax2=0有1个实数根,②当﹣＞1即﹣2＜a＜﹣1时,令g′〔x＞0,解得：0＜x＜﹣,令g′〔x＜0,解得：x＞﹣,∴g〔x在〔1,﹣递增,在〔﹣,+∞递减,而g〔1=1﹣a＞0,故g〔x＞0在〔1,﹣上恒成立,x→+∞时,g〔x=〔a+1x2﹣2lnx﹣2ax→﹣∞,∴存在x0,使得g〔x0=0,即方程f〔x+ax2=0在〔﹣,+∞上有1个实数根,综上：a≤﹣2或﹣1≤a≤1时,方程无实数根,﹣2＜a＜﹣1或a＞1时,方程有1个实数根．[点评]本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,考查分类讨论思想,是一道综合题．21．〔14分〔2016•二模已知抛物线C：y2=2px〔p＞0的焦点是F,点D〔1,y0是抛物线上的点,且|DF|=2．〔I求抛物线C的标准方程；〔Ⅱ过定点M〔m,0〔m＞0的直线与抛物线C交于A,B两点,与y轴交于点N,且满足：=λ,=μ．〔i当m=时,求证：λ+μ为定值；〔ii若点R是直线l：x=﹣m上任