应用统计学第4章

1本章教学目标：简要介绍概率的基础知识，主要供学员回顾复习概率知识的参考，为统计学内容的学习提供所需的基础知识；掌握查各种概率分布表时Excel统计函数的使用；能运用概率知识解决企业经营管理中的实际问题。运用动态模拟方法验证中心极限定理；项目投资决策的应用案例分析。第4章概率论基础2本章主要内容§4.1随机试验与随机事件§4.2概率§4.3随机变量及其分布函数§4.4离散型随机变量§4.5连续型随机变量§4.6随机变量的数学期望和方差§4.7大数定律和中心极限定理§4.8新产品投资决策案例分析

本章内容的重点：条件概率、事件的独立性、二项分布、正态分布、Excel统计函数的使用。3

在市场经济环境下，企业所面临的是充满不确定因素的市场经济环境，企业的任何决策都存在不同程度的风险。正确的决策可以为企业带来巨大的经济效益和发展机遇，但重大的决策失误也会给企业造成巨大的经济损失，并有可能使企业从此陷入困境甚至破产倒闭。因此，如何提高决策的科学性，并尽可能降低和规避决策的风险，是所有企业的高层经营管理决策者都面临的共性问题。利用概率论的知识，可以帮助决策者进行风险型决策分析，利用所能获得的各种信息，还可以大大降低决策的风险程度，尽可能避免重大的经济损失，并为企业带来可观的经济效益和良好的发展机遇。引言4光大电器公司开发了一种新型洗衣机，生产该洗衣机的经济规模为100万台/年，需要投入的生产线设备、模具、工装等固定投资费用为2000万元，项目的建设期为一年，固定投资费用在建设期初一次投入。产品投产时还需投入生产流动资金1000万元。由于洗衣机产品的技术进步较快，估计该产品的市场寿命期为5年，5年末固定资产残值为固定投资额的20%，流动资金可在寿命期末全部收回。由于洗衣机的市场竞争非常激烈，该新型洗衣机投入生产后的经济效益具有很大的不确定性。为了提高产品投资决策的科学性，该公司在决定是否投资生产该新型洗衣机之前，进行了一些市场调查预测和项目的经济可行性研究。项目投资实例5

市场调查和预测分析估计，产品上市后销售量将达到生产能力的80%以上（畅销）、50%～80%（销售一般）、不足50%（滞销）的可能性分别为40%、30%、30%。另经财务部门所作的财务预测分析，在产品出现”滞销”、”一般”和”畅销”三种销售状况下，该项目投产后的年净现金流量将分别为100万元、600万元和1000万元。考虑到筹资成本和资金的机会成本，贴现率应取6%。6为使对该新产品项目的投资决策更具科学性，总经理召开了有销售、生产、财务、技术等部门负责人参加的会议。会上销售部经理建议，为减小决策风险，应在决定是否投资生产前先利用原有设备进行少量试生产（100台），并将试生产的洗衣机免费赠送给不同地区的一些用户进行为期3个月的试用，以取得用户的反馈信息。为此，销售部经理还设计了用户试用后的信息反馈表，包括功能、使用效果、方便程度、外观、可靠性五大类共25个指标，每项指标都由用户按1～5分打分，加权平均后的满分为100分。根据用户试用后反馈结果的总平均分，可将用户对该洗衣机的评价分为”不满意”（低于60分）、”尚可”（60～90分）和”满意”（高于90分）三种可能结果。销售部经理的建议7

销售部经理认为，为减少决策风险，应根据对用户试用反馈情况进行分析后再作是否投资生产该洗衣机的决定。销售部经理还提供了过去许多企业在产品正式投产之前采用类似试用或试销方法的用户反馈结果与产品正式生产上市后销售状况之间的统计数据，见表1表1销售状况与试用结果间的统计资料8总经理指示财务部经理对销售部经理所提方案的费用进行估算。在下一次的会议上，财务部经理给出了试生产、分发用户试用及收集用户反馈信息等项工作的总费用估算结果，估计需要100万元。会上有人提出是否值得花100万元进行试生产并免费赠送用户试用，并展开了激烈的争论。总经理希望能对各种可行方案的风险及经济效益进行科学的分析与评价。如何进行科学决策？9

以上案例属于“有追加信息的风险型决策”问题，案例的分析需要用到一些概率知识，包括条件概率、全概率公式、贝叶斯公式和数学期望等，以及项目净现值等知识。在本章的最后一节，我们将运用所学的概率知识对该例进行分析，并且还将讨论信息的价值问题。10

一．随机试验人们在研究经济管理以及其他社会问题中，通常总是通过调查或对社会现象的观察来获取所研究问题的有关数据；在自然科学领域中，人们也是通过科学实验或对自然现象的观察来获取所需要的资料。对社会现象的观察和对自然现象的科学实验在概率论和统计学中都统称为试验。如果试验可在相同的条件下重复进行，而且试验的结果不止一个，每次试验前不能确定将会出现哪一结果，这样的试验就称为随机试验，简称试验。例如，在一批产品中任意抽取一件进行检验；企业市场调查人员就本企业的产品和服务进行的用户满意度调查；对某产品进行的寿命试验等等都是随机试验。§4.1随机试验与随机事件111．基本事件——试验中每一可能出现的结果，称为该试验的一个基本事件或样本点。2．复合事件——由多个基本事件构成的集合。基本事件和复合事件统称为随机事件，常用字母A，B，C，…

表示。3．样本空间——由试验E所有基本事件组成的集合，称为E的样本空间，常用字母S表示。4．必然事件——每次试验中必然发生的事件；样本空间S是必然事件。5．不可能事件——试验中不可能发生的事件；不含任何基本事件的空集是不可能事件；记为φ。二.随机事件12【例1】掷一枚骰子，观察出现的点数.

记A1为{出现偶数点}；A2为{小于4的点}，A3为{不超过6的点}，A4为{大于6的点}。则：S={1，2，3，4，5，6}；A1={2，4，6}；

A2={1，2，3}；A3=S；A4=φ【例2】在一批产品中连续抽取二次，每次任取一件进行检验，分别记T、F为抽到正品和次品，并记A1为{第一次抽到的是正品}，A2为{抽到一个正品}，A3为{两次抽到的质量相同}，则：

S={(T，T)，(T，F)，(F，T)，(F，F)}；

A1={(T，T)，(T，F)}；

A2={(T，F)，(F，T)}；

A3={(T，T)，(F，F)}13A

BBASA∪BABS1．事件的包含若A发生必然导致B发生，则称B包含A或A包含于B，记为B

A或A

B。2．事件的并“A与B至少有一个发生”的事件，称为A并B，记为A∪B三.事件间的关系和运算14A与B互斥AB3.事件的交“A与B同时发生”，称为A交B，记为A∩B或AB。ABAB4.互斥(互不相容)事件若A与B不能同时发生，即AB=φ，则称A与B互斥。显然，基本事件都是互斥的。155.事件的差“A发生而B不发生”的事件，称为A与B的差，记为A-B。A-BBA互逆事件A6.互逆(对立)事件

若试验中，A与B必有且仅有一个发生，即同时满足A∪B=S和AB=φ，则称A与B互逆(对立)，并称A是B的逆事件，反之亦然，记为167．事件运算的性质(1)交换律：A∪B=B∪A；AB=BA(2)结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(AB)C=A(BC)(3)分配律：

(A∪B)C=(AC)∪(BC)(AB)∪C=(A∪C)(B∪C)(4)对偶律：ABC(A∪B)CABC(AB)∪C17【例3】如何表示复杂事件

在一批产品中连续抽检3个产品，记Ai={第i个是次品}，i=1,2,3,用Ai间的关系表示以下事件：

(1)至少有一个次品：A1∪A2∪A3A1A2A3(4)至少有一个正品：(3)3个都是正品：(2)3个都是次品：

其中(1)与(3)是互逆事件，(2)与(4)也是互逆事件。18课堂练习1

在一批产品中连续抽取3个产品进行检验，记Ai={第i个抽到的是次品}，i=1,2,3。试用Ai间的运算关系表示以下事件：

(1)至少有一个正品；(2)全部是正品；

(3)恰有一个次品；(4)不多于2个次品；

(5)不多于2个正品；(6)不多于1个次品。19一．频率与概率在日常生活、经济管理和科学研究中，人们经常需要了解今后某些事情或结果发生可能性的大小，以便为应采取的决策提供依据。如新产品上市后有多大可能性会畅销和滞销，购买彩票中奖的可能性等等。概率也就是通常所说的事情发生的可能性大小。事件的概率与在重复试验中该事件出现的频率之间有着非常密切的关系。§4.2概率201.频率

对于随机事件A，在一次试验中我们无法预言它是否会发生，但是在相同条件下的重复试验的次数n充分大以后，可以发现事件A发生的次数nA与试验次数n之比将在某个确定值附近波动，这一比值就称为事件A发生的频率，记为fn(A)。显然，频率具有以下性质：

(1)0≤fn(A)≤1(2)fn(S)=1；fn(Φ)=0(3)若AB=Φ，则fn(A∪B)=fn(A)+fn(B)21

2.概率

由于频率并非是一个稳定的值，因此用它来刻画事件发生的可能性大小是有缺陷的。人们发现，随着重复试验次数的增多，事件A发生的频率fn(A)就逐渐稳定地趋于某个常数P(A)附近，这一客观存在的常数P(A)就称为事件A的概率。例如，不断掷一枚匀质硬币，则随着抛掷的次数增加，我们可以发现硬币落地后正面（或反面）朝上的次数占总的抛掷次数的比例会逐渐稳定地趋于1/2，因此掷一枚匀质硬币落下后正面朝上的概率就是0.5。由于频率与概率的密切关系，因而在实际应用中，当无法由理论上确知某些事件的概率时，就可以用事件发生的频率作为其概率的估计值223.概率的性质(1)0≤P(A)≤1(2)P(S)=1；P(φ)=0(4)若AB=φ，则P(A∪B)=P(A)+P(B)

(*)(5)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

(*)

性质(4)称为概率的加法定理，还可以推广到多个事件的场合。

性质(5)称为概率的广义加法定理。23课堂练习2：广义加法定理的推广设A、B、C为任意三个事件，P(A)、P(B)、P(C)、P(AB)、P(AC)、P(BC)、P(ABC)都已知，求P(A

BC)24某汽车零件厂生产为某汽车发动机企业配套的活塞销，以每箱500件出厂，主机厂对该厂的活塞销采用如下抽样检验方法：从一箱中任取10件进行检验，只要发现次品就判定该箱产品不合格并作退货处理，如果退货率超过2%，则该厂将被取消供货资格。目前该厂出厂活塞销的次品率为0.4%。该厂产品遭退货的概率有多大？该厂产品的质量是否有待进一步提高？为满足主机厂的供货质量要求，该厂出厂产品的次品率至少应降低到什么水平？案例125

称满足以下条件的试验为古典概型：(1)试验的样本空间仅有有限个基本事件；(2)试验中每一基本事件发生的概率相等。古典概型中事件的概率计算公式：4.等可能概型(古典概型)26【例4】古典概型概率的计算在100件产品中有5件是次品，从中任取10件，求以下事件的概率：(1)A={全为正品}，(2)B={恰有1件次品}，(3)C={至少有3件次品}，(4)D={至少有1件次品}。27(1)取到的10件正品只能从95件正品中抽取，共有解：将每一种可能的取法作为一个基本事件(2)1件次品是从5件次品中抽得的，另9件是从95件正品中抽取的，共有

种不同取法；样本空间总数为，故P(A)==0.5838种不同取法，故P(B)=

=0.339428古典概型概率的计算(3)∵{至少有3件次品}={恰有3件次品}∪{恰有4件次品}∪{恰有5件次品}，且以上等式右边三个事件是互斥的，故

=0.0066(4)显然，D=，故

P(D)=P()=1-P(A)=1-0.5838=0.416229该厂出厂产品的次品率为0.4%，每箱500件，即每箱中平均有2件次品，498件正品。从一箱中任取10件检验，发现次品则判定该箱产品不合格并作退货处理。则该厂产品遭退货的概率为P{次品数

1}。P{次品数

1}=1-P{0个次品}=

该厂遭退货的概率为3.964%，不能达到主机厂的质量要求，将面临被取消供货资格的危险。=0.03964案例1解答30该厂产品的次品率至少应控制在什么水平之下？

通过计算，要保持该主机厂供货商的资格，该厂出厂产品的次品率至少应降低到0.2%以下（每箱中平均只有1件次品，499件正品），才能满足主机厂的质量检验要求。

P{次品数

1}=1-P{0个次品}==0.0231某地区死亡人口统计资料表明，该地区人口死亡年龄不低于60岁的占80%，死亡年龄不低于80岁的占20%。问：该地区现年60岁的人能活到80岁的概率是多少？案例2321．定义设A、B是两个事件，且P(A)>0，称在A已发生的条件下B发生的概率为B对A的条件概率，记为P(B|A)。【例5】产品抽样检验问题已知10件产品中有3件是次品，从中先后抽取2件，作不放回抽样，求第一次取到次品后，第二次再取到次品的概率。解：设A={第一次取到的是次品}，B={第二次取到的是次品}，当A发生后，还剩下9件产品，其中有2件次品，故P(B|A)=2/9二.条件概率332.概率的乘法公式设A、B为两个事件，且P(A)>0，则

P(AB)=P(A)P(B|A)(*)由概率的乘法公式，可得求条件概率的如下公式：(*)34【例6】在例5所给问题中，求抽到的二件都是次品的概率。解：由题意，即要求P(AB)，

P(AB)=P(A)P(B|A)=3/10×2/9=1/1535某地区死亡人口统计资料表明，该地区人口死亡年龄不低于60岁的占80%，死亡年龄不低于80岁的占20%。问：该地区现年60岁的人能活到80岁的概率是多少？解：设A={寿命

60},B={寿命

80}，求P(B|A)。

BA，∴P(AB)=P(B)ABP(AB)=P(B)P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(B)/P(A)=0.2/0.8=0.25案例2解答36

统计资料表明，某地癌症发病率为千分之五，现该地区正进行癌症普查。普查试验的结果为阴性或阳性。以往的临床资料表明，癌症患者试验反应为阳性的概率是0.95，健康人试验反应呈阳性的概率是0.04。问：(1)当某人试验反应为阳性时他确患癌症的概率；(2)试验反应为阴性者患癌症的概率。案例3373．全概率公式

若A1,A2,A3,…,An为样本空间S的一个完备事件组，即满足条件：(1)A1∪A2∪A3∪…∪An=S(2)AiAj=φ，i≠j；i,j=1,2,3,…,n(3)P(Ai)>0，i=1,2,3,…,n

A2A1A2A3A5A6A4AnB则对任一事件B，都有(*)384．贝叶斯(Bayes)公式若A1,A2,A3,…,An

为样本空间S的一个完备事件组，则对任一事件B,(P(B)>0),有i=1,2,…,n(*)

贝叶斯公式在风险型决策中有非常重要的应用，详见本章最后的案例。39【例7】贝叶斯公式的简单应用某产品由甲、乙、丙三个班组生产，甲、乙、丙班的产量分别占全部产量的50%、30%和20%；次品率分别为2%、3%和1%。现任取1件进行检验，求：(1)抽到的是甲班生产，且是次品的概率；(2)抽到次品的概率；(3)若抽到的是次品，求该次品是丙班生产的概率。40解：记A1，A2，A3，分别为抽到的产品是甲班、乙班、丙班生产的，B={抽到的是次品}。(1)由概率的乘法公式，

P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=0.50×0.02=0.01(2)由全概率公式

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)

=0.5╳0.02+0.3╳0.03+0.2╳0.01=0.021(3)由Bayes公式41Bayes公式更主要的应用是风险型决策分析。在通过试验能获取追加信息的条件下，修正所研究问题的概率分布，达到降低风险，获得更大效益的目的。在Bayes公式中各事件和概率都有特殊的意义，其中：P(Ai)——称为事件Ai的先验概率，由过去的统计资料或根据经验估计得到；B——为某一试验可能出现的结果之一；P(B|Ai)——已知的条件概率，由该类试验的统计资料获得，反映了试验的精度(所提供追加信息量的大小)。P(Ai|B)——称为后验概率，即当试验出现结果B时，对Ai概率分布的修正。关于Bayes公式42

统计资料表明，某地癌症发病率为千分之五，现该地区正进行癌症普查。普查试验的结果为阴性或阳性。以往的临床资料表明，癌症患者试验反应为阳性的概率是0.95，健康人试验反应呈阳性的概率是0.04。问：(1)当某人试验反应为阳性时他确患癌症的概率；(2)试验反应为阴性者患癌症的概率。案例3解答43记：A1={癌症患者}，A2={健康人}，

B1={反应阳性}，B2={反应阴性}由题意可知，P(A1)=0.005，P(A2)=0.995，P(B1|A1)=0.95，P(B2|A1)=0.05，P(B1|A2)=0.04，P(B2|A2)=0.96，由全概率公式：P(B1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)=0.005×0.95+0.995×0.004=0.04455

P(B2)=1-P(B1)=1-0.04455=0.95545。由Bayes公式可得

即普查试验反应为阳性者确患癌症的概率是10.66%，而反应为阴性者患癌症的概率为万分之2.6。44若事件A发生的概率不受B是否发生的影响，反之亦然，则称事件A与B相互独立。即

P(B|A)=P(B)(*)

P(A|B)=P(A)由P(AB)=P(A)P(B|A)，可得A、B独立等价于

P(AB)=P(A)P(B)

(*)三.事件的独立性45【例8】不同抽样方法的差异

已知10件产品中有二件次品，分别采用放回抽样和不放回抽样方法，从中任取二件，求抽到的都是次品的概率。解：记A={第一次抽到的是次品},

B={第二次抽到的是次品}。(1)采用放回抽样，A、B独立，则

P(AB)=P(A)P(B)=2/10×2/10=0.04(2)不放回抽样,A、B不独立，则

P(AB)=P(A)P(B|A)=2/10×1/9=0.02246课堂练习3

用甲,乙两种防空导弹同时向一架入侵的敌机射击。已知甲导弹的命中率为0.6，乙导弹的命中率为0.7，求敌机被击中的概率。47一．随机变量任何随机试验的试验结果，都可以定量化并用随机变量表示。例如，在灯泡寿命试验中，令X为“灯泡寿命”(小时)，则X为一随机变量。{X>500}，{X≤1000}，{800<X≤1200}等表示了不同的随机事件。§4.3随机变量及其分布函数481．分布函数

设X是一随机变量，x是任意实数，称函数

F(x)=P{X≤x}(*)为X的分布函数。显然，对任意实数x1<x2，有

P{x１<Ｘ≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1)(*)2．分布函数的性质(1)0≤F(x)≤1；x∈(－∞,＋∞)(2)对任意x1<x2，F(x1)≤F(x2)(3)

49一．离散型随机变量的概率分布1．离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量X的所有可能取值为xk，记

P{X=xk}=Pk

，k=1,2,…称上式为X的概率分布或分布律，简称分布。2．概率分布的性质

(1)0≤Pk≤1；k=1,2,…(2)

Pk=1(3)§4.4离散型随机变量50将E独立地重复进行n次，令X为“事件A发生的次数”，则若试验E仅有两个可能结果A和,记P(A)=p，P()=1-p=q，(0<P<1)q=1-P，k=0,1,2,…,n

称X服从二项分布(Binomialdistribution)，记为X～B(n,p)

由于上式中的第k项恰好是二项式(p+q)n展开式中的第k项，故称之为二项分布。二.二项分布51【例9】设某台设备所加工产品的次品率为0.02，求90件产品中次品数≥2的概率。解：将加工90件产品视为90重贝努利试验，令X为次品数，由题意，p=0.02，q=0.98,则P{X≥2}=1-P{X=0}-P{X=1}52可用Excel的BINOMDIST函数求解二项分布问题BINOMDIST函数的语法规则：格式：BINOMDIST(k,n,p,逻辑值)功能：当第4个参数的逻辑值为1时，返回二项分布的累积概率P{X≤k}的值；当逻辑值为0时，返回二项分布的概率P{X=k}的值。53

某加工零件的机加工车间有30台相同型号的机床，每台机床运行时的电耗为2千瓦。由于装拆零件等辅助时间的原因，每台机床在工作日中平均有30%的时间处于停止运行状态下。该车间现由一台功率为40千瓦的变压器供电。根据供电负荷规范要求，该车间在工作日中用电量超过供电负荷的概率不能大于10%。试借助Excel进行分析：

(1)现有的变压器能否满足要求？

(2)该车间至少应配置多大功率的变压器才能满足需要？案例4车间用电负荷问题54

设X为该车间在工作日中任一时刻正在运行的机床数，由于各机床的运行与否是独立的，故

X～B(n，p)，其中n=30，p=1-0.3=0.7

该车间现配置的变压器供电量能满足同时运行的机床数为：40/2=20台，使用Excel

的BINOMDIST函数，可求得：

P{X≤20}=0.41<0.9

故现有的变压器不能满足要求。同时可得P{X≤23}=0.84<0.9,P{X≤24}=0.92>0.924台×2千瓦/台=48千瓦故该车间应配置至少48千瓦的变压器才能满足要求。案例4分析55一．连续型随机变量的概率密度1．定义对连续型随机变量X，如果存在非负可积函数ƒ(x)，使得对任意实数x，有

则称ƒ(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度。§4.5连续型随机变量562．概率密度的性质(4)若ƒ(x)在点x处连续,则：

由(3)式可知，X的分布函数F(x)的值，以及X落在区间(x1，x2]上的概率，就是相应区间上概率密度曲线下的面积，见下图所示。57分布函数和密度函数的关系f(x)xx0(*)f(x)xb0a581．指数分布若随机变量X的概率密度为其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布（Exponentialdistribution）。不难求得指数分布的分布函数为：二．几种重要的连续型分布59指数分布的应用通常产品的无故障工作时间服从指数分布，其参数

就是失效率，1/

则是平均无故障工作时间。【例10】设某品牌彩电无故障工作时间服从λ=1/2000的指数分布。求该种彩电无故障工作时间不少于1000小时的概率。解：设X为该彩电的无故障工作时间，则P{X≥1000}=1-P{X≤1000}=1-F(1000)=1-(1-e-1000/2000)=e-0.5=0.606560可用Excel的EXPONDIST函数求解指数分布问题EXPONDIST函数的语法规则：格式：EXPONDIST(x,λ,逻辑值)功能：当逻辑值为1时，返回指数分布的分布函数P{X≤x}的值；当逻辑值为0时，返回指数分布的密度函数值。61设随机变量X的概率密度为其中、为常数，且

>0，则称X服从参数为

,

的正态分布(Normaldistribution)，记为X∼N(

,

2)。正态分布密度函数的图形见下图所示。2．正态分布62正态分布密度函数的图形xf(x)0=0.5=1=2

0f(x)x

1

2动态演示63(1)正态分布密度函数的性质①ƒ(x)在x=μ处达到最大值，x离μ越远，f(x)的值越小，且以x轴为渐近线；②曲线关于x=μ对称；③

越小，曲线越陡峭，

反映了X取值的离散程度；④对相同的

，改变μ值相当于曲线的平移。64(2)标准正态分布

称

=0，

=1的正态分布为标准正态分布，记为Z～N(0,1)，其密度函数和分布函数分别记为φ(x)

和

(x)。

(3)正态分布表的使用正态分布表给出的是标准正态分布的分布函数的值

(x)

。查正态分布表时常要用到以下关系(*)①P{Z≤a}=(a)

②P{Z>a}=1-(a)

③P{a<Z≤b}=(b)-(a)

④(-a)=1-(a)

0a-aφ(x)(-a)1-(a)x65【例11】设X∼N(0,1)，求①P{X≤1.89}，

②P{X>-2.13}，③P{-0.97<X≤2.35}解：查表可得：①P{X≤1.89}=

(1.89)=0.9706②P{X>-2.13}=1-

(-2.13)=

(2.13)=0.9834③P{-0.97<X≤2.35}=

(2.35)-

(-0.97)=

(2.35)-(1-

(0.97))=0.9906-1+0.8340=0.824666

设某厂生产的某种电子产品的寿命服从μ=8年，

=2年的正态分布，问

(1)该产品寿命小于5年的概率是多少？

(2)寿命大于10年的概率是多少？

(3)厂方要对外承诺，若该产品在保用期内失效可免费更换，厂方希望将产品的免费更换率控制在1%以内，问保用年限最长可定为几年？案例5保用年限应定为几年？67(5)非标准正态分布的标准化变换

设X∼N(,2)，则

∼N(0,1)(*)上式就称为正态分布的标准化变换。68(6)非标准正态分布的查表设X∼N(,2)，则计算时可运用以下关系(*)：69设某厂生产的某种电子产品的寿命服从μ=8年，

=2年的正态分布，问(1)该产品寿命小于5年的概率是多少？(2)寿命大于10年的概率是多少？(3)厂方要对外承诺，若该产品在保用期内失效可免费更换，厂方希望将产品的免费更换率控制在1%以内，问保用年限最长可定为几年？案例5解答70设X为该产品的使用寿命，则X∼N(8,22)(3)设保用年限最长可定为n年，则由题意查表得：(8-n)/22.33，得n

3.34，取n=3，故保用年限最长可定为3年。71可用Excel的NORMDIST函数求解正态分布问题NORMDIST函数的语法规则：格式：NORMDIST(x,μ,σ,逻辑值)功能：当逻辑值为1时，返回正态分布的分布函数P{X≤x}的值；当逻辑值为0时，返回其密度函数值。72【例12】设X∼N(,2),求：(1)P{

-<X<+}，

(2)P{

-2<X<+2}，(3)P{

-3<X<+3}解：P{

-<X<+}=(1)-(-1)=2(1)-1=0.6826

同理可得：

P{

-2<X<+2}=2(2)-1=0.9544P{

-3<X<+3}=2(3)-1=0.9974μ-3

μ+3

0.9974

X落在(

-3,+3

)内的概率为99.74%，落在该区间外的概率仅为0.26%，几乎是不可能事件。正态分布的这一性质称为“3

法则”，在质量管理中常运用这一法则判断生产过程是否出现异常。3

法则73课堂练习4

某台加工缸套外径的机床，当将尺寸定位在μ时，所加工的缸套外径尺寸X~N(μ,σ2)，其中σ=0.01(mm)，缸套外径的允许公差为0.02(mm)，求

(1)该机床加工缸套的合格率；

(2)当σ=0.007时，所加工缸套的合格率又为多少?

由本题的计算结果，可知正态分布中的参数σ反映了该机床的什么指标?74(7)正态分布的性质

且X与Y独立，则①若，，②设,且相互独立，

i=1,2,…,n，则75一．数学期望1．离散型随机变量的数学期设离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=Pk，k=1,2,…，称级数

为X的数学期望，简称均值。由定义可知，离散型随机变量的数学期望，就是以概率Pk为权数，对X的所有可能取值的加权平均值，故期望也称为均值。§4.6数学期望和方差762．连续型随机变量的数学期望

连续型随机变量的数学期望为：

若X∼N(μ,σ2)，则E(X)=μ3．数学期望的性质设c，k，b为常数，X，Y为随机变量

(1)E(C)=C；

(2)E(kX)=kE(X)；

(3)E(kX＋b)=kE(X)+b；

(4)E(X±Y)=E(X)±E(Y)；

(5)若X，Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y)77方差是反映随机变量取值离散程度的数字特征。1．定义对随机变量X，若

E{[X-E(X)]2}存在，则称它为X的方差，记为D(X)或Var(X),即

D(X)=E{[X–E(X)]2}并称为X的标准差。标准差与X具有相同的量纲。二.方差78

设c，k，b为常数，X，Y为随机变量(1)D(c)=0；(2)D(kX)=k2D(X)；D(kX＋b)=k2D(X)(3)若X、Y独立，则：

D(X±Y)=D(X)＋D(Y)2．方差的性质79

设随机变量Xi(i=1,2,…,n)相互独立，且具有有限的数学期望和方差，若每个Xi对总和

Xi

的影响不大，则随机变量

Y=Xi

就近似服从正态分布分布。在自然界和社会经济领域中，大量的随机现象都是由许多独立的随机因素的共同影响所造成的。中心极限定理说明了大量随机现象都服从或近似服从正态分布的原因。这也是在统计学中通常都假定总体服从正态分布的理论依据。中心极限定理的验证§4.7大数定律和中心极限定理80光大电器公司开发了一种新型洗衣机，生产该洗衣机的经济规模为100万台/年，需要投入的生产线设备、模具、工装等固定投资费用为2000万元，项目的建设期为一年，固定投资费用在建设期初一次投入。产品投产时还需投入生产流动资金1000万元。由于洗衣机产品的技术进步较快，估计该产品的市场寿命期为5年，5年末固定资产残值为固定投资额的20%，流动资金可在寿命期末全部收回。由于洗衣机的市场竞争非常激烈，该新型洗衣机投入生产后的经济效益具有很大的不确定性。为了提高产品投资决策的科学性，该公司在决定是否投资生产该新型洗衣机之前，进行了一些市场调查预测和项目的经济可行性研究。项目投资决策实例81

市场调查和预测分析估计，产品上市后销售量将达到生产能力的80%以上（畅销）、50%～80%（销售一般）、不足50%（滞销）的可能性分别为40%、30%、30%。另经财务部门所作的财务预测分析，在产品出现”滞销”、”一般”和”畅销”三种销售状况下，该项目投产后的年净现金流量将分别为100万元、600万元和1000万元。考虑到筹资成本和资金的机会成本，贴现率应取6%。82为使对该新产品项目的投资决策更具科学性，总经理召开了有销售、生产、财务、技术等部门负责人参加的会议。会上销售部经理建议，为减小决策风险，应在决定是否投资生产前先利用原有设备进行少量试生产（100台），并将试生产的洗衣机免费赠送给不同地区的一些用户进行为期3个月的试用，以取得用户的反馈信息。为此，销售部经理还设计了用户试用后的信息反馈表，包括功能、使用效果、方便程度、外观、可靠性五大类共25个指标，每项指标都由用户按1～5分打分，加权平均后的满分为100分。根据用户试用后反馈结果的总平均分，可将用户对该洗衣机的评价分为”不满意”（低于60分）、”尚可”（60～90分）和”满意”（高于90分）三种可能结果。销售部经理的建议83

销售部经理认为，为减少决策风险，应根据对用户试用反馈情况进行分析后再作是否投资生产该洗衣机的决定。销售部经理还提供了过去许多企业在产品正式投产之前采用类似试用或试销方法的用户反馈结果与产品正式生产上市后销售状况之间的统计数据，见表1表1.销售状况与试用结果间的统计资料84总经理指示财务部经理对销售部经理所提方案的费用进行估算。在下一次的会议上，财务部经理给出了试生产、分发用户试用及收集用户反馈信息等项工作的总费用估算结果，估计需要100万元。会上有人提出是否值得花100万元进行试生产并免费赠送用户试用，并展开了激烈的争论。总经理希望能对各种可行方案的风险及经济效益进行科学的分析与评价。如何进行科学决策？851.投产后各种销售状况下的项目净现值

记PWj(i),j=1,2,3分别为滞销,一般和畅销时的项目净现值。PW1(6)=-2000-1000×1.06-1+100×1.06-2+100×1.06-3+100×1.06-4+100×1.06-5+1500×1.06-6=-1559PW2(6)=-2000-1000×1.06-1+600×1.06-2+600×1.06-3+600×1.06-4+600×1.06-5+2000×1.06-6=428同理可得PW3(6)=20180123456200010001001001001001500滞销时的项目现金流量图案例分析86记X为该产品的未来销售状况，X1、X2、X3分别代表滞销、一般和畅销。并记V1(X),V2(X)分别为投产和不投产两种决策方案的