2025年中考数学复习：二次函数新定义型综合问题（3题型）（解析版）

抢分秘籍15二次函数新定义型综合问题（压轴通关）

目录

【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）

中考预测

二次函数新定义型综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因

为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

i.从考点频率看，二次函数新定义型综合问题是数学的基础，也是高频考点、必考点。

2.从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少!

・（抢分通关

题型一新定义型二次函数之共生或伴随抛物线

典例精讲

【例1】（新考法，拓视野）（2024•江西九江•一模）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，二次函数的

二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为"共生抛物线”，如抛物线j=0.5%2与y=lx?是共生抛物

线，已知抛物线G：y=-g（x+2Y+l的顶点是点尸，它的共生抛物线C?的顶点是Q

⑴点尸的坐标是—，点。的坐标是，抛物线C?的函数关系式是

⑵直线y=机与抛物线C］、C2均有两个交点，这些交点从左到右分别是/、B、C、D.

①求加的取值范围二

②若4B=CD,求加的值；

2

【答案】⑴(-2,1),(2,-1),C2:y=|(x-2)-l

⑵①加＞-1；②-1

【分析】本题考查了二次函数的新定义，正确利用二次函数的图像与性质是解决问题的关键.

(1)根据共生抛物线的定义，可以得到C,顶点坐标和解析式；

(2)找出临界状态，即与两条抛物线相切时，利用A=0,求出此时加的值，即可求出4个交点加的取值

范围；

(3)采取"化斜为直”的思想，将斜线段转化为直线段的处理，利用一元二次方程根与系数的关系即可求解.

【详解】(1)解：抛物线C］：y=-；(x+2)2+l的顶点是点尸，

尸(-2,1),

；G、C2是共生抛物线，

由于共生抛物线二次项系数互为负倒数，

3

・・・G中的。=5，

3

：x2

*,-c2y=-(-)t,

2

故答案为：(-2,1),(2,-1),C2：J=|(X-2)-1.

y=m

有｛21,，

y=_](x+2)+1

整理的：2x2+8x+5-3m=0,

由A=0得：64-8(5-3m)=0,解得加=7；

y=m

尸箝一2）'］，

、乙

整理得：3x2-12x+10-2m=0,

由A=0得：144一12（10-2机）=0,解得用=-1；

当直线＞=仅绕点。顺时针旋转即有4个交点，此时机＞7.

②设点/、8横坐标分别为再外，C、。横坐标分别为无3,%

由AB=CD得：上一%|=%—匕|，

%-4/工2='（工3+无4）~_4无3》4

y=m

联立27\21

y=-§(x+2)+i

整理得：2x2+8x+5-3m=0

5-3m

/+x=-4,xx

2x22

y=m

y=g(x_2y_］，

整理得：3x2-l2x+l0-2m=0,

,l0-2m

x3+x4=4,七%-"

I/5-3ml0-2m

l6-4x---

3

解得：m=-1

通关指导

本题考查了二次函数的新定义，正确利用二次函数的图像与性质是解决问题的关键.

【例2】（2023•江苏泰州•二模）在平面直角坐标系中，对于函数必uad+fex+c,其中。、b、c为常数，。工〜

定义：函数%+bx+a是必=加+6x+c的衍生函数，点M（a,c）是函数%=。尤2+&X+C的衍生点，设函

数必=ax2+bx+c与其衍生函数的图象交于/、8两点（点N在点3的左侧）.

⑴若函数％=a/+8+c的图象过点C（-l,3）、其衍生点M（l,。），求函数弘=汗+&+。的解

析式；

⑵①若函数％="+bx+c的衍生函数为%=2x-l,求/、2两点的坐标；

②函数必=a/+6x+c的图象如图所示，请在图中标出点/、3两点的位置；

⑶是否存在常数6,使得无论。为何值，函数弘=a/+6x+。的衍生点M始终在直线上，若存在，请求

出6的值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴M=d-4x-2

⑵①/（-1，-3）,5（1,1）；②见解析

⑶存在，-1

【分析】本题是新定义题，考查了二次函数的图象与性质，正确理解定义是解答本题的关键.

（1）由衍生点M0，c）,知。=1,然后用待定系数法求函数弘=尔+乐+。的解析式；

（2）①由衍生函数的定义求出％=ax，fcv+c,联立必=ax?+6x+c与%=2x-l,解方程组即可求得力、

B两点的坐标；

②仿照①的过程求解即得；

（3）求出直线的表达式，代入点即可求得6的值.

【详解】（1）,函数必=a/+6x+c的衍生点c）,

..Cl—\,

函数必=ax2+bx+c的图象过点C（T3）、D（l,-5）,

Jl-6+c=3

11+6+。=-5'

函数必=ax2+bx+c的解析式为必二/一4%一2；

(2)①:函数必=ax2+bx+c的衍生函数为%=2%T,

2

y1=-x+2x,

—+2x—2x—1,

..x——1x=1,

1,—3),3(1,1)；

②由图象结合(1)得%=%2—4x—2,

%=—212—4x+1,

%2—4x—2——2%2—4x+1,

..x——1X=1,

.”(—1,3),5(1,-5),如图所示；

21

(3)丁点yx=ax+bx+c,y2=cx+bx+a,

ax2+bx+c=ex2+bx+a，

，x=-1或x=l,

/.AQ—6+c),8(1,a+6+c),

设直线45的表达式为歹=履+加，

[~k+m=a-b+c

\k+m=a+b+c'

\m=a+c

:.y=bx+a+c,

代入得，c=ab+a+c,

a(b+1)=0,

「a是任意实数,

.,.6+1=0,

:.b=-\.

名校模拟

1.新定义：我们把抛物线y=af+8+c(其中仍片0与抛物线>=6/+ax+c称为"关联抛物线"，例如，

抛物线y=2/+3x+l的“关联抛物线"为y=3f+2x+l已知抛物线£：y-Aax2+ax+4a-3(a>0)的“关联

抛物线”为。2，。与y轴交于点£.

⑴若点E的坐标为(0,-1),求G的解析式；

⑵设。2的顶点为R若跖是以。歹为底的等腰三角形，求点£的坐标；

⑶过X轴上一点P,作X轴的垂线分别交抛物线£,c2,于点M,N.

①当跖V=6时，求点尸的坐标；

②当a-4WxVa-2时，C2的最大值与最小值的差为2a,求。的值.

(1)y=2x2+—x

⑶①尸(TO)或尸(2,0),②2-亚或亚

【分析】(1)根据“关联抛物线”的定义可直接得出c2的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出G的

顶点坐标；

(2)根据“关联抛物线”的定义可得C?的解析式，之后得到函数的顶点，过点尸作切，V轴于点H,连接,

进而得到。£,EH,FH,于是根据斯2=。炉即可得到结论；

(3)①设点P的横坐标为冽，则可表达点/和点N的坐标，根据两点间距离公式可表达的长，列出

方程，可求出点尸的坐标；

②当a-4V-2Va-2时得出。2的最大值和最小值，进而列出方程，可求出。的值.

【详解】(1)解：与夕轴交点的坐标为£(0,-1),

/.4a-3=-l,解得a=L

2

的解析式为歹=2/+；尤_1；

(2)解：根据“关联抛物线”的定义可得G的解析式为了=办,+4办+40-3,

*.*y=ax2+4ax+4tz-3=^z(x+2)2-3,

・・・。2的顶点少的坐标为(-2,-3)

易得点E（0,4a-3）,

过点尸作尸段轴于点“，连接EF.

图”

OE=3—4。，EH=4。，FH=2,

♦：OE=EF,

/.EF2=OE-,即2。+（4a）2=（3-4a）2.

解得。=三，

24

...点E的坐标为［。，-'}

（3）解：①设点尸的横坐标为冽，

•・,过点尸作X轴的垂线分别交抛物线G，。2于点M，N,

M^m,4am2+即2+4〃-3）,N^m,am2+4am+4a-3^,

MN=\^am+々加+4〃一3—（am+4am+4a-^=|3am-3Q",

*：MN=6a,

/.^am2-3aH=6a,解得切=—1或加=2,

・・・P（—1,O）或P（2,0）；

②vC2的解析式为"a（%+2）2-3,

・，・当x=-2时，y=-3,

当x=a-4时，y=a（a-4+2）2-3=a^a-2^2-3；

当x=a-2时，y=a（a-2+2）-3=/—3.

根据题意可知，需要分三种情况讨论：

I.当。一4＜一2＜〃一2时，0＜。＜2,且当0＜〃41时，函数的最大值为〃（〃一2）2一3；函数的最小值为-3.

2）—3—（—3）=2〃,解得a=2-或〃=2+V^（舍）或〃=0（舍）；

当1＜。＜2时，函数的最大值为/_3,函数的最小值为-3.

a3-3-(-3)=2a,解得q=后或.=_痣(舍)或。=0(舍)；

II.当-24°-440-2时，a>2,函数的最大值为/一3；函数的最小值为a(a-2)~-3,

a3—3—[a(a—2)—31=2a,解得a=5(舍)或a=0(舍)；

III.当a-44a-24-2时，a<0,不符合题意，舍去.

综上，。的值为2-血或血

【点睛】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及等腰三角形以及两点间距离公式，二次函数的图象

及性质，由“关联抛物线”的定义得出G的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键.

2.(2023•广东广州•一模)定义：在平面直角坐标系中，直线了=+左称为抛物线y=左的

2

伴随直线，如直线y=-(X+1)-2为抛物线y=-(x+l)-2的伴随直线.

(1)求抛物线了=2--4x+5的伴随直线；

⑵无论。取何值，抛物线G]：了=尔-2(a-l)x+a-2总会经过某定点，抛物线G2：y=m(x-l)(x-m-3)

的伴随直线经过该定点，求加的值；

⑶顶点在第一象限的抛物线y=-a(尤-厅+碗与它的伴随直线交于点A,B(点A在点8的左侧)，与x轴

负半轴交于点C,当NBZC=90。时，V轴上存在点尸，使得N4PB取得最大值，求此时点尸的坐标.

【答案】⑴>=2x+l

(2)m=-4或7=-2

【分析】(1)先化为顶点式，进而根据新定义，写出伴随直线解析式即可求解；

(2)根据抛物线解析式求得定点坐标，代入抛物线&的伴随直线解析式即可求解；

(3)根据题意写出线y=-a(尤-1丫+40的伴随函数，联立求出交点，在求出抛物线y=+4”与x

轴的交点，用勾股定理列出关于。的方程，求出。，先证明当//尸3取得最大值，ANB尸的外接圆与了轴相

切，根据题意画出图形，即可求解.

【详解】(1)角由：・・・y=2——4x+5=2(x—1『+3

・•・抛物线y=2/—4x+5的伴随直线为y=2(x—l)+3=2x+l

(2)角牟：y=ax1-2(6z—l)x+«-2

=ax2-2ax+2x+a-2

=Q(+l)+2(x_1)

=tz(x-l)2+2(x-l)

当x=l时，＞=o,与Q无关,

即抛物线过定点(1,0),

又「歹=加

=m\x2—mx—4x+m+3

=m(^x2-mx-4x^+m(m+3)

22

(,m

-m\2H---+-mm+3)

I2,I2,

m(m^\/x

・・・G2的伴随直线为:y=m\x—2--——mI2+—I+巩加+3)

2

2

将点(1,0)代入得，比］

1-2-ymf2+yj+m例+3)=0

\•加w0,

2

.•.一/2+—|+(冽+3)=0

解得：加=一4或加二一2

(3)•・•抛物线的解析式为：y=-〃(x-1『+4。,

・•・其伴随直线为V=-。(%-1)+4〃即歹=一女+5"，顶点坐标为(L4Q),

・・•抛物线顶点在第一象限,

•,Q>0,

y=-tz(x-l)2+4Q

联立抛物线与伴随直线的解析式为：

y=-ax+5a

玉—1x?—2

解得:

M=4〃y2=3a"

4(1,4〃),B(2,3a),

y=-6?(x-l)2+4a,令歹=0,

即0=-4(X-1)2+44,

解得：％=-1或x=3,

AC(-l,0),

2222

・•・"2=4+16/,AB=1+a,BC=9+9a,

ZCAB=90°,

AC2+AB2=BC2

即4+16/+1+/=9+9/,

解得：a=旦或a=一叵（舍去），

22

.•.当/。3=90°时，a=—.

2

设A4P3的外接圆为。。，当与了轴相切时，

在V轴上任意取一点尸，连接8尸交。。于一点G,则ZAGB=ZAFB+NF4G>ZAFB,

*.*ZAPS=ZAGB,

当ZAPB取得最大值，AABP的外接圆与V轴相切，

此时/。8=90。，

.hy/2=k+b

"\Q=-k+b

k=V2

解得：

b=E

y=y[2x+y/2,

设经过A4PB的外心0的直线解析式为>=J5x+s,

；/(1,2⑹,

k7

'3/7

**•AB中点坐标E为—,--—

(24J

.772372

••------=--------FS，

42

解得：s=,

4

・,•直线石。为：y=sfix+立~,

4

・・•尸轴，则

二・设。h也t+——，

解得:"一孚+:或，邛+:（舍去），

口+?五一旦里三"正

24J42

•,"［浮-6

【点睛】本题考查了二次函数综合运用，切线的性质，圆周角定理，三角形的外心的性质，新定义运算,

熟练掌握新定义以及二次函数的性质是解题的关键.

题型二新定义型二次函数之特殊形状问题

典例精讲

【例1】（新考法，拓视野）（23-24九年级上•浙江杭州•期末）定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口

方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”.

【概念理解】

(1)抛物线乂=2(尤-l)(x-2)与抛物线％=/-3尤+2是否围成"月牙线"？说明理由.

【尝试应用】

(2)抛物线％=g(x-l)2-2与抛物线了2=办2+法+。，>；］组成一个如图所示的“月牙线"，与X轴有相同

的交点M,N(点M在点N的左侧)，与了轴的交点分别为42.

①求Q：6：C的值.

②已知点P(/，M和点。(/,〃)在〃月牙线〃上，m>n,且冽-〃的值始终不大于2,求线段45长的取值范

围.

【答案】(1)抛物线必=2(x-1)(工-2)与抛物线%=——3X+2围成，，月牙线，，；(2)①a:6:c的值为1:(-2):(-3)；

②线段长的取值范围是0<AB&j.

【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理

解"月牙线”的概念.

(1)求出两抛物线与x轴的交点坐标，根据抛物线的开口方向相同，即可知抛物线M=2(x-l)(x-2)与抛物

线%=-—3x+2围成"月牙线";

1c,\b=-2a

(2)①求出抛物线必=3(X-1)2-2与x轴交点为(3,0)和(-1,0),代入％=加9+&+。求得_，据

/IC—JCI

此求解即可；

②先求得两抛物线的顶点坐标，再根据加-"的值始终不大于2,有<2,即

解得而5(0,-3«)；故/B=-g-(-3a)=3a-g,从而可得线段长的取值范围是

3

0<AB<-.

2

【详解】解:(1)抛物线乂=2(x-l)(x-2)与抛物线为=--3x+2围成"月牙线"；理由如下:

在M=2(x-l)(x-2)中，令y=0得x=l或x=2,

二抛物线乂=2(x-l)(x-2)与x轴的交点为(1,0)和(2,0)；

在％=x?-3x+2中，令y=0得x=l或x=2,

抛物线%=尤？-3x+2与x轴交点为(1,0)和(2,0),

抛物线V,=2(x-l)(x-2)与抛物线%=--3x+2与x轴有相同的交点,

又抛物线乂=2(x-l)(x-2)与抛物线外=--3x+2开口方向相同，

抛物线%=2(%-1)(%-2)与抛物线%=/-3尤+2围成“月牙线"；

(2)①在必=3(x—l)2_2中，令y=0得尤=3或x=—l,

•••抛物线必=g(x-Ip-2与x轴交点为(3,0)和(-1,0),

把(3,0)和(一1,0)代入为二加+乐+C得：

[9a+3b+c=0

\a-b+c=0'

a:b:c=a:(-2tz):(一3〃)=1:(-2):(-3)；

...a:6:c的值为1：(-2):(-3)；

22

(2)由①)知，y2=ax-2ax-3a=a(x-I)-4Q,

抛物线歹2—2ax-3a的顶点为(1,-4々)，

抛物线弘=-1)2-2的顶点为(1,-2),

/.-4。＜—2,

•二抛物线为=万(x—I)?—2在抛物线y2—ax?—2ax—3a上方；

1

=x2

/.m~(o-2,n=ax^-2ax0-3a,

113

=

YYI_z?—(XQ-1)2_2_(4ZXQ_2ax°_3a)—(——+(2a―1)/+3a—-9

.・"-〃的值始终不大于2,

整理得：2/-34+140,

解得LwaWl,

2

,1,

..—＜aW1；

2

iQ

在必=5(x—l)2—2中，令尤=0得＞=_],

在%=a--2ax-3a中，令％=0得y=-3。，

/.5(0,—3a)；

33

AB=---(一3。)=3。——,

22

—<6Z<1;

2

33

0<3cl--W一,

22

3

「•线段AB长的取值范围是0j.

通关指导

本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理

解“月牙线”的概念.

【例2】二次函数＞=--2小的图象交x轴于原点。及点A.

感知特例

（1）当机=1时，如图1,抛物线£:歹=/-2工上的点8,O,C,A,。分别关于点A中心对称的点为",

O',C,A',D，,如下表：

5(-1,3)0(0,0)C（『l）A(一,—)0(3,3)

9(5,-3)。'（4,0）C'(3,l)4(2。

①补全表格；

②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为少.

形成概念

我们发现形如（1）中的图象〃上的点和抛物线Z上的点关于点A中心对称，则称〃是上的"孔像抛物线例

如，当加=-2时，图2中的抛物线//是抛物线上的“孔像抛物线

探究问题

（2）①当,"=-1时，若抛物线工与它的“孔像抛物线"少的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围

为;

②在同一平面直角坐标系中，当初取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y=f-2mx的所

有“孔像抛物线"V，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是.（填"了=。尤2+bx+c"或"y=

或"y=ax2+c"或其中HcwO）；

③若二次函数y=f-2加x及它的"孔像抛物线"与直线＞=/有且只有三个交点，求机的值.

【答案】（1）①2,0；②见解析；（2）①-3VxV-l；@y=ax1-,③加=±1.

【分析】（1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；

（2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②结合（1）②的图象以及（2）①的图象即可回答；

③根据"孔像抛物线”的性质求得图象£的顶点为P（相，-m），则图象〃的顶点为P（3%,m2）,再根据题

意即可求解.

【详解】（1）;点、B（-l,3）与点9（5,-3）关于点/中心对称，

二点N的坐标为（匚”，三坦），即42,0）,

故答案为：2,0；

②描点，连线，得到的图象如图所示：

（2）①当加=-1时，抛物线上为y=x?+2x,对称轴为x=-l,

它的“孔像抛物线”，的解析式为了=-（尤+24x+4）,对称轴为》=一1=-3,

画出草图如图所示:

.♦•抛物线L与它的"孔像抛物线"'的函数值都随着x的增大而减小,

则x的取值范围为：-34x4-1；

由图象知，这条抛物线的解析式只能是了="2；

故答案为：y=ax2；

③£：y=x2-2mx=（x-m）2-m2,设顶点为网小，-〃巧，过点p作尸河，x轴于点“，“孔像抛物线"〃的

顶点为P,过点尸‘作轴于点AT,

由题意可知△尸及〃之△PW2,

得“（3加，0）,所以「'（3%，m2）,

：抛物线L及"孔像抛物线"L'与直线y=m有且只有三个交点,

-m2=m或加2-m,

解得〃2=±1或0,

当机=0时，y=f与y=—-只有一个交点，不合题意，舍去,

.*.m=±1.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次

函数的相关性质是解题的关键.

名校模拟

1.（2023•江西赣州•一模）定义：若直线夕=-1与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离

叫做这条抛物线的"反碟长”.如图，已知抛物线乙：了=-》2与直线＞=-1相交于p,Q.

%十弋A

ZI\4\

⑴抛物线口的“反碟长"尸。=.

⑵抛物线随其顶点沿直线y=1x向上平移，得到抛物线4.

①当抛物线4的顶点平移到点（6,3）,抛物线4的解析式是.抛物线七的"反碟长”是.

②若抛物线右的"反碟长"是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是.（填写所有正确的选项）

A.15B.16C.24D.25

③当抛物线4的顶点A和抛物线心与直线＞=-1的两个交点3,C构成一个等边三角形时（点3在点C左

右），求点A的坐标.

【答案】⑴2

⑵①y=-（尤-6）,3；4；②/C；③（4,2）

【分析】（1）根据定义，令解方程即可求解；

（2）①根据抛物线的平移，即可求解；令＞=-1,解方程即可求解；

②由题意可设抛物线4的顶点坐标为（2〃/）（加＞0）,则抛物线4的解析式为〉=-（尸2〃?）2+小令〉=-1,

得出抛物线4的"反碟长"为2而T，根据抛物线石的"反碟长”是一个偶数，而斤是整数，结合选项即可

求解；

③由②可知网-新节+2私T）,C（J加+1+2加,-1）,过点A作4D/BC于点D,则40=加+1,

BD=yjm+1,根据是等边三角形，得出乙45。=60。，即/=。3,解方程即可求解.

【详解】（1）解：令则X=1或X=-l,

.••尸0=1{1）=2.

（2）①由题意抛物线右的顶点坐标为（6,3）

.••由平移的性质可得抛物线4的解析式为＞=-（》-6『+3,

4-（X-6）2+3=-1,

解得：》=8或》=4,

二抛物线七的"反碟长”为：8-4=4

②解：由题意可设抛物线4的顶点坐标为＞0）,

则抛物线4的解析式为y=+

令一（x-2m『+m=-l,

解得：x=slm+1+2m^x=—slm+1+2m，

•••抛物线4的"反碟长"为2标T

v抛物线4的"反碟长”是一个偶数

•*.\jm+l是整数

结合选项可知：当“2=15或24时符合题意，故/,C正确.

③解：：点A在直线y=上

丁・可设4（2加，加）（冽＞0）

由②可知B（—yjj/i+1+2m1j,C（J加+1+2m,—1^

BC=（J冽+1+2加）-1力?+1+=2yjm+l

过点A作力。13。于点D,

/\

Ai\L

则40=机+1,BD=4m+\

”BC是等边三角形

ZABC=60°

//ADm+1fr

...tanN4BC--—,—4

BDyjm+1

解得：加=2或加=-1(不合题意，舍去)

.•.点A的坐标为(4,2)

【点睛】本题考查了新定义，二次函数与直线交点问题，等边三角形的性质，正切的定义，熟练掌握二次

函数的性质是解题的关键.

题型三新定义型二次函数与其他函数的综合问题

典例精讲

【例1】(新考法，拓视野)(2024・湖南长沙•三模)对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量x与函

数值V满足：当(x-w)(x-〃)40时，(y-m)(y-〃)40为实数,且以<〃)，我们称这个函数在正上

是"民主函数比如：函数y=r+l在-1->2上是"民主函数理由：••・由阿-(-l)](x-2)V0,得

-l<x<2.x=l-y,<2,解得一1V〉V2,A[j-(-l)](y-2)<0,.,.是"民主函数

⑴反比例函数y=9是2->3上的"民主函数"吗？请判断并说明理由：

⑵若一次函数y=h+b在〃上是“民主函数"，求此函数的解析式(可用含"”的代数式表示)；

⑶若抛物线V=+乐+c(a>0,。+6>0)在1-3上是“民主函数"，且在1VXV3上的最小值为4。，设抛物

线与直线y=3交于48点，与V轴相交于C点.若“3C的内心为G,外心为试求MG的长.

【答案】(1)反比例函数y=@是2-3上的"民主函数"，理由见解析

x

{2)y=x^y=-x+m+n

【分析】

(1)根据"民主函数"的定义进行判断即可；

(2)根据"民主函数"的定义以及一次函数的增减性，分两种情况进行求解即可；

(3)由。>0,a+b>0,得-贝U抛物线y=a(x+2>+c-2-在1VXV3上是递增的，可知x=l时,

2a2"2a4a

>=1,且最小值为4a,得出抛物线的解析式，从而得出点A、B、C的坐标，设M(OJ),根据M4=MC,

可得M的坐标，再利用面积法求出点G的坐标，从而解决问题.

【详解】(1)解：当(x-2乂尤-3)V0时，则：2<x<3,

'：y=~,在第一象限内y随x的增大而减小，

时，2"=之3,

X

：.(y-2)(y-3)<0,

.••反比例函数y=°是2f3上的“民主函数"；

X

(2)由题意，得：当mKxW及时，m<y<n,

**y=kx+b,

当月>o时，y随着x的增大而增大,

，当x=m时，y=m,当％="时，y=n,

fmk+b=m[k=\

,，解得：,n，

\nk+b=nb=0

即：片工；

当左<0时，V随着％的增大而减小,

.・・当％=加时，y=n,当％=〃时，y=mf

fmk+b=nk=-\

，解得:

[nk+b=mb=m+n

gp.y=-x+m+n.

综上：y=x^y=-x+m+n.

(3)♦..抛物线的顶点式为y=a(x+t；+c-g,顶点坐标为b2

4a

•/tz>0,a+b>0,

b1

2a2

••・抛物线尸a(x+2)2+c上在W3上是递增的,

2a4a

.,.当x=l时，取最小值，

1

Cl——

4

a+b+c=1=4a

9a+3b+c=3,解得’b=U,

3

c=—

4

ia

••・抛物线的函数表达式为y干七,

••・抛物线与直线y=3相交于A、3两点，设”(猫,3),3(乙,3),

i3

假设A点在5点的左侧，即7一+3,

44

%2=9,解得，xA=-3f/=3,

二.在A248c中，4（—3,3）,5（3,3）,cf0,—

AB=6,AC=7

•・・外心〃在线段43的垂直平分线上，设〃(0,。，则M4=MC,

二.J(-3)2+«_3)2=52+,，解得,/,

在一BC中，根据内心的性质，设内心G到各边距离为d,得S，/BC=；X6X「一：]=；x(/5+BC+C4)x",

d=19

・・・/5C是等腰三角形，V轴为//CB的角平分线,

内心G在V轴上，

「•凡=乃-1=2,

.・G（0,2）,

31c15

••MG=y—y=-----2=—

MG88

通关指导

本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，三角形外心和内

心的性质等知识，理解新定义，得出抛物线的解析式从而得出“8C的顶点坐标是解题的关键.

【例2】(2023・江苏南通・一模)定义：若函数图象上存在点M(W,"J,n2),且满足%一4=，

则称:为该函数的"域差值".例如：函数＞=2x+3,当x="‘时，"]=2/"+3；当x=m+l时,

n2=2m+5,n2-nx=2则函数y=2x+3的"域差值”为2

4

⑴点M(〃?，々)，④在y=—的图象上，"域差值=求加的值；

X

⑵已知函数y=-2x2(x>0),求证该函数的“域差值"/<-2；

⑶点A(a,b)为函数y=-2/图象上的一点，将函数y=-2x2(x>a)的图象记为M,将函数了=-2x2(xWa)的

图象沿直线V翻折后的图象记为%当%,%两部分组成的图象上所有的点都满足"域差值时，求a

的取值范围.

【答案】⑴-苴土1■或在二

22

⑵见解析

【分析】(1)由题意得到多,%的值，再由列方程解答，即可；

(2)设函数y=-2，(％>0)图象上存在点〃■(肛片),M,(m+1,巧)，且满足々-%=%,m>0,可得

22

t=nx-n2=-2(m+l)-(-2m)=-4m-2,再利用不等式的性质即可得出一4加一2<-2,即£<一2；

3

(3)当％两部分组成的图象上所有的点满足“域差值〃，时，则-4加-2V1,可得加2-w，对于函数

了=-2尤2(尤Va)的图象沿直线y=6翻折后的图象即为名：y=2x2-4a2(x<a),利用对称性可得即

可解答.

4

【详解】(1)解：・・•点M(加，力)，AT(冽+1,%)在丁=—的图象上，

X

44

%=—,n=----

m2m+1

•••“域差值"t=-4,

：.%—几1=_4,

44

即-------二—4,

m+1m

整理,得：m2+m-1=0,

解得：叫=-勺'%=*

经检验'号'%=与均是方程占4

二=-4的解,

m

"的值为-TH；

(2)证明：设函数y=-2，(％>0)图象上存在点〃(加，％),MXm+1,n?),且满足〃2-々加>0,

2

当％=初时，nx=-2m,

当x=冽+1时，n2=-2(m+1>,

t—及之一=一久m+1)2—(—2m——4加一2,

,/m>0,

/.-4m<0,

'.—4m—2<—2,

即，<-2,

故该函数的“域差值"t<-2；

解：・・•点4（〃，6）为函数>=-2/图象上的一点，

b——24,

由（2）得：t=—4m—2,

当多两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值"时，

则一4加-2<1,

3

解得：m>--,

4

・・・如图，当。2-；时，函数y=-2/Q2Q）的图象上所有的点都满足，“域差值"t<\.

22

对于函数y=-2x（x<Q）的图象沿直线>=6翻折后的图象记为W2：y=2x-4Q2(X<a),

3

可得：

4

名校模拟

1.(2023•江苏南通•一模)定义：若函数的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数&的

图象上，则称函数G1,G为关联函数，这两个点称为函数G1,&的一对关联点.例如，函数y=2x与函数

y=x-3为关联函数，点(1,2)和点(1,-2)是这两个函数的一对关联点.

3

⑴判断函数y=x+2与函数>=一-是否为关联函数？若是，请直接写出一对关联点；若不是，请简要说明

x

理由；

⑵若对于任意实数左，函数y=2x+b与夕=丘+左+5始终为关联函数，求6的值；

⑶若函数了=》2-始+1与函数了=2》-!(加，"为常数)为关联函数，且只存在一对关联点，求2/+〃2一6"

的取值范围.

【答案】⑴函数y=x+2与函数>=是关联函数，(1,3)和(1,-3)或(-3,-1)和是这两个函数的一对

关联点

⑵6=-3

⑶0<2m2+n2-6m<8

【分析】(1)根据新定义，设(。/)和(兄-»是这两个函数的一对关联点，分别代入解析式，列出方程组，

解方程组即可求解.

(2)跟将新定义得出2x+6+foc+左+5=0,根据与后值无关得出x=T,即可求解；

2

(3)设9和"是这对函数的关联点，只存在一对关联点，根据题意得出力-加.+1+为-'=o,则

关于。的方程，/+(2-加)°+1_；=0有两个相等的实数根，得出〃2=+4"，代入代数式，根据二次

函数的性质即可求解.

3

【详解】(1)解：函数歹=x+2与函数V=—―是关联函数

x

依题意，设(。力)和(凡-h是歹=x+2与函数歹=-巳这两个函数的一对关联点,

x

\b=a+2

。-3ci—\

解得:6=-1或

b=3

/.(1,3)和。,-3)或(-3,-1)和(-3,1)是这两个函数的一对关联点；

(2)解：•.•对于任意实数上，函数y=2x+6与>=辰+左+5始终为关联函数,

2x+b=—(kx+左+5),

2x+b+kx+k+5=0,

艮fl左(x+1)+2x+6+5=0,

x=-\,2x+b+5=0,

.\Z）=-2x（-l）-5=-3；

2

（3）解：y=/-s+1与函数y=2x-?（〃?，"为常数）为关联函数，且只存在一对关联点，

设（a,6）和（0,-6）是这对函数的关联点，

及2

・・/—ma+1+2（7-------0，

4

2

即关于。的方程，-〃7）a+l_'=0有两个相等的实数根，

=(2-冽『-4115

A=〃-4QC

=4-4m+m2-4+H2=m2-4m+n2=0

n2=-m2+4m>0,

2m2+n2-6m=2m2-m2+4m-6m=m2-2m=（m-l）2-1,-1<m-1<3,

VO<（M7-1）2<9,

**•—1<2m2+n2—6m<8.

【点睛】本题考查了新定义，反比例函数与一次函数交点问题，轴对称的性质，二次函数的性质，熟练掌

握二次函数的性质是解题的关键.

2.（2024•浙江湖州•一模）定义：对于y关于x的函数，函数在占4x4%（占<%）范围内的最大值，记作

如函数V=2x,在-14尤43范围内，该函数的最大值是6,即，=6.

请根据以上信息，完成以下问题：

已知函数j=（（z-l）x2-4x+tz2-l（°为常数）

⑴若。=2.

①直接写出该函数的表达式，并求的值；

②已知M=3,求p的值.

⑵若该函数的图象经过点（0,0）,且M[-3用=左，求左的值.

【答案】⑴①M[l,4]=3；②p=0

⑵上的值是12,或2

【分析】本题考查了二次函数与正比例函数的图形与性质，根据二次函数的对称轴，a的正负判断出二次函

数开口方向，找到最大值是解答本题的关键.

(1)①先求出二次函数解析式，根据二次函数对称轴，开口方向即可找到范围内的最大值，进而得出结果;

②根据二次函数对称轴，开口方向即可知当x时，y=-；<3,即可求出P值；

(2)根据函数图象经过点(0,0),得到。=±1,分两种情况分别求解即可.

【详解】(1)解:①：a=2,

y=x2-4x+3.

••・该函数的图象对称轴为直线x=2,且开口向上，

.,.在1VXW4范围内，当x=4时，V有最大值，

当x=4时，y=3,即M[l,4]=3.

®-.-Mpg=3,该函数的图象对称轴为直线x=2,且开口向上，

53

又・.•当时，y=_:<3,

24

02-4夕+3=3,解得Pi=0,22=4.

5

,:p<3,

.”二0；

(