行测计算题技巧汇总

目录空瓶换饮料问题的最快求解公式 1八大类数列及变式总结 2数列运算的某些小技巧 9几种需要熟记的常见数列 13有关数算的心得体会 13处理牛吃草问题常用到四个基本公式 18鸡兔同笼问题 20某些小学行程题目（纯列式解题） 31数字的整除特性 35完全平方数 43数量关系——商品销售问题迅速求解 44有关页码中出现多少个N这个数字这一系列问题的解答 48空瓶换饮料问题的最快求解公式6个空瓶能换1瓶汽水，要喝157瓶汽水（有一部分是用喝过的空瓶换的）至少要买多少瓶汽水？

157÷6×5=130.83（向上取整）=131

X=A÷N×(N-1)（向上取整）

如改为:每瓶饮料1元钱，131元最多能喝到多少瓶饮料，则为：

131÷5×6=157.2（向下取整）=157

A=X÷(N-1)×N（向下取整）

八大类数列及变式总结一、简朴数列

自然数列：1，2，3，4，5，6，7，……

奇数列：1，3，5，7，9，……

偶数列：2，4，6，8，10，……

自然数平方数列：1，4，9，16，25，36，……

自然数立方数列：1，8，27，64，125，216，……

等差数列：1，6，11，16，21，26，……

等比数列：1，3，9，27，81，243，……

二、等差数列

1，

等差数列：后一项减去前一项形成一种常数数列。

例题：12，17，22，27，（），37

解析：17-12=5，22-17=5，……

2，

二级等差数列：后一项减去前一项形成一种新的数列是一种等差数列。

例题1：9，13，18，24，31，（）

解析：13-9=4，18-13=5，24-18=6，31-24=7，……

例题2.：66，83，102，123，（）

解析：83-66=17，102-83=19，123-102=21，……

3，二级等差数列变化：后一项减去前一项形成一种新的数列，这个新的数列也许是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“1”、“2”的形式有关。

例题1：0，1，4，13，40，（）

解析：1-0=1，4-1=3，13-4=9，40-13=27，……公比为3的等比数列

例题2：20，22，25，30，37，（）

解析：22-20=2，25-22=3，30-25=5，37-30=7，…….二级为质数列

4，三级等差数列及变化：后一项减去前一项形成一种新的数列，再在这个新的数列中，后一项减去前一项形成一种新的数列，这个新的数列也许是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“1”、“2”的形式有关。

例题1：1，9，18，29，43，61，（）

解析：9-1=8，18-9=9，29-18=11，43-29=14，61-43=18，……二级特性不明显

9-8=1，11-9=2，14-11=3，18-14=4，……三级为公差为1的等差数列

例题2.：1，4，8，14，24，42，（）

解析：4-1=3，8-4=4，14-8=6，24-14=10，42-24=18，……二级特性不明显

4-3=1，6-4=2，10-6=4，18-10=8，……三级为等比数列

例题3：（），40，23，14，9，6

解析：40-23=17，23-14=9，14-9=5，9-6=3，……二级特性不明显

17-9=8，9-5=4，5-3=2，……三级为等比数列

三、等比数列

1，等比数列：后一项与前一项的比为固定的值叫做等比数列

例题：36，24，（）32/3，64/9

解析：公比为2/3的等比数列。

2，二级等比数列变化：后一项与前一项的比所得的新的数列也许是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“1”、“2”的形式有关。

例题1：1，6，30，（），360

解析：6/1=6，30/6=5，（）/30=4，360/（）=3，……二级为等差数列

例题2：10，9，17，50，（）

解析：1*10-1=9，2*9-1=18，3*17-1=50，……

例题3：16，8，8，12，24，60，（）

解析：8/16=0.5，8/8=1，12/8=1.5，24/12=2，60*24=2.5，……二级为等差数列

例题4：60，30，20，15，12，（）

解析：60/30=2/1，30/20=3/2，20/15=4/3，15/12=5/4，……

重点：等差数列与等比数列是最基本、最经典、最常见的数字推理题型。必须纯熟掌握其基本形式及其变式。

四、和数列

1，经典（两项求和）和数列：前两项的加和得到第三项。

例题1：85，52，（），19，14

解析：85=52+（），52=（）+19，（）=19+14，……

例题2：17，10，（），3，4，-1

解析：17-10=7，10-7=3，7-3=4，3-4=-1，……

例题3：1/3，1/6，1/2，2/3，（）

解析：前两项的加和得到第三项。

2，经典（两项求和）和数列变式：前两项的和，通过变化之后得到第三项，这种变化也许是加、减、乘、除某一常数；或者是每两项的和与项数之间具有某种关系。

例题1：22，35，56，90，（），234

解析：前两项相加和再减1得到第三项。

例题2：4，12，8，10，（）

解析：前两项相加和再除2得到第三项。

例题3：2，1，9，30，117，441，（）

解析：前两项相加和再乘3得到第三项。

3，三项和数列变式：前三项的和，通过变化之后得到第四项，这种变化也许是加、减、乘、除某一常数；或者是每两项的和与项数之间具有某种关系。

例题1：1，1，1，2，3，5，9，（）

解析：前三项相加和再减1得到第四项。

例题2：2，3，4，9，12，25，22，（）

解析：前三项相加和得到自然数平方数列。

例题：-4/9，10/9，4/3，7/9，1/9，（）

解析：前三项相加和得到第四项。

五、积数列

1，经典（两项求积）积数列：前两项相乘得到第三项。

例题：1，2，2，4，（），32

解析：前两项相乘得到第三项。

2，积数列变式：前两项相乘通过变化之后得到第三项，这种变化也许是加、减、乘、除某一常数；或者是每两项的乘与项数之间具有某种关系。

例题1：3/2，2/3，3/4，1/3，3/8，（）

解析：两项相乘得到1，1/2，1/4，1/8，……

例题2：1，2，3，35，（）

解析：前两项的积的平方减1得到第三项。

例题3：2，3，9，30，273，（）

解析：前两项的积加3得到第三项。

六、平方数列

1，经典平方数列（递增或递减）

例题：196，169，144，（），100

解析：14立方，13立方，……

2，平方数列变式：这一数列特点不是简朴的平方或立方数列，而是在此基础上进行“加减乘除”的变化。

例题1：0，5，8，17，（），37

解析：0=12-1，5=22+1，8=32-1，17=42+1，（）=52-1，37=62+1

例题2：3，2，11，14，27，（）

解析：12+2，22-2，32+2，42-2，52+2，……

例题3：0.5，2，9/2，8，（）

解析：等同于1/2，4/2，9/2，16/2，分子为12，22，32，42，……

例题4：17，27，39，（），69

解析：17=42+1，27=52+2，39=62+3，……

3，

平方数列最新变化二级平方数列

例题1：1，4，16，49，121，（）

解析：12，22，42，72，112，……二级不看平方

1，2，3，4，……三级为自然数列

例题2：9，16，36，100，（）

解析：32，42，62，102，……二级不看平方

1，2，4，……三级为等比数列]

七、立方数列

1，经典立方数列（递增或递减）：不写例题了。

2，立方数列变化：这一数列特点不是简朴的立方数列，而是在此基础上进行“加减乘除”的变化。

例题1：0，9，26，65，124，（）

解析：项数的立方加减1的数列。

例题2：1/8，1/9，9/64，（），3/8

解析：各项分母可变化为2，3，4，5，6的立方，分之可变化为1，3，9，27，81

例题3：4，11，30，67，（）

解析：各项分别为立方数列加3的形式。

例题4：11，33，73，（），231

解析：各项分别为立方数列加3，6，9，12，15的形式。

例题5：-26，-6，2，4，6，（）

解析：（-3）3+1，（-2）3+2，（-1）3+3，（0）3+4，（1）3+5，……

八、组合数列

1，数列间隔组合：两个数列（七种基本数列的任何一种或两种）进行分隔组合。

例题1：1，3，3，5，7，9，13，15，（），（）

解析：二级等差数列1，3，7，13，……和二级等差数列3，5，9，15，……的间隔组合。

例题2：2/3，1/2，2/5，1/3，2/7，（）

解析：数列2/3，2/5，2/7和数列1/2，1/3，……的间隔组合。

2，数列分段组合：

例题1：6，12，19，27，33，（），48

解析：

6

7

8

6

（）

8

例题2：243，217，206，197，171，（），151

解析：

26

11

9

26

（）

9

特殊组合数列：

例题1：1.01，2.02，3.04，5.08，（）

解析：整数部分为和数列1，2，3，5，……小数部分为等比数列0.01，0.02，0.04，……

九、其他数列

1，质数列及其变式：质数列是一种非常重要的数列，质数即只能被1和自身整除的数。

例题1：4，6，10，14，22，（）

解析：各项除2得到质数列2，3，5，7，11，……

例题2：31，37，41，43，（），53

解析：这是个质数列。

2，合数列：

例题：4，6，8，9，10，12，（）

解析：和质数列相对的即合数列，除去质数列剩余的不含1的自然数为合数列。

3，分式最简式：

例题1：133/57，119/51，91/39，49/21，（），7/3

解析：各项约分最简分式的形式为7/3。

例题2：105/60，98/56，91/52，84/48，（），21/12

解析：各项约分最简分式的形式为7/4。数列运算的某些小技巧等差，等比这种最简朴的不用多说，深一点就是在等差，等比上再加、减一种数列，如24,70,208,622，规律为a*3-2=b

深一点模式，各数之间的差有规律，如1、2、5、10、17。它们之间的差为1、3、5、7，成等差数列。这些规律尚有差之间成等比之类。B，各数之间的和有规律，如1、2、3、5、8、13，前两个数相加等于后一种数。

3、看各数的大小组合规律，做出合理的分组。如7,9,40,74,1526,5436，7和9，40和74，1526和5436这三组各自是大体处在同一大小级，那规律就要从组方面考虑，即不把它们看作6个数，而应当看作3个组。而组和组之间的差距不是很大，用乘法就能从一种组过渡到另一种组。因此7*7-9=40,9*9-7=74,40*40-74=1526,74*74-40=5436</B>，这就是规律。

4、如根据大小不能分组的，A，看首尾关系，如7，10，9，12，11，14，这组数;7+14＝10+11＝9+12。首尾关系常常被忽视，但又是很简朴的规律。B，数的大小排列看似无序的，可以看它们之间的差与和有无次序关系。

5、各数间相差较大，但又不相差大得离谱，就要考虑乘方，这就要看各位对数字敏感程度了。如6、24、60、120、210，感觉它们之间的差越来越大，但这组数又看着比较舒适(个人感觉，嘿嘿)，它们的规律就是2^3-2=6、3^3-3=24、4^3-4=60、5^3-5=120、6^3-6=210。这组数比较巧的是都是6的倍数，轻易导入歧途。

6)看大小不能看出来的，就要看数的特性了。如21、31、47、56、69、72，它们的十位数就是递增关系，如25、58、811、1114，这些数相邻两个数首尾相接，且2、5、8、11、14的差为3，如论坛上答：256，269，286，302，（），2+5+6=132+6+9＝172+8+6＝163+0+2＝5，∵256+13＝269269+17＝286286+16＝302∴下一种数为302+5＝307。

7)再复杂一点，如0、1、3、8、21、55，这组数的规律是b*3-a=c，即相邻3个数之间才能看出规律，这算最简朴的一种，更复杂数列也用把前面简介措施深化后来找出规律。

8)分数之间的规律，就是数字规律的深入演化，分子同样，就从分母上找规律；或者第一种数的分母和第二个数的分子有衔接关系。并且第一种数假如不是分数，往往要当作分数，如2就要当作2/1。

补充：

中间数等于两边数的乘积，这种规律往往出目前带分数的数列中，且轻易忽视

如1/2、1/6、1/3、2、6、3、1/2

9）数的平方或立方加减一种常数，常数往往是1，这种题规定对数的平方数和立方数比较熟悉

如看到2、5、10、17，就应当想到是1、2、3、4的平方加1

如看到0、7、26、63，就要想到是1、2、3、4的立方减1

对平方数，个人觉得熟悉1~20就够了，对于立方数，熟悉1~10就够了，并且波及到平方、立

方的数列往往数的跨度比较大，并且间距递增，且递增速度较快

10）A＾2－B＝C由于近来碰到论坛上朋友发这种类型的题比较多，因此单独列出来

如数列5，10，15，85，140，7085

如数列5,;6,;19,;;17,;344,－55

如数列5,15,10,215，－115

这种数列背面常常会出现一种负数，因此看到前面都是正数，背面忽然出现一种负数，就

考虑这个规律看看

11）奇偶数分开解题，有时候一种数列奇数项是一种规律，偶数项是另一种规律，互相成干扰项

如数列1,8,9,64,25，216

奇数位1、9、25分别是1、3、5的平方

偶数位8、64、216是2、4、6的立方

先补充到这儿。。。。。。

12)后数是前面各数之各，这种数列的特性是从第三个数开始，呈2倍关系

如数列：1、2、3、6、12、24

由于背面的数呈2倍关系，因此轻易导致误解！

数字推理的题目就是给你一种数列,但其中缺乏一项,规定你仔细观测这个数列各数字之间的关系,找出其中的规律,然后在四个选项中选择一种最合理的一种作为答案.几种需要熟记的常见数列数字推理题中对数列的敏感非常重要，下面共享几种比较常见的数列：

1.

1，1，2，6，24，120后除前为1，2，3，4，5

2.

1，2，3，5，8，13瓦格纳数列,第三个为前两个和

3.

1，2，4，7，11，16，22后减前为1，2，3，4，5。。

4.

1，2，5，14，41，122差是等比

5.

3，4，6，9，13，18，24后减前

8.

1，4，27，256项数的项多次方

有关数算的心得体会要纯熟运用规律。拿到题目后来，怎样一眼就能大体判断出这道题目具有什么规律呢？这也是有章可循的。做题目时，我们可以在一秒之内做出的判断，就是一种数列项数的多少和数字变化幅度的大小，包括备选答案的数字的大小。根据这些信息我们就可以基本懂得这个数列具有某种规律。例如，给出的数列项数较多，有6项以上，一般可以首先考虑运用交替、分组和组合拼凑规律等。假如项数少就3项，一般只能用乘方和组合拼凑。假如数字之间变化幅度比较大，呈几何级增长，多半要用到乘法、二级等比和乘方规律。剩余的可以考虑用加减法、等差及变式和质数规律。此外，还可以根据数字之间变化展现的曲线来判断。例如，假如数字变化呈平缓的一条线，一般用加减法；假如数字变化展现的线条比较陡，或者斜率绝对值较大，可以考虑用乘法、二级等比和乘方等；假如展现抛物线形态，可考虑用乘方、质数等；呈U型线可考虑用减法、除法和乘方等；假如大小变动呈波浪线，重要考虑交替和分组。

处理牛吃草问题常用到四个基本公式（1）草的生长速度

吃的较少天数吃的较多天数－对应的牛头数＝对应的牛头数

（吃的较多天数－吃的较少天数）；

吃的天数；`吃的天数－草的生长速度（2）原有草量＝牛头数

（牛头数－草的生长速度）；（3）吃的天数＝原有草量

吃的天数＋草的生长速度。（4）牛头数＝原有草量牛吃草问题常常给出不一样头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不一样，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。

解题关键是弄清晰已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。

此类问题的基本数量关系是：

1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。

2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。

下面来看几道经典试题：

例1.

由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天一均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或供16头牛吃6天。那么可供11头牛吃几天？()

A.12B.10C.8D.6

【答案】C。

解析：设每头牛每天吃1份草，则牧场上的草每天减少(20×5-16×6)÷（6-5)=4份草，本来牧场上有20×5+5×4=120份草，故可供11头牛吃120÷（11+4)=8天。

例2.

有一片牧场，24头牛6天可以将草吃完；21头牛8天可以吃完，要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？()

A.8B.10C.12D.14

【答案】C。

解析：设每头牛每天吃1份草，则牧场上的草每天生长出(21×8-24×6)÷（8-6)=12份，假如放牧12头牛恰好可吃完每天长出的草，故至多可以放牧12头牛。

例3.

有一种水池，池底有一种打开的出水口。用5台抽水机20小时可将水抽完，用8台抽水机15小时可将水抽完。假如仅靠出水口出水，那么多长时间将水漏完？()

A.25B.30C.40D.45

【答案】D。

解析：出水口每小时漏水为(8×15-5×20)÷（20-15)=4份水，本来有水8×15+4×15=180份，故需要180÷4=45小时漏完。鸡兔同笼问题“鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题.最早出目前《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成此类问题，或者用解它的经典解法--“假设法”来求解.因此很有必要学会它的解法和思绪.

例1有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？

解：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人同样用两只脚站着.目前，地面上出现脚的总数的二分之一，•也就是

244÷2=122（只）.

在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相称于算了两次.因此从122减去总头数88，剩余的就是兔子头数122-88=34，有34只兔子.当然鸡就有54只.

答：有兔子34只，鸡54只.

上面的计算，可以归结为下面算式：

总脚数÷2-总头数=兔子数.

上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法，立即能求出兔子数，多简朴！可以这样算，重要运用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成此类问题时，“脚数”就不一定是4和2，上面的计算措施就行不通.因此，我们对此类问题给出一种一般解法.

还说例1.

假如设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了88×4-244=108（只）.每只鸡比兔子少（4-2）只脚，因此共有鸡（88×4-244）÷（4-2）=54（只）.阐明我们设想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式：

鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）

当然，我们也可以设想88只都是“鸡”，那么共有脚2×88=176（只），比244只脚少了244-176=68（只）.每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，68÷2=34（只）.

阐明设想中的“鸡”，有34只是兔子，也可以列出公式：

兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）.

上面两个公式不必都用，用其中一种算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就懂得另一种数.

假设全是鸡，或者全是兔，一般用这样的思绪求解，有人称为“假设法”.

目前，拿一种详细问题来试试上面的公式.

例2红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元.问红、蓝铅笔各买几支？

解：以“分”作为钱的单位.我们设想，一种“鸡”有11只脚，一种“兔子”有19只脚，它们共有16个头，280只脚.目前已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了.

运用上面算兔数公式，就有：

蓝笔数=（19×16-280）÷（19-11）=24÷8=3（支）.

红笔数=16-3=13（支）.

答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.

对于此类问题的计算，常常可以运用已知脚数的特殊性.例2中的“脚数”19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是“兔子”，8只是“鸡”，根据这一设想，脚数是8×（11+19）=240.比280少40.40÷（19-11）=5.

就懂得设想中的8只“鸡”应少5只，也就是“鸡”（蓝铅笔）数是3.

30×8比19×16或11×16要轻易计算些.运用已知数的特殊性，靠心算来完毕计算.实际上，可以任意设想一种以便的兔数或鸡数.

例如，设想16只中，“兔数”为10，“鸡数”为6，就有脚数

19×10+11×6=256.

比280少24.

24÷（19-11）=3，

就懂得设想6只“鸡”，要少3只.

要使设想的数，能给计算带来以便，常常取决于你的心算本领.

下面再举四个稍有难度的例子.

例3一份稿件，甲单独打字需6小时完毕.乙单独打字需10小时完毕，目前甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时.甲打字用了多少小时？

解：我们把这份稿件平均提成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打

甲每小时打30÷6=5（份），乙每小时打30÷10=3（份）.

目前把甲打字的时间当作“兔”头数，乙打字的时间当作“鸡”头数，总头数是7.“兔”的脚数是5，“鸡”的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成“鸡兔同笼”问题了.

根据前面的公式

“兔”数=（30-3×7）÷（5-3）

=4.5，

“鸡”数=7-4.5

=2.5，

也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时.

答：甲打字用了4小时30分.

例4今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁.四年后（）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？

解：4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数，弟的年龄看作“兔”头数.25是“总头数”.86是“总脚数”.根据公式，兄的年龄是：

（25×4-86）÷（4-3）=14（岁）.

1998年，兄年龄是

14-4=10（岁）.

父年龄是

（25-14）×4-4=40（岁）.

因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是

（40-10）÷（3-1）=15（岁）.

这是.

答：公元时，父年龄是兄年龄的3倍.

例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀.目前这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？

解：由于蜻蜓和蝉均有6条腿，因此从腿的数目来考虑，可以把小虫提成“8条腿”与“6条腿”两种.运用公式就可以算出8条腿的

蜘蛛数=（118-6×18）÷（8-6）=5（只）.

因此就懂得6条腿的小虫共

18-5=13（只）.

也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀.再运用一次公式

蝉数=（13×2-20）÷（2-1）=6（只）.

因此蜻蜓数是13-6=7（只）.

答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉.

例6某次数学考试考五道题，全班52人参与，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数同样多，那么做对4道的人数有多少人？

解：对2道、3道、4道题的人共有

52-7-6=39（人）.

他们共做对

181-1×7-5×6=144（道）.

由于对2道和3道题的人数同样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（（2+3）÷2=2.5）.这样兔脚数=4，鸡脚数=2.5，总脚数=144，总头数=39.

对4道题的有（144-2.5×39）÷（4-1.5）=31（人）.

答：做对4道题的有31人.例7买某些4分和8分的邮票，共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？

解一：假如拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就同样多.

（680-8×40）÷（8+4）=30（张），这就懂得，余下的邮票中，8分和4分的各有30张.

因此8分邮票有40+30=70（张）.

答：买了8分的邮票70张，4分的邮票30张.

也可以用任意假设一种数的措施.

解二：譬如，假设有20张4分，根据条件“8分比4分多40张”，那么应有60张8分.以“分”作为计算单位，此时邮票总值是4×20+8×60=560.比680少，因此还要增长邮票.为了保持“差”是40，每增长1张4分，就要增长1张8分，每种要增长的张数是：

（680-4×20-8×60）÷（4+8）=10（张）.

因此4分有20+10=30（张），8分有60+10=70（张）.

例8一项工程，假如全是晴天，15天可以完毕.倘若下雨，雨天一天工程要多少天才能完毕？

解：类似于例3，我们设工程的所有工作量是150份，晴天每天完毕10份，雨天每天完毕8份.用上一例题解一的措施，晴天有

（150-8×3）÷（10+8）=7（天）.

雨天是7+3=10天，总共7+10=17（天）.

答：这项工程17天完毕.

请注意，假如把“雨天比晴天多3天”去掉，而换成已知工程是17天完毕，由此又回到上一节的问题.差是3，与和是17，懂得其一，就能推算出另一种.这阐明了例7、例8与上一节基本问题之间的关系.

总脚数是“两数之和”，假如把条件换成“两数之差”，又应当怎样去解呢？

例9鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？

解一：假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28÷2=14（只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4÷2=2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍.

兔的只数是：（100+28÷2）÷（2+1）=38（只）.

鸡是：100-38=62（只）.

答：鸡62只，兔38只.

当然也可以去掉兔28÷4=7（只）.兔的只数是（100-28÷4）÷（2+1）+7=38（只）.

也可以用任意假设一种数的措施.

解二：假设有50只鸡，就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是：

4×50-2×50=100，

比28多了72.就阐明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只（千万注意，不是2）.因此要减少的兔数是：

（100-28）÷（4+2）=12（只）.

兔只数是：

50-12=38（只）.

此外，还存在下面这样的问题：总头数换成“两数之差”，总脚数也换成“两数之差”.

例10古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字.有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首.

解一：假如去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差

13×5×4+20=280（字）.

每首字数相差：7×4-5×4=8（字）.

因此，七言绝句有：28÷（28-20）=35（首）.

五言绝句有：35+13=48（首）.

答：五言绝句48首，七言绝句35首.

解二：假设五言绝句是23首，那么根据相差13首，七言绝句是10首.字数分别是20×23=460（字），28×10=280（字），五言绝句的字数，反而多了：460-280=180（字）.与题目中“少20字”相差：180+20=200（字）.

阐明假设诗的首数少了.为了保持相差13首，增长一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增长8.因此五言绝句的首数要比假设增长

200÷8=25（首）.

五言绝句有

23+25=48（首）.

七言绝句有

10+25=35（首）.

在写出“鸡兔同笼”公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例7、例9和例10三个问题，当然也可以这样假设.目前来详细做一下，把列出的计算式子与“鸡兔同笼”公式对照一下，就会发现非常有趣的事.

例7，假设都是8分邮票，4分邮票张数是（680-8×40）÷（8+4）=30（张）.

例9，假设都是兔，鸡的只数是（100×4-28）÷（4+2）=62（只）.

例10，假设都是五言绝句，七言绝句的首数是（20×13+20）÷（28-20）=35（首）.

首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与“鸡兔同笼”公式比较，这三个算式只是有一处“-”成了“+”.其奥妙何在呢？当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事.

例11

有一辆货车运送只玻璃瓶，运费按抵达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.成果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？

解：假如没有破损，运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是（400-379.6）÷（1+0.2）=17（只）.

答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶.

请你想一想，这是“鸡兔同笼”同一类型的问题吗？

例12有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包括不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？

解一：假如小明第一次测验24题全对，得5×24=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是：8×6-2×（15-6）=30（分）.两次相差：120-30=90（分）.

比题目中条件相差10分，多了80分.阐明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增长一题不仅不倒扣2分，还可得8分，因此增长8+2=10分.两者两差数就可减少6+10=16（分）.（90-10）÷（6+10）=5（题）.

因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对：30-19=11（题）.

第一次得分：5×19-1×（24-9）=90.

第二次得分：8×11-2×（15-11）=80.

答：第一次得90分，第二次得80分.

解二：答对30题，也就是两次共答错

24+15-30=9（题）.

第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16（分）.

假如答错9题都是第一次，要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”，要少了6×9+10.因此，第二次答错题数是：（6×9+10）÷（6+10）=4（题）•

第一次答错9-4=5（题）.

第一次得分5×（24-5）-1×5=90（分）.

第二次得分8×（15-4）-2×4=80（分）.某些小学行程题目（纯列式解题）甲、乙两车同步从A、B两地相向而行，在距A地60千米处相遇。它们各自抵达对方车站后立即返回，途中又在距A地40千米处相遇。求A、B两地相距多少千米

(60*3+40)÷2＝110千米

2.客货两车同步从甲乙两地相对开出，第一次相遇在离乙地80千米的地方。相遇后继续行驶，抵达对方出发点后立即返回，第二次相遇在距离甲地50千米处。求甲乙两地间旅程？

80*3-50＝190千米

3.两辆汽车同步从东西两站相对开出，第一次在离东站60千米处相遇。之后两车原速前进，各车到站后立即返回，又在中点西侧30千米处相遇点之间的距离是多少千米？

（60*3+30）÷3*2＝140千米

4.湖中有东、西两岛。甲乙二人同步从两岛出发，来回游泳。他们第一次相遇时距东岛700米，第二次相遇距西岛400米。问：两相遇点之间的距离是多少米？

700*3-400-400-700＝600米

5.甲、乙两人同步从两地骑车相向而行。甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇。求这两地间的旅程？

3*2÷（15-13）*（15+13）＝54千米

6.甲、乙两人同步从A地去B地，甲每小时行12千米，乙每小时行9千米。甲行到15千米处，又回去取东西。因此比乙迟到1小时。求A、B两地的距离？

（15*2-12）÷（12-9）*9＝54千米

7.甲、乙两人同步从A地到B地。甲每分钟走250米，乙每分钟走90米。甲抵达B地后立即返回，在离B地3.2千米处与乙相遇。A、B两地间的距离是多少？

3.2*2÷（0.25-0.09）*0.25-3.2＝6.8千米。

8.小平和小红同步从学校出发步行到少年宫。小平每分钟比小红多走20米，30分钟后小平刚到少年宫就立即返回学校，在距少年宫350米处碰到小红。小红每分钟走多少米？

30*20-350＝250米，350-250＝100米，100÷20＝5分、250÷5＝50米。

9.甲、乙二人上午7时同步从A地去B地，甲每小时比乙快8千米，上午11时甲抵达B地后立即返回，在距B地24千米处和乙相遇。求A、B两地相距多少千米？

（11-7）*8＝32千米，［24-（32-24）］÷8＝2小时。24÷2*（11-7）＝48千米。

10.某学生乘车上学，步行回家，来回共需一种半小时；假如来回都坐车，所有行程只要30分钟。假如来回都步行，需要多少时间？

乘车+步行＝1.5小时，乘车+乘车＝0.5小时，即乘车＝0.25小时。因此步行+步行＝2.5小时。

11.甲、乙两人分别从A、B两地同步出发，相向而行，匀速前进。假如各人按原定速度前进，则4小时相遇；假如两人各自都比原计划每小时少走1千米，则5小时相遇。求A、B两地间相距多少千米？

4*1*2*5＝40千米。

12.甲、乙两车从相距480千米的两地同步相向而行，6小时相遇。假如两车各自每小时加紧8千米，那么相遇点距前一次相遇点4千米，已知乙车比甲车快，求甲车每小时行多少千米？

480÷6＝80千米，80+8*2＝96千米。480÷96＝5小时。（5*8－4）÷（6-5）＝36千米

13.小王、小张步行的速度分别是每小时4.8千米和5.4千米。小李骑车的速度为每小时10.8千米。小王、小张从甲地到乙地，小李从乙地到甲地，三人同步出发，在小张与小李6相遇分钟后，小王又与小李相遇。小李骑车从乙地到甲地需多长时间？

6分钟＝0.1小时。（4.8+10.8）*0.1÷（5.4-4.8）*（5.4+10.8）＝42.12千米。42.12÷10.8＝3.9小时

14.甲、乙、丙三人走路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米。甲从A地，乙和丙从B地同步出发，相向而行。甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇。求A、B两地间距离？

（60+40）*15÷（50-40）*（60+50）＝16500米

15.甲、乙、丙三人都以均匀的速度进行60米赛跑。当甲冲过终点时，比乙领先10米，比丙领先20米。当乙抵达终点时，比丙领先多少米？

60-40÷50*60＝12米。数字的整除特性1．我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来辨别偶数与奇数的。因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。

2．末位数字为零的整数必被10整除。这种数总可表为10k（其中k为整数）。

3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k（k为整数）。

4．末两位数字构成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。

如1996＝1900＋96，由于100是4和25的倍数，因此1900是4和25的倍数，只要考察96与否4或25的倍数即可。

能被25整除的整数，末两位数只也许是00、25、50、75。能被4整除的整数，末两位数只也许是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不也许是其他的数。

5．末三位数字构成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。

由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。

如判断765432与否能被8整除。

由于765432＝765000＋432

显然8|765000，故只要考察8与否整除432即可。由于432＝8×54，即432能被8整除，因此765432能8被整除。

能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024，…984，992。

由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；

125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；

125×7＝875；125×8＝10000

故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，375，500，625，750，875。

6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。

如478323与否能被3（9）整除？

由于478323＝4×100000＋7×10000＋8×1000＋3×100＋2×10＋3

＝4×（99999＋1）＋7（9999＋1）＋8×（999＋1）＋3×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3＝（4×99999＋7×9999＋8×999＋3×99＋2×9）＋（4＋7＋8＋3＋2＋3）

前一括号里的各项都是3（9）的倍数，因此，判断478323与否能被3（9）整除，只要考察第二括号的各数之和（4＋7＋8＋3＋2＋3）能否被3（9）整除。而第二括号内各数之和，恰好是原数478323各个数位上数字之和。

∵4＋7＋8＋3＋2＋3＝27是3（9）的倍数，故知478323是3（9）的倍数。

在实际考察4＋7＋8＋3＋2＋3与否被3（9）整除时，总可将3（9）的倍数划掉不予考虑。

即考虑被3整除时，划去7、2、3、3，只看4＋8，考虑被9整除时，由于7＋2＝9，故可直接划去7、2，只考虑4＋8＋3＋3即可。

如考察9876543被9除时与否整除，可以只考察数字和（9＋8＋7＋6＋5＋4＋3）与否被9整除，还可划去9、5＋4、6＋3，即只考察8

如问3与否整除9876543，则先可将9、6、3划去，再考虑其他数位上数字之和。由于3整除（8＋7＋5＋4），故有3整除9876543。

实际上，一种整数各个数位上数字之和被3（9）除所得的余数，就是这个整数被3（9）除所得的余数。

7．一种整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差假如是11的倍数，那么这个整数也是11的倍数。（一种整数的个位、百位、万位、…称为奇数位，十位、千位、百万位……称为偶数位。）

如判断42559能否被11整除。

42559＝4×10000＋2×1000＋5×100＋5×10＋9

＝4×（9999＋1）＋2×（1001－1）＋5（99＋1）

＋5×（11－1）＋9

＝（4×9999＋2×1001＋5×99＋5×11）＋（4－2＋5－5＋9）

＝11×（4×909＋2×91＋5×9＋5）＋（4－2＋5－5＋9）

前一部分显然是11的倍数。因此判断42559与否11的倍数只要看后一部分4－2＋5－5＋9与否为11的倍数。

而4－2＋5－5＋9＝（4＋5＋9）－（2＋5）恰为奇数位上数字之和减去偶数位上数字之和的差。

由于（4＋5＋9）－（2＋5）＝11是11的倍数，故42559是11的倍数。

目前要判断7295871与否为11的倍数，只须直接计算（1＋8＋9＋7）－（7＋5＋2）与否为11的倍数即可。由25－14＝11知（1＋8＋9＋7）－（7＋5＋2）是1的倍数，故11|7295871。

上面所举的例子，是奇数位数字和不小于偶数位数字和的情形。假如奇数位数字和不不小于偶数位数字和（即我们平时认为“不够减”），那么该怎么办呢？

如867493的奇数位数字和为3＋4＋6，而偶数位数字和为9＋7＋8。显然3＋4＋6不不小于9＋7＋8，即13不不小于24。

碰到这种状况，可在13－24这种式子背面依次加上11，直至“够减”为止。

由于13－24＋11＝0，恰为11的倍数，因此懂得867493必是11的倍数。

又如738292的奇数位数字和与偶数位数字和的差为

（2＋2＋3）－（9＋8＋7）＝7－24

7－24＋11＋11＝5（加了两次11使“够减”）。由于5不能被11整除，故可立即判断738292不能被11整除。

实际上，一种整数被11除所得的余数，即是这个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差被11除所得的余数（不够减时依次加11直至够减为止）。

同学们还会发现：任何一种三位数连写两次构成的六位数一定能被11整除。

如186这个三位数，连写两次成为六位数186186。由于这个六位数的奇数位数字和为6＋1＋8，偶数位数字和为8＋6＋1，它们的差恰好为零，故186186是11的倍数。数位数字和为c＋a＋b，偶数位数字和为b＋c＋a，它们的差恰为零，

象这样由三位数连写两次构成的六位数与否能被7整除呢？

如186186被7试除后商为26598，余数为零，即7｜186186。能否不做186186÷7，而有较简朴的判断措施呢？

由于186186＝186000＋186

＝186×1000＋186

＝186×1001

而1001＝7×11×13，因此186186一定能被7整除。

这就启发我们考虑，由于7×11×13＝1001，故若一种数被1001整除，则这个数必被7整除，也被11和13整除。

或将一种数分为两部分的和或差，假如其中一部分为1001的倍数，另一部分为7（11或13）的倍数，那么原数也一定是7（11或13）的倍数。

如判断2839704与否是7的倍数？

由于2839704＝2839000＋704

＝2839×1000＋704

＝2839×1001－2839＋704

＝2839×1001－（2839－704）

∵2839－704＝2135是7的倍数，因此2839704也是7的倍数；2135不是11（13）的倍数，因此2839704也不是11（13）的倍数。

实际上，对于283904这样一种七位数，要判断它与否为7（11或13）的倍数，只需将它分为2839和704两个数，看它们的差与否被7（11或13）整除即可。

又如判断42952与否被13整除，可将42952分为42和952两个数，只要看952－42＝910与否被13整除即可。由于910＝13×70，因此13整除910，

8．一种三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表达的三位数与末三位数字此前的数字所构成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。

另法：将一种多位数从后往前三位一组进行分段。奇数段各三位数之和与偶数段各三位数之和的差若被7（11或13）整除，则原多位数也被7（11或13）整除。

如3546725可分为3，546，725三段。奇数段的和为725＋3＝728，偶数段为546，两者的差为

728－546＝182＝7×26＝7×2×13完全平方数一种数假如是另一种整数的完全平方，那麼我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…

请大家认真学习下面内容：

性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

性质3：假如完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，假如完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

性质4：凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0自身）不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

性质5：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

性质6：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8k或8k+4型。

性质7：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。

性质8：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。

性质9：平方数的形式具有下列形式之一：16k,16k+1,16k+4,16k+9。

性质10：完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9。

性质11：a^2b为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。

性质12：假如质数p能整除a，但p^2不能整除a，则a不是完全平方数。

性质13：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若n^2<k<(n+1)^2,则k一定不是完全平方数。

性质14：一种正整数n是完全平方数的充足必要条件是n有奇数个因子(包括1和n自身)。

性质15：完全平方数的约数个数是奇数个。约数的个数为奇数个的自然数是完全平方数。

性质16：若质数p整除完全平方数a，则p^2|a。数量关系——商品销售问题迅速求解商店发售商品，总是期望获得利润.例如某商品买入价（成本）是50元，以70元卖出，就获得利润70-50＝20（元）.一般，利润也可以用百分数来说，20÷50＝0.4＝40％，我们也可以说获得40％的利润.因此

利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100％.

卖价=成本×（1+利润的百分数）.

成本=卖价÷（1+利润的百分数）.

商品的定价按照期望的利润来确定.

定价=成本×（1+期望利润的百分数）.

定价高了，商品也许卖不掉，只能减少利润（甚至赔本），减价发售.减价有时也按定价的百分数来算，这就是打折扣.减价25％，就是按定价的（1-25％）＝75％发售，一般就称为75折.因此

卖价=定价×折扣的百分数.

例1某商品按定价的80％（八折或80折）发售，仍能获得20％的利润，定价时期望的利润百分数是(

)

A：40%

B：60%

C：72%

D：50%

解析：设定价是“1”，卖价是定价的80％，就是0.8.由于获得20％

定价的期望利润的百分数是

答：期望利润的百分数是50％.

例2某商店进了一批笔记本，按30％的利润定价.当售出这批笔记本的80％后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的二分之一发售.问销完后商店实际获得的利润百分数是（

）

A：12%

B:18%

C:20%

D:17%

解：设这批笔记本的成本是“1”.因此定价是1×（1+30％）＝1.3.其中

80％的卖价是1.3×80％，

20％的卖价是1.3÷2×20％.

因此所有卖价是

1.3×80％＋1.3÷2×20％＝1.17.

实际获得利润的百分数是

1.17－1＝0.17＝17％.

答：这批笔记本商店实际获得利润是17％.

例3有一种商品，甲店进货价（成本）比乙店进货价廉价10％.甲店按20％的利润来定价，乙店按15％的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价廉价11.2元.问甲店的进货价是（

）元？

A：110

B：200

C：144

D：160

解：设乙店的进货价是“1”，甲店的进货价就是0.9.

乙店的定价是1×（1＋15％），甲店的定价就是0.9×（1＋20％）.

因此乙店的进货价是

11.2÷（1.15-0.9×1.2）=160（元）.

甲店的进货价是

160×0.9=144（元）.

答：甲店的进货价是144元.

设乙店进货价是1，比设甲店进货价是1，计算要以便些。

例4开明出版社出版的某种书，今年每册书的成本比去年增长10％，不过仍保持原售价，因此每本利润下降了40％，那么今年这种书的成本在售价中所占的百分数是多少？

A:89%

B:88%

C:72%

D:87.5%

解：设去年的利润是“1”.