高考试题中坐标系与参数方程问题的类型与解法-高考二轮复习专题讲义

高考试题中坐标系与参数方程问题的类型与解法坐标系与参数方程问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个坐标系与参数方程问题的10分大题。从题型上看是选做的两个大题中的一题，难度为中，低档题型，一般的考生都会拿到7到10分。纵观近几年高考试卷，归结起来坐标系与参数方程问题主要包括：①已知直线上一定点，直线与曲线相交于不同两点，求定点到两个交点的距离的和（或积或差）的值；②已知直线与曲线相交于不同两点，求满足某个条件的直线（或曲线）的方程（或求直线斜率的值或取值范围）；③已知直线和曲线的方程，曲线上一个动点，求与动点相关（或动点到定直线）的距离（或最值）；④已知直线和曲线的方程，直线与曲线满足某个条件，求点的坐标等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答该问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。【典例1】解答下列问题：x=2t，1、在平面直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为：y=（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：sin+cos=5，设曲线与曲线相交于A，B两点。（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）已知点P（2，3），求+的值（成都市高2021级高三零诊）2、在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：x=3，且y=3t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：2sin(+)=3。（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（2）已知点P的直角坐标为（-3，2），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值（成都市高2020级高三二诊）3、在直角坐标系XOY中，曲线C的参数方程为x=cos（为参数），以坐标原点Oy=sin，为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos-sin+=0。（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）在曲线C上任取一点（x，y），保持纵坐标y不变，将横坐标伸长为原来的倍得到曲线，设直线l与曲线相较于M，N两点，点P（-1，0），求|PM|+|PN|的值（2022成都市高三零诊）。4、在平面直角坐标系XOY中，曲线C的参数方程为：x=1+cos(为参数)，以坐标y=1+sin，原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（-）=。（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点A的直角坐标为（-1，3），直线l与曲线C相交于E，F两点，求|AE|.|AF|的值（2022成都市高三一诊）。5、在直角坐标系XOY中，曲线C的方程为：+=1，以坐标原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线L的极坐标方程为：=（R），其中为常数，且[0，）。（1）求直线l的普通方程与曲线C的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求+的取值范围（2022成都市高三二诊）。6、在直角坐标系XOY中，直线l的参数方程为x=1+t，（t为参数），以坐标原点y=t，O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=6cos（2021成都市高三零诊）。（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P（1，0），若直线l与曲线C相较于A，B两点，求+的值。7、在平面直角坐标系XOY中，曲线C的参数方程为：x=1+sin+cos(为参数)，y=2+sin-cos，以坐标原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin（-）=（2021成都市高三一诊）。（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P（0，2），若直线l与曲线C相交于A，B两点，求||PA|-|PB||的值。x=(k为参数)，8、在直角坐标系XOY中，曲线C的参数方程为y=k，以坐标原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（-）=1。（1）求曲线C与直线l的普通方程；（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，点M（，0），求|PM|+|QM|的值(2021成都市高三三诊)。9、在平面直角坐标系XOY中，曲线C的参数方程为x=，（m为参数），以坐标原y=2m，点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：sin-cos+1=0（2020成都市高三二诊）。（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（2）已知点P（2，1），设直线l与曲线C相较于M，N两点，求+的值。x=-+t，(t为参数)，以坐标10、在平面直角坐标系XOY中，直线l的参数方程为y=+t，原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：+6cos）=a，其中a>0。（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）在平面直角坐标系XOY中，设直线l与曲线C相较于A，B两点，若点P（-，）恰为线段AB的三等分点，求a的值（2020成都市高三三诊）。11、在直角坐标系XOY中，过点P（1，1）的直线l的参数方程为：x=1+tcos，（t为参数），以坐标原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，y=1+tsin，曲线C的极坐标方程为=4cos（2020成都市高三零诊）。（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相较于A，B两点，求-的最小值。『思考问题1』（1）【典例1】的结构特征是：第一小题是已知直线和曲线的参数方程（或极坐标方程），求直线和曲线的普通方程（或直角坐标方程）；第二小题是已知一个定点和直线与曲线相较于不同两点，求定点到两个交点之间距离的和（或积或差）的值；（2）解答这类问题的基本方法是：第一小题用参数方程画普通方程（或极坐标方程画直角坐标方程）的基本方法去解答；第二小题的解答方法是：①确定已知点在直线上；②由直线的参数方程与曲线方程联立，消去未知数x和y得到关于参数t的一元二次方程；③根据韦达定理得到+和.的值；④运用定点到两个交点的距离和=|+|，距离积=|.|，距离差=|-|=求出结果。【典例2】解答下列问题：1、在直角坐标系XOY中，C的圆心为C（2，1），半径为1。（1）写出C的一个参数方程；（2）过点F（4，1）作C的两条切线，以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程（2021全国高考乙卷）2、已知曲线，的参数方程分别为：x=4cos（为参数），：y=t-，y=4sin，x=t+(t为参数）。（1）将，的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设，的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程（2020全国高考新课标II）。3、在平面直角坐标系XOY中，曲线C参数方程为x=2-t-(t为参数且t1)，C与y=2-3t+，坐标轴交于A，B两点。（1）求|AB|；（2）以坐标原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程（2020全国高考新课标III）。『思考问题2』（1）【典例2】的结构特征是：第一小题是已知直线和曲线的参数方程（或极坐标方程），求直线和曲线的普通方程（或直角坐标方程）；第二小题已知直线与曲线相交于不同两点，所求问题是直线（或曲线）的方程或求直线斜率的值（或取值范围）；（2）解答这类问题的基本方法是：第一小题用参数方程画普通方程（或极坐标方程画直角坐标方程）的基本方法去解答；第二小题的基本方法是：①由直线和曲线的直角坐标方程联立，消去y（或x）得到关于x（或y）的一元二次方程；②根据韦达定理得到+和.的式子；③利用②的式子结合所求问题把结果表示出来；④化简整理得出问题的结果。【典例3】解答下列问题：x=1+t(t为参数)，1、在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为y=2-，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=。（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若P是曲线C时一点，Q是直线l上一点，求|PQ|的最小值。2、在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为x=1+cos(为参数)，直线l的y=sin，方程为x+y-6=0，以坐标原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（1）求曲线C和直线l的极坐标方程；（2）若点P（x，y）在直线l上，且y>0，射线OP与曲线C相交于异于O点的点Q，求的最小值（2021成都市高三二诊）。3、在平面直角坐标系XOY中，已知P是曲线：+=4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转得到OQ，设点Q的轨迹为曲线，以坐标原点O为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系（2020成都市高三一诊）。（1）求曲线，的极坐标方程；（2）在极坐标系中，点M（3，），射线=(0)与曲线，分别相较于异于极点O的A，B两点，求MAB的面积。『思考问题3』（1）【典例3】的结构特征是：第一小题已知直线和曲线的参数方程（或极坐标方程），求直线和曲线的普通方程（或直角坐标方程）；第二小题是已知直线与曲线相交于不同两点，求弦长（或多边形的面积）或求动点到定直线距离的最值；（2）解答这类问题的基本方法是：第一小题用参数方程画普通方程（或极坐标方程化直角坐标方程）的基本方法去解答；第二小题解答的基本方法是：①把曲线上的动点坐标用曲线的参数方程表示出来；②将两点（或动点到定直线）的距离表示出来得到相关的三角函数式；③根据②的三角函数式运用求三角函数最值的基本方法求出问题的最值；④得出问题的结果或运用设而不求，整体代入的数学思想，结合多边形的面积公式（或弦长公式）求出问题的结果。【典例4】解答下列问题：1、已知P（2，1），直线l:x=2+tcos，（t为参数），l与x轴，y轴正半轴相交于y=1+tsin，A，B两点，|PA|.|PB|=4。（1）求的值；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程（2023全国高考甲卷）2、在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：=2sin，（≤≤），曲线的参数方程为：x=2cos，且y=2sin（为参数，<<）。 写出的直角坐标方程；（2）若直线y=x+m既与没有公共点，也与没有公共点，求m的取值范围（2023全国高考乙卷）3、在平面直角坐标系xOy中，圆心为A的圆的参数方程为：x=2+cost，且y=sint(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为=2-2cos。（1）求圆的极坐标方程；（2）设点B在曲线上，且满足|AB|=，求点B的极径。4、在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=2cos。（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足：=，写出P的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点（2021全国高考甲卷）。5、在直角坐标系XOY中，曲线的参数方程为x=cost（t为参数），以坐标原y=t，为极点，以X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为4cos-16sin+3=0。（1）当k=1时，是什么曲线？（2）当k=4时，求与的公共点的直角坐标（2020全国高考新课标I）。『思考问题4』（1）【典例4】的结构特征是：第一小题已知直线和曲线的参数方程（或极坐标方程），求直线和曲线的普通方程（或直角坐标方程），或求满足一定条件的曲线（或直线）的极坐标方程；第二小题是已知直线与曲线相交，求交点的坐标，或已知曲线上一点满足的条件，求该点的极坐标；（2）解答这类问题的基本方法是：第一小题用参数方程化普通方程（或极坐标方程化直角坐标方程）的基本方法去解答，或运用求曲线极坐标方程的基本方法，求出满足问题条件的极坐标方程；第二小题解答的基本方法是：①联立直线l的普通方程（或直角坐标方程）和曲线C的直角坐标方程（或普通方程）得到关于x的一元二次方程；②求解方程；③结合问题条件验证是否符合题意；④得出所求点的直角坐标（或极坐标）。高考试题中坐标系与参数方程问题的类型与解法坐标系与参数方程问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个坐标系与参数方程问题的10分大题。从题型上看是选做的两个大题中的一题，难度为中，低档题型，一般的考生都会拿到7到10分。纵观近几年高考试卷，归结起来坐标系与参数方程问题主要包括：①已知直线上一定点，直线与曲线相交于不同两点，求定点到两个交点的距离的和（或积或差）的值；②已知直线与曲线相交于不同两点，求满足某个条件的直线（或曲线）的方程（或求直线斜率的值或取值范围）；③已知直线和曲线的方程，曲线上一个动点，求与动点相关（或动点到定直线）的距离（或最值）；④已知直线和曲线的方程，直线与曲线满足某个条件，求点的坐标等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答该问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。【典例1】解答下列问题：x=2t，1、在平面直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为：y=（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：sin+cos=5，设曲线与曲线相交于A，B两点。（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）已知点P（2，3），求+的值（成都市高2021级高三零诊）【解析】【考点】①参数方程化普通方程的基本方法；②极坐标方程化直角坐标方程的基本方法；③直线参数方程定义与性质；④处理直线与曲线相交问题的基本方法。【解题思路】（1）根据参数方程化普通方程和极坐标方程化直角坐标方程的基本方法，结合问题条件，就可得出曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）根据伸缩变换的性质，求出曲线的普通方程，由直线l的参数方程和曲线的普通方程联立得到关于参数t的一元二次方程，运用直线参数t的几何意义和设而不求，整体代入的数学思想，结合问题条件就可求出|PM|+|PN|的值。【详细解答】（1）曲线的参数方程为：x=2t，且y=（t为参数），曲线的普通方程为：=4y，曲线的极坐标方程为：sin+cos=5，曲线的直角坐标方程为：x+y-5=0,；（2）当x=2时，y=5-2=3，点P（2，3）在曲线上，曲线的参数方程为x=2-t，且y=3+t(t为参数），联立曲线的普通方程与曲线的参数方程得：-8t-16=0，+=8，.=-16，+====x=3，在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：y=3t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极极点，极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：2sin(+)=3。（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（2）已知点P的直角坐标为（-3，2），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值（成都市高2020级高三二诊）【解析】【考点】①极坐标方程化直角坐标方程的基本方法；②参数方程化普通方程的基本方法；③直线参数方程中参数的意义及运用。【解题思路】（1）根据极坐标方程化直角坐标方程和参数方程化普通方程的基本方法，结合问题条件就可得到曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）由直线l的直角坐标方程得到直线l的参数方程，验证已知点P是否在直线l上，联立直线l的参数方程和曲线C的普通方程得到关于t的一元二次函数，运用设而不求，整体代入的数学思想，就可求出|PA|+|PB|的值。x=3，【详细解答】（1）曲线C的参数方程为：y=3t（t为参数），曲线C的普通方程为：=3x，直线l的极坐标方程为：2sin(+)=3，直线l的直角坐标方程为：x+y-3=0；（2）当x=-3时，y=3+3=6，y=2，点P在直线l上，直线l的参数方程为：x=-3-t（t为参数），联立直线l的参数方程与曲线C的普通方程得：+14t+84=0，y=2+t，设，是方程+14t+84=0的两根，+=-14，.=84，|PA|+|PB|=|+|=14。3、在直角坐标系XOY中，曲线C的参数方程为x=cos（为参数），以坐标原点Oy=sin，为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos-sin+=0。（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）在曲线C上任取一点（x，y），保持纵坐标y不变，将横坐标伸长为原来的倍得到曲线，设直线l与曲线相较于M，N两点，点P（-1，0），求|PM|+|PN|的值（2022成都市高三零诊）。【解析】【考点】①参数方程定义与性质；②极坐标方程定义与性质；③参数方程化普通方程的基本方法；④极坐标方程化直角坐标方程的基本方法；⑤伸缩变换定义与性质；⑥设而不求，整体代入数学思想及运用。【解题思路】（1）根据参数方程和极坐标方程的性质，运用参数方程化普通方程和极坐标方程化直角坐标方程的基本方法，结合问题条件就可求出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）根据伸缩变换的性质，求出曲线的普通方程，由直线l的参数方程和曲线的普通方程联立得到关于参数t的一元二次方程，运用直线参数t的几何意义和设而不求，整体代入的数学思想，结合问题条件就可求出|PM|+|PN|的值。【详细解答】（1）曲线C的参数方程为x=cos（为参数），曲线C的普通方y=sin，程为+=1，直线l的极坐标方程为cos-sin+=0，直线l的直角坐标方程为x-y+=0；（2）在曲线C上任取一点（x，y），保持纵坐标y不变，将横坐标伸长为原来的倍得到曲线，曲线的普通方程为：+=1，直线l的参数方程为：x=t，y=+t，（t为参数），联立直线l的参数方程和曲线C的普通方程得：5+18t+12=0，+=-，.=，当x=-1时，y=-+=0，点P（-1，0）在直线l上，|PM|+|PN|=||+||=|-|===。4、在平面直角坐标系XOY中，曲线C的参数方程为：x=1+cos(为参数)，以坐标y=1+sin，原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（-）=。（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点A的直角坐标为（-1，3），直线l与曲线C相交于E，F两点，求|AE|.|AF|的值（2022成都市高三一诊）。【解析】【考点】①参数方程化普通方程的基本方法；②极坐标方程化直角坐标方程的基本方法；③直线参数方程中参数的意义；④设而不求，整体代入数学思想及运用。【解题思路】（1）根据参数方程化普通方程和极坐标方程化直角坐标方程的基本方法，结合问题条件就可得到曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）根据直线l的参数方程和曲线C的普通方程联立得到关于参数t的一元二次方程，运用直线方程参数t的几何意义和设而不求，整体代入的数学思想就可求出|AE|.|AF|的值。【详细解答】（1）直线l的极坐标方程为cos（-）=，（cos+sin）=，直线l的直角坐标方程为x+y-2=0；曲线C的参数方程为：x=1+cos，y=1+sin(为参数)，+=cos+sin=1，即：曲线C的普通方程为+=1，（2）当x=-1时，y=1+2=3，点A（-1，3）在直线l上，直线l的参数方程为x=-1-t，y=3+t(t为参数)，联立直线l的参数方程和曲线C的普通方程得：+4t+7=0，设，是方程+4t+7=0，的两个根，+=-4，.=7，|AE|.|AF|=||=7。5、在直角坐标系XOY中，曲线C的方程为：+=1，以坐标原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线L的极坐标方程为：=（R），其中为常数，且[0，）。（1）求直线l的普通方程与曲线C的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求+的取值范围（2022成都市高三二诊）。【解析】【考点】①直角坐标方程化极坐标方程的基本方法；②极坐标方程化普通方程的基本方法；③直线参数方程中参数的意义及运用；④求三角函数值域的基本方法。【解题思路】（1）根据直角坐标方程化极坐标方程和极坐标方程化普通方程的基本方法，结合问题条件就可得到曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程；（2）由直线l与曲线C相交于A，B两点，得到（，），联立直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程得到关于t的一元二次函数，从而得到+关于的三角函数式，运用求三角函数值域的基本方法就可求出+的取值范围。【详细解答】（1）曲线C的直角坐标方程为：+=1，曲线C的极坐标方程为：-4sin(+),，直线L的极坐标方程为：=,其中为常数，且[0，）,当=时，直线l的普通方程为：x=0，当[0，）（，）时，直线l的普通方程为：y=xtan；（2）直线l与曲线C相交于A，B两点，（，），直线l过原点，直线l的参数方程为：x=tcos，y=tsin，联立直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程得：-2(cos+sin)t+3=0，设，是方程-2(cos+sin)t+3=0的两根，+=2(cos+sin)=4sin（+），.=3，+===sin（+），（，），+（，），sin（+）（，1]，+的取值范围是（，]。在直角坐标系XOY中，直线l的参数方程为x=1+t，（t为参数），以坐标原点y=t，O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=6cos（2021成都市高三零诊）。极（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P（1，0），若直线l与曲线C相较于A，B两点，求+的值。【解析】【考点】①参数方程的定义与性质；②极坐标方程的定义与性质；③参数方程化普通方程的基本方法；④极坐标方程化直角坐标方程的基本方法；⑤完全平方公式及运用。【解题思路】（1）运用参数方程化普通方程和极坐标方程化直角坐标方程的基本方法，结合问题条件就可求出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）根据直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程联立得到关于参数t的一元二次方程，运用直线参数t的几何意义和完全平方公式，结合问题条件就可求出+的值。【详细解答】（1）曲线C的极坐标方程为=4cos，=6cos，+=6x，曲线C的直角坐标方程为：+-6x=0，直线l的参数方程为：x=1+t，（t为参数），直线l的普通方程是x-y-1=0；（2）当x=1时，y=1-1=0，y=t，已知点P（1，0）在直线l上，由x=1+t，得-2t-5=0，+y=t，=2，.=-5，++-6x=0，======。7、在平面直角坐标系XOY中，曲线C的参数方程为：x=1+sin+cos(为参数)，y=2+sin-cos，以坐标原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin（-）=（2021成都市高三一诊）。（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P（0，2），若直线l与曲线C相交于A，B两点，求||PA|-|PB||的值。【解析】【考点】①参数方程化普通方程的基本方法；②极坐标方程化直角坐标方程的基本方法；③直线参数方程中参数的意义；④完全平方公式及运用。【解题思路】（1）根据参数方程化普通方程和极坐标方程化直角坐标方程的基本方法，结合问题条件就可得到曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）根据直线l的参数方程和曲线C的普通方程联立得到关于参数t的一元二次方程，运用直线参数t的几何意义和完全平方公式就可求出||PA|-|PB||的值。【详细解答】（1）曲线C的参数方程为：x=1+sin+cos,且y=2+sin-cos，(为参数)，+=+=2，即：曲线C的普通方程为+=2，直线l的极坐标方程为sin（-）=，（sin-cos）=，即：直线l的直角坐标方程为x-y+2=0；（2）当x=0时，y=0+2=2，点P（0，2）在直线l上，直线l的参数方程为x=t，且y=2+t，(t为参数)，联立直线l的参数方程与曲线C的普通方程得：-t-1=0，设，是方程-t-1=0的两个根，+=，.=-1，||PA|-|PB||=|||-|||=|+|=。8、在直角坐标系XOY中，曲线C的参数方程为：x=,且y=k(k为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为:cos（-）=1。（1）求曲线C与直线l的普通方程；（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，点M（，0），求|PM|+|QM|的值(2021成都市高三三诊)。【解析】【考点】①参数方程化普通方程的基本方法；②极坐标方程化直角坐标方程的基本方法；③直线参数方程的定义与性质；④完全平方公式及运用。【解题思路】（1）根据参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程的基本方法就可得到曲线C和直线l的普通方程；（2）根据直线普通方程化参数方程的基本方法把直线l的普通方程化为参数方程，联立曲线C的普通方程和直线l的参数方程得到关于t的一元二次方程，运用根与系数的关系定理求出+，.的值，就可求出|PM|+|QM|的值。【详细解答】（1）曲线C的参数方程为x=，且y=k(k为参数)，=2=2x，即曲线C的普通方程为=2x，直线l的极坐标方程为cos（-）=1，（cos+sin）=1，即直线l的直角坐标方程为x+y-=0；（2）当x=时，y=-+=0，点M（，0）在直线l上，直线l的参数方程为x=-t，且y=t，(t为参数)，联立直线l的参数方程与曲线C的普通方程得：+2t-4=0，设，是方程+2t-4=0的两个根，+=-2，.=-4，|PM|+|QM|=-2|PM|.|QM|=-2.=8-2（-4）=8（1+）。9、在平面直角坐标系XOY中，曲线C的参数方程为x=，（m为参数），以坐标原y=2m，点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：sin-cos+1=0（2020成都市高三二诊）。（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（2）已知点P（2，1），设直线l与曲线C相较于M，N两点，求+的值。【解析】【考点】①参数方程化普通方程的基本方法；②极坐标方程化直角坐标方程的基本方法；③直线参数方程的定义与性质；④一元二次方程根与系数关系定理及运用。【解题思路】（1）运用参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程的基本方法就可得到曲线C的普通方程，直线l的直角坐标方程；（2）根据直线普通方程化参数方程的基本方法把直线l化为参数方程，联立曲线C的普通方程得到关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系定理求出，+，.的值，从而求出+的值。【详细解答】（1）曲线C的参数方程为x=，（m为参数），曲线C的普通y=2m，方程为：=4x，直线l的极坐标方程为：sin-cos+1=0，直线l的直角坐标方程是：x-y-1=0；（2）当x=2时，y=2-1=1，点P（2，1）在直线l上，直线l的参数方程为：x=2+t，y=1+t（t为参数），联立直线l的参数方程与曲线C的普通方程得：-2t-14=0，设，是方程-2t-14=0的两个根，+=2，.=-14，+==||=。x=-+t，(t为参数)，以坐标10、在平面直角坐标系XOY中，直线l的参数方程为y=+t，原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：+6cos）=a，其中a>0。（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）在平面直角坐标系XOY中，设直线l与曲线C相较于A，B两点，若点P（-，）恰为线段AB的三等分点，求a的值（2020成都市高三三诊）。【解析】【考点】①参数方程化普通方程的基本方法；②极坐标方程化直角坐标方程的基本方法；③直线参数方程的定义与性质；④一元二次方程根与系数关系定理及运用。【解题思路】（1）运用参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程的基本方法就可得到曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）根据直线普通方程化参数方程的基本方法把直线l化为参数方程，联立曲线C的普通方程得到关于t的一元二次方程，由根与系数的关系求出+，.的值，结合问题条件求出，的值，从而求出a的值。【详细解答】（1）直线l的参数方程为x=-+t，（t为参数），直线l的普y=+t，普通方程为：x-y+4=0，曲线C的极坐标方程为：+6cos）=a，曲线C的直角坐标方程为：++6x-a=0，（2）联立直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程得：+t--a=0，设，是方程+t--a=0的两个根，+=-，.=--a，点P（-，）恰为线段AB的三等分点，=-2，=+=，a=4。11、在直角坐标系xOy中，过点P（1，1）的直线l的参数方程为：x=1+tcos，（t为参数），以坐标原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，y=1+tsin，曲线C的极坐标方程为=4cos（2020成都市高三零诊）。（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相较于A，B两点，求-的最小值。【解析】【考点】①直线参数方程的定义与性质；②极坐标方程化直角坐标方程的基本方法；③一元二次方程根与系数关系定理及运用。【解题思路】运用极坐标方程化直角坐标方程的基本方法，就可得到曲线C的直角坐标方程是；（2）联立直线l参数方程与曲线C的直角坐标方程得到关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系定理求出+，.的值，从而求出-的值。【详细解答】（1）曲线C的极坐标方程为=4cos，=4cos，+=4x，曲线C的直角坐标方程是：+=4；（2）联立直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程x=1+tcos（t为参数），得：+2t（sin-cos）-2=0，+=-2（sin-cos）,y=1+tsin，.=-2，-==+=4，==，当且仅当2=，即=时，-==为最小值，-的最小值是。『思考问题1』（1）【典例1】的结构特征是：第一小题是已知直线和曲线的参数方程（或极坐标方程），求直线和曲线的普通方程（或直角坐标方程）；第二小题是已知一个定点和直线与曲线相较于不同两点，求定点到两个交点之间距离的和（或积或差）的值；（2）解答这类问题的基本方法是：第一小题用参数方程画普通方程（或极坐标方程画直角坐标方程）的基本方法去解答；第二小题的解答方法是：①确定已知点在直线上；②由直线的参数方程与曲线方程联立，消去未知数x和y得到关于参数t的一元二次方程；③根据韦达定理得到+和.的值；④运用定点到两个交点的距离和=|+|，距离积=|.|，距离差=|-|=求出结果。【典例2】解答下列问题：1、在直角坐标系xOy中，C的圆心为C（2，1），半径为1。（1）写出C的一个参数方程；（2）过点F（4，1）作C的两条切线，以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程（2021全国高考乙卷）【解析】【考点】①普通方程化参数方程的基本方法；②求过定点与圆相切的切线方程的基本方法；③直角坐标方程化极坐标方程的基本方法。【解题思路】（1）根据求圆方程的基本方法，结合问题条件求出C的普通方程；运用普通方程化参数方程的基本方法就可得到C的一个参数方程；（2）根据求过定点与圆相切的切线方程的基本方法求出过点F（4，1）C的两条切线方程，运用直角坐标方程化极坐标方程的基本方法就可得到两条切线的极坐标方程。【详细解答】（1）C的圆心为C（2，1），半径为1，C的普通方程为：+=1，x=2+cos（为参数），C的一个参数方程为：x=2+cos（为y=1+sin，y=1+sin，参数）；（2）设过点F（4，1）C的切线方程为：kx-y-4k+1=0，===1，3=1，k=，过点F（4，1）C的两条切线方程分别为：x-y-=0或x+y-=0，即：过点F（4，1）C的两条切线极坐标方程分别为：cos-sin-=0或cos+sin-=0。已知曲线，的参数方程分别为：x=4cos，且y=4sin，（为参数），：x=t+且y=t-，(t为参数）。（1）将，的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设，的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程（2020全国高考新课标II）。【解析】 【考点】①参数方程化普通方程的基本方法；②求圆极坐标方程的基本方法；③正弦定理及运用；④余弦定理及运用。【解题思路】（1）运用参数方程化普通方程的基本方法，结合问题条件就可得到曲线，的普通方程；（2）联立曲线，的普通方程求出点P的直角坐标，从而得到点P的极坐标，如图设M（，）是所求圆上任意一点，利用求圆极坐标方程的基本方法，结合问题条件就可求出圆的极坐标方程。【解详细答】（1）曲线参数方程为：x=4cos且y=4sin（为参数），x+y=4(cos+sin)=4，曲线的普通方程是：x+y-4=0，曲线的参数方程为为：x=t+且y=t-，(t为参数)，t=，=，曲线的普通方程是：-=4；（2）如图，设M（，）是所求圆上任意A一点，联立曲线，的普通方程得：P（，PMA），点P的极坐标为：P（，），O（tan=），cos=，|AP|=|OA|+|OP|-2|OP||OA|.cos,2|OA|cos=|OP|，|AP|=|OA|=,在OAM中，=，|OM|===cos，所求圆的极坐标方程为：=cos。3、在平面直角坐标系XOY中，曲线C参数方程为x=2-t-(t为参数且t1)，C与y=2-3t+，坐标轴交于A，B两点。（1）求|AB|；（2）以坐标原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程（2020全国高考新课标III）。【解析】 【考点】①参数方程化普通方程的基本方法；②两点之间的距离公式及运用；③求直线极坐标方程的基本方法。【解题思路】（1）根据参数方程化普通方程的基本方法求出曲线C的普通方程，从而求出点A，B的直角坐标，运用两点之间的距离公式通过运算就可求出|AB|；（2）如图，设P（，）是所求直线上的任意一点，利用求直线极坐标方程的基本方法，结合问题条件就可求出直线AB的极坐标方程。x=2-t-(t为参数且t1)，t=1-，【解详细答】（1）曲线C参数方程为y=2-3t+，=1-+，曲线C的普通方程为：+2xy++4x-12y=0，令x=0，得y=0或y=12，B（0，12），令y=0，得x=0或x=-4，A（-4，0），|AB|==4；（2））如图，设P（，）是所求直线上yB任意一点，在OAP中，sinOAP=，PcosOAP=，APO=-OAP，AOxsinAPO=sin（-OAP）=sin-cos，=，|OP|=，|OP|（sin-cos）=4，直线AB的极坐标方程是：sin-3cos+12=0。『思考问题2』（1）【典例2】的结构特征是：第一小题是已知直线和曲线的参数方程（或极坐标方程），求直线和曲线的普通方程（或直角坐标方程）；第二小题已知直线与曲线相交于不同两点，所求问题是直线（或曲线）的方程或求直线斜率的值（或取值范围）；（2）解答这类问题的基本方法是：第一小题用参数方程画普通方程（或极坐标方程画直角坐标方程）的基本方法去解答；第二小题的基本方法是：①由直线和曲线的直角坐标方程联立，消去y（或x）得到关于x（或y）的一元二次方程；②根据韦达定理得到+和.的式子；③利用②的式子结合所求问题把结果表示出来；④化简整理得出问题的结果。【典例3】解答下列问题：x=1+t(t为参数)，1、在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为y=2-，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=。（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若P是曲线C时一点，Q是直线l上一点，求|PQ|的最小值。【解析】【考点】①参数方程化普通方程的基本方法；②极坐标方程化直角坐标方程的基本方法；③椭圆参数方程定义与性质；④点到直线的距离公式及运用。【解题思路】（1）根据参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程的基本方法就可得到直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）根据椭圆的参数方程得到点P坐标的参数表示式，运用点到直线的距离公式得到|PQ|关于参数的三角函数式，利用求三角函数最值的基本方法就可求出|PQ|的最小值|。【详细解答】（1）直线l的参数方程是x=1+t，且y=2-(t为参数)，直线l的普通方程为2x+3y-8=0，曲线C的极坐标方程为=，曲线C的直角坐标方程为+=1；（2）设P（2cos，sin）是曲线C上的任意一点，点P到直线l的距离==（其中tan=），当且仅当+=2k+时，=为最小，若P是曲线C时一点，Q是直线l上一点，则|PQ|的最小值为。2、在直角坐标系XOY中，已知曲线C的参数方程为x=1+cos(为参数)，直线l的y=sin，方程为x+y-6=0，以坐标原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（1）求曲线C和直线l的极坐标方程；（2）若点P（x，y）在直线l上，且y>0，射线OP与曲线C相交于异于O点的点Q，求的最小值（2021成都市高三二诊）。【解析】【考点】①参数方程化普通方程的基本方法；②直角坐标方程化极坐标方程的基本方法；③极坐标的定义与性质；④求三角函数最值的基本方法。【解题思路】（1）根据参数方程化普通方程的基本方法，结合问题条件得到曲线C的普通方程，运用角直坐标方程化极坐标方程的基本方法就可得到曲线C和直线l的极坐标方程；（2）设点P的极坐标为（，），点Q的极坐标为（，），根据曲线C和直线l的极坐标方程分别得到|OP|，|OQ|关于的三角函数表示式，从而得到关于的三角函数表示式，运用求三角函数最值的基本方法就可求出的最小值。【详细解答】（1）曲线C的参数方程为x=1+cos，且y=sin(为参数)，曲线C的普通方程为+=1，即曲线C的极坐标方程为=2cos，直线l的方程为x+y-6=0，直线l的极坐标方程为cos+sin-6=0；（2）设点P的极坐标为（，），点Q的极坐标为（，），（0，），|OP|==，|OQ|==2cos，===，（0，），2+（，），当且仅当2+=即=时，有最小值=2，的最小值为2。3、在平面直角坐标系XOY中，已知P是曲线：+=4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转得到OQ，设点Q的轨迹为曲线，以坐标原点O为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系（2020成都市高三一诊）。（1）求曲线，的极坐标方程；（2）在极坐标系中，点M（3，），射线=(0)与曲线，分别相较于异于极点O的A，B两点，求MAB的面积。【解析】【考点】①直角坐标方程化极坐标方程的基本方法；②求点轨迹方程的基本方法；③极坐标的定义与性质；④三角形面积公式与计算方法。【解题思路】（1）运用角直坐标方程化极坐标方程的基本方法，结合问题条件就可得到曲线的极坐标方程，根据求点轨迹方程的基本方法求出曲线的极坐标方程；（2）联立曲线，和射线的极坐标方程得到关于的一元二次方程，求出|AB|，利用三角形的面积公式通过计算就可求出MAB的面积。【详细解答】（1）根据题意可知点Q的轨迹方程是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，曲线的直角坐标方程为：+=4，+=4x，曲线的极坐标方程是：=4cos；曲线的直角坐标方程为：+=4，+=4y，曲线的极坐标方程是：=4sin；（2）在极坐标系中，设点A，B的极径分别为，，|AB|=|-|=|4（sin-cos）|=|4(sin-cos)|=2(-1)，点M（3，）到射线=的距离d=3sin=，=|AB|d=2(-1)==。『思考问题3』（1）【典例3】的结构特征是：第一小题已知直线和曲线的参数方程（或极坐标方程），求直线和曲线的普通方程（或直角坐标方程）；第二小题是已知直线与曲线相交于不同两点，求弦长（或多边形的面积）或求动点到定直线距离的最值；（2）解答这类问题的基本方法是：第一小题用参数方程画普通方程（或极坐标方程化直角坐标方程）的基本方法去解答；第二小题解答的基本方法是：①把曲线上的动点坐标用曲线的参数方程表示出来；②将两点（或动点到定直线）的距离表示出来得到相关的三角函数式；③根据②的三角函数式运用求三角函数最值的基本方法求出问题的最值；④得出问题的结果或运用设而不求，整体代入的数学思想，结合多边形的面积公式（或弦长公式）求出问题的结果。【典例4】解答下列问题：1、已知P（2，1），直线l:x=2+tcos，（t为参数），l与x轴，y轴正半轴相交于y=1+tsin，A，B两点，|PA|.|PB|=4。（1）求的值；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程（2023全国高考甲卷）【解析】【考点】①参数方程方程化普通方程的基本方法；②两点之间距离公式及运用；③直角坐标方程化极坐标方程的基本方法。【解题思路】（1）根据参数方程化普通方程的基本方法，结合问题条件就可得到直线l的普通方程，从而得到点A，B的坐标，运用两点之间的距离公式，结合问题条件得到关的方程，求解方程就可求出的值；（2）根据直角坐标方程化极坐标方程的基本方法，就可求出直线l的极坐标方程。【详细解答】（1）直线l的参数方程为：x=2+tcos，且y=1+tsin，（t为参数），直线l的普通方程是y=(x-2)tan+1，|PA|==，|PB|==2，|PA|.|PB|=4，=4，-2|tan|+1=0，|tan|=1，当x=2时，y=-2+3=1，点P在直线l上，即直线l的极坐标方程为cos+sin-3=0。2、在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：=2sin，（≤≤），曲线的参数方程为：x=2cos，且y=2sin（为参数，<<）。 写出的直角坐标方程；（2）若直线y=x+m既与没有公共点，也与没有公共点，求m的取值范围（2023全国高考乙卷）【解析】【考点】①极坐标方程方程化直角坐标方程的基本方法；②参数方程化普通方程的方法；③判断直线与曲线位置关系的基本方法。【解题思路】（1）根据极坐标方程化化直角坐标方程的基本方法，结合问题条件就可得到曲线的直角坐标方程；（2）根据参数方程化普通方程的基本方法，得到曲线的普通方程，运用判断直线与曲线位置关系的基本方法，得到关于m的不等式组，求解不等式组就可求出m的取值范围。【详细解答】（1）曲线的极坐标方程为：=2sin，=2sin，+=2y，x=cos=2sincos=sin2，y=sin=2sin=1-cos2，（≤≤），0≤x≤1，1≤y≤2，曲线的直角坐标方程为+=1（0≤x≤1，1≤y≤2）；（2）曲线的参数方程为：x=2cos，且y=2sin（为参数，<<），曲线的普通方程为+=4（-2<<x<0,0<y<2），在同一直角坐标系中作出，的图像如图所示，直线y=x+m既与没有公共点，也与没有公共点，当===2，即m=2时，直线y=x+m与曲线相切，当m=0时，直线y=x+m与曲线相交，m>2或m<0,若直线y=x+m既与没有公共点，也与没有公共点，则m的取值范围是（-，0）（2，+）。3、在平面直角坐标系xOy中，圆心为A的圆的参数方程为：x=2+cost，且y=sin