江西省宜春市高三高考模拟数学（文科）试卷（2021-04）

2021年江西省宜春市高三高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x|log2x＞1}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∪B＝（）A．（2，3） B．（﹣1，3） C．（2，+∞） D．（﹣1，+∞）2．已知a+bi（a，b∈R）是的共轭复数，则a+b＝（）A．﹣1 B．﹣ C． D．13．已知a＝3，b＝log32，c＝cos4，则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a4．数列﹣1，a，b，c，﹣9成等比数列，则实数b的值为（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．以上都不对5．人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源．根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提．截止2020年10月10日，我国共进行了六次人口普查，如图是这次人口普查的人数和增幅情况，下列说法正确的是（）A．人口数逐次增加，第二次增幅最大 B．第六次普查人数最多，第四次增幅最小 C．第六次普查人数最多，第三次增幅最大 D．人口数逐次增加，从第二次开始增幅减小6．已知向量，的模为1，且|+|＝1，则向量，的夹角为（）A． B． C． D．7．已知直线x+y+1＝0与圆C相切，且直线mx﹣y﹣2m﹣1＝0（m∈R）始终平分圆C的面积，则圆C的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1 B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2 D．（x﹣2）2+（y+1）2＝28．“m＜4”是“函数f（x）＝2x2﹣mx+lnx在（0，+∞）上单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”，这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出i的值为（）A．8 B．7 C．6 D．510．点P是双曲线右支上的一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点I是△PF1F2的内切圆圆心，记△IPF1，△IPF2，△IF1F2的面积分别为S1，S2，S3，若S1﹣S2≤恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．（0，2] B．[2，+∞） C．（1，2] D．11．将函数f（x）＝2（cosx+sinx）•cosx﹣1的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，且当x∈[]时，关于x的方程g2（x）﹣（a+2）g（x）+2a＝0有三个不等实根，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，0] B．（﹣，﹣1] C．[﹣1，] D．[﹣，﹣1]12．已知数列{an}满足a1＝1，an+1﹣an＞，则下列关系一定成立的是（）A．a2021＞ln2022 B．a2021＜ln2021 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知2m＝5n＝10，则＝．14．一只蚂蚁在最小边长大于4，且面积为24的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过2的概率为．15．在△ABC中，三边长为连续的正整数，且最大角是最小角的2倍，则此三角形的周长为．16．向棱长为2的正方体密闭容器内注入体积为x（0＜x＜8）的水，旋转容器，若水面恰好经过正方体的某条体对角线，则水面边界周长的最小值为．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001，002，003，…，800进行编号．（Ⅰ）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（下面摘取了第7行至第9行）844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954（Ⅱ）抽的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：人数数学优秀良好及格地理优秀7205良好9186及格a4b成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4＝42人，若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a，b的值．（Ⅲ）将a≥10，b≥8的a，b表示成有序数对（a，b），求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的数对（a，b）的概率．18．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求b的值；（2）若，求△ABC面积的最大值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，E，F分别为PC，CD的中点，DE＝EC．（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；（2）设PA＝a，若三棱锥B﹣PED的体积V＝，求实数a．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），直线l：x﹣4y+＝0过椭圆的左焦点F，与椭圆C在第一象限交于点M，三角形MFO的面积为，A、B分别为椭圆的上、下顶点，P、Q是椭圆上的两个不同的动点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线PA的斜率为kPA，直线QB的斜率为kQB，若2kPA+kQB＝0，问直线PQ是否过定点，若过定点，求出定点；否则说明理由．21．已知函数f（x）＝xeax﹣lnx，其中e是自然对数的底数，a＞0．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2e﹣1，求a的值；（2）对于给定的常数a，若f（x）≥bx+1对x∈（0，+∞）恒成立，求证：b≤a．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修44：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系下长度单位相同．曲线C2的极坐标方程为2ρcosθ﹣8ρsinθ+5＝0．（1）当k＝1时，C1是什么曲线？（2）当k＝4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．[选修45：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+2b|，a，b∈R．（1）若a＝1，b＝﹣1，求不等式f（x）≤5的解集；（2）若ab＞0，且f（x）的最小值为2，求|+|的最小值．参考答案一、选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x|log2x＞1}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∪B＝（）A．（2，3） B．（﹣1，3） C．（2，+∞） D．（﹣1，+∞）解：∵集合A＝{x|log2x＞1}＝{x|x＞2}，B＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∪B＝{x|x＞﹣1}＝（﹣1，+∞）．故选：D．2．已知a+bi（a，b∈R）是的共轭复数，则a+b＝（）A．﹣1 B．﹣ C． D．1解：＝＝＝﹣i，∴a+bi＝﹣（﹣i）＝i，∴a＝0，b＝1，∴a+b＝1，故选：D．3．已知a＝3，b＝log32，c＝cos4，则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a解：∵3＞30＝1，0＝log31＜log32＜log33＝1，，cos4＜0；∴c＜b＜a．故选：C．4．数列﹣1，a，b，c，﹣9成等比数列，则实数b的值为（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．以上都不对解：∵数列﹣1，a，b，c，﹣9成等比数列，∴a1＝﹣1，a5＝﹣9，∴（﹣1）q4＝﹣9，q2＝3，b＝（﹣1）q2＝﹣3．故选：C．5．人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源．根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提．截止2020年10月10日，我国共进行了六次人口普查，如图是这次人口普查的人数和增幅情况，下列说法正确的是（）A．人口数逐次增加，第二次增幅最大 B．第六次普查人数最多，第四次增幅最小 C．第六次普查人数最多，第三次增幅最大 D．人口数逐次增加，从第二次开始增幅减小解：根据柱状图：对于A：人口逐次增加，第三次增幅最大，故A错误；对于B：第六次人口数最多，第六次增幅最小，故B错误；对于C：第六次普查人数最多，第三次增幅最大，故C正确；对于D：人口数逐次增加，从第三次开始增幅减小，故D错误．故选：C．6．已知向量，的模为1，且|+|＝1，则向量，的夹角为（）A． B． C． D．解：向量，的模为1，且|+|＝1，可得+＝1，可得cos＝，所以向量，的夹角为：．故选：A．7．已知直线x+y+1＝0与圆C相切，且直线mx﹣y﹣2m﹣1＝0（m∈R）始终平分圆C的面积，则圆C的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1 B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2 D．（x﹣2）2+（y+1）2＝2解：∵直线mx﹣y﹣2m﹣1＝0始终平分圆C的面积，∴直线mx﹣y﹣2m﹣1＝0始终过圆的圆心（2，﹣1），又圆C与直线x+y+1＝0相切，则圆的半径r＝＝，∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝2．故选：D．8．“m＜4”是“函数f（x）＝2x2﹣mx+lnx在（0，+∞）上单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：若f（x）＝2x2﹣mx+lnx在（0，+∞）上单调递增，则，即，即，因为，当且仅当，即时取等号，故m≤4，因为（4，+∞）⫋[4，+∞），所以“m＜4”是“函数f（x）＝2x2﹣mx+lnx在（0，+∞）上单调递增”的充分不必要条件．故选：A．9．1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”，这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出i的值为（）A．8 B．7 C．6 D．5解：a＝3，a＝1不满足，a是奇数满足，a＝10，i＝2，a＝10，a＝1不满足，a是奇数不满足，a＝5，i＝3，a＝5，a＝1不满足，a是奇数满足，a＝16，i＝4，a＝16，a＝1不满足，a是奇数不满足，a＝8，i＝5，a＝8，a＝1不满足，a是奇数不满足，a＝4，i＝6，a＝4，a＝1不满足，a是奇数不满足，a＝2，i＝7，a＝2，a＝1不满足，a是奇数不满足，a＝1，i＝8，a＝1，a＝1满足，输出i＝8，故选：A．10．点P是双曲线右支上的一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点I是△PF1F2的内切圆圆心，记△IPF1，△IPF2，△IF1F2的面积分别为S1，S2，S3，若S1﹣S2≤恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．（0，2] B．[2，+∞） C．（1，2] D．解：设△PF1F2的内切圆半径为r，则，，，所以，所以2a≤c，所以e≥2，故选：B．11．将函数f（x）＝2（cosx+sinx）•cosx﹣1的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，且当x∈[]时，关于x的方程g2（x）﹣（a+2）g（x）+2a＝0有三个不等实根，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，0] B．（﹣，﹣1] C．[﹣1，] D．[﹣，﹣1]解：将函数f（x）＝2（cosx+sinx）•cosx﹣1＝2cos2x﹣1+2sinxcosx＝cos2x+sin2x＝sin（2x+）的图象，向左平移个单位后得到函数g（x）＝sin（2x+），方程g2（x）﹣（a+2）g（x）+2a＝0等价于[g（x）﹣a]•[g（x）﹣2]＝0，故g（x）＝a或g（x）＝2，∵g（x）＝sin（2x+），∴g（x）的最大值是，∴g（x）＝2无解，g（x）＝a有3个不相等的实数根，设t＝2x+，则函数化为y＝sint，t＝2x+∈[，]，函数y＝sint的图象如图示：则需满足直线y＝a和函数y＝sint（t∈[，]）的图象有3个交点，结合图象可知a∈（﹣，﹣1]，故选：B．12．已知数列{an}满足a1＝1，an+1﹣an＞，则下列关系一定成立的是（）A．a2021＞ln2022 B．a2021＜ln2021 C． D．解：∵，∴，，……，，将以上n个式子相加可得，，∵a1＝1，∴，即得，∴，故C，D错误．∵，∴a2021＞ln2022+＞ln2022，故B错误，A正确．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知2m＝5n＝10，则＝1．解：2m＝5n＝10，可得＝lg2，＝lg5，＝lg2+lg5＝1．故答案为：1．14．一只蚂蚁在最小边长大于4，且面积为24的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过2的概率为．解：根据题意，三角形ABC的面积为24，若某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过2，则蚂蚁在如图三角形的阴影部分，它的面积为半径为2的半圆面积S＝×π×22＝2π，所以某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过2的概率P＝＝，故答案为：．15．在△ABC中，三边长为连续的正整数，且最大角是最小角的2倍，则此三角形的周长为15．解：设三边分别为x﹣1，x，x+1，最小角α，最大角2α，由正弦定理得＝，因为sinα≠0，所以cosα＝，由余弦定理得cosα＝＝，整理得x2+3x﹣4＝x2﹣2x+1，故x＝5，所以三角形周长为x﹣1+x+x+1＝3x＝15．故答案为：15．16．向棱长为2的正方体密闭容器内注入体积为x（0＜x＜8）的水，旋转容器，若水面恰好经过正方体的某条体对角线，则水面边界周长的最小值为．解：如图所示，当液面过DB1时，截面为四边形B1NDG，将A1B1C1D1绕C1D1旋转，此时B1N＝B1′N，则DN+B1N＝DN+B1′N≥，当且仅当D、N、B1′共线时等号成立．故水面边界周长的最小值为．故答案为：．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001，002，003，…，800进行编号．（Ⅰ）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（下面摘取了第7行至第9行）844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954（Ⅱ）抽的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：人数数学优秀良好及格地理优秀7205良好9186及格a4b成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4＝42人，若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a，b的值．（Ⅲ）将a≥10，b≥8的a，b表示成有序数对（a，b），求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的数对（a，b）的概率．解：（Ⅰ）依题意，最先检测的3个人的编号依次为785，667，199．（Ⅱ）由，得a＝14，因为7+9+a+20+18+4+5+6+b＝100，所以b＝17．（Ⅲ）由题意，知a+b＝31，且a≥10，b≥8．故满足条件的（a，b）有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8），共14组．…其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16）共6组．∴数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为：＝．18．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求b的值；（2）若，求△ABC面积的最大值．解：（1）由题意及正、余弦定理得：+＝，整理得＝，所以b＝．（2）由题意得cosB+sinB＝2sin（B+）＝2，所以sin（B+）＝1，因为B∈（0，π），所以B+＝，所以B＝．由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，所以3＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac＝ac，即ac≤3，当且仅当a＝c＝时等号成立．所以△ABC的面积S△ABC＝acsinB＝ac≤，当且仅当a＝c＝时等号成立．故△ABC面积的最大值为．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，E，F分别为PC，CD的中点，DE＝EC．（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；（2）设PA＝a，若三棱锥B﹣PED的体积V＝，求实数a．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，CD⊥AD，CD＝2AB，F分别为CD的中点，∴四边形ABFD为矩形，∴AB⊥BF，∵DE＝EC，F分别为CD的中点，∴EF⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥EF，又BF∩EF＝F，BF、EF⊂平面BEF，∴AB⊥平面BEF，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面BEF．（2）解：由（1）知，EF⊥CD，∵E，F分别为PC，CD的中点，∴EF∥PD，∴PD⊥CD，∵CD⊥AD，PD∩AD＝D，PD、AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∵AB∥CD，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，又PA⊥AD，AB∩AD＝A，AB、AD⊂平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD，∵E为PC的中点，∴点E到平面ABCD的距离为PA＝，∵三棱锥B﹣PED的体积V＝VB﹣CED＝VE﹣BCD＝，∴•••2•2＝，∴a＝1．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），直线l：x﹣4y+＝0过椭圆的左焦点F，与椭圆C在第一象限交于点M，三角形MFO的面积为，A、B分别为椭圆的上、下顶点，P、Q是椭圆上的两个不同的动点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线PA的斜率为kPA，直线QB的斜率为kQB，若2kPA+kQB＝0，问直线PQ是否过定点，若过定点，求出定点；否则说明理由．解：（1）∵直线l：x﹣4过左焦点F，F（，0），c＝，又由，得，从而椭圆经过点（），由椭圆定义知2a＝，得a＝2．∴b2＝a2﹣c2＝1．故椭圆的方程为C：；（2）直线PQ过定点（0，3）．理由如下：设直线PA的方程为y＝kx+1，则QB的方程为y＝﹣2kx﹣1，由，得(4k2+1)x2+8kx＝0，从而点P坐标为（，）；由，得(16k2+1)x2+16kx＝0．从而点Q坐标为（，），由条件知k≠0，从而直线PQ的斜率存在，，∴直线PQ的方程为y﹣，即y＝，过定点（0，3）．故直线PQ过定点（0，3）．21．已知函数f（x）＝xeax﹣lnx，其中e是自然对数的底数，a＞0．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2e﹣1，求a的值；（2）对于给定的常数a，若f（x）≥bx+1对x∈（0，+∞）恒成立，求证：b≤a．【解答】（1）解：因为f′（x）＝（ax+1）eax﹣，所以切线斜率为k＝f′（1）＝（a+1）ea﹣1＝2e﹣1，即（a+1）ea﹣2e＝0，构造h（x）＝（x+1）ex﹣2e，x＞0由于h′（x）＝（x+2）ex＞0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，又