![江西省宜春市高三高考模拟数学(文科)试卷(2021-04)_第1页](http://file4.renrendoc.com/view/47138582667695be97314e44c8963e04/47138582667695be97314e44c8963e041.gif)
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2021年江西省宜春市高三高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、选择题(每小题5分).1.已知集合A={x|log2x>1},B={x||x﹣1|<2},则A∪B=()A.(2,3) B.(﹣1,3) C.(2,+∞) D.(﹣1,+∞)2.已知a+bi(a,b∈R)是的共轭复数,则a+b=()A.﹣1 B.﹣ C. D.13.已知a=3,b=log32,c=cos4,则()A.c<a<b B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a4.数列﹣1,a,b,c,﹣9成等比数列,则实数b的值为()A.±3 B.3 C.﹣3 D.以上都不对5.人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法,是提供全国基本人口数据的主要来源.根据人口普查的基本情况,可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策,是国家科学决策的重要基础工作,人口普查资料是制定人口政策的依据和前提.截止2020年10月10日,我国共进行了六次人口普查,如图是这次人口普查的人数和增幅情况,下列说法正确的是()A.人口数逐次增加,第二次增幅最大 B.第六次普查人数最多,第四次增幅最小 C.第六次普查人数最多,第三次增幅最大 D.人口数逐次增加,从第二次开始增幅减小6.已知向量,的模为1,且|+|=1,则向量,的夹角为()A. B. C. D.7.已知直线x+y+1=0与圆C相切,且直线mx﹣y﹣2m﹣1=0(m∈R)始终平分圆C的面积,则圆C的方程为()A.(x﹣2)2+(y﹣1)2=1 B.(x﹣2)2+(y+1)2=1 C.(x﹣2)2+(y﹣1)2=2 D.(x﹣2)2+(y+1)2=28.“m<4”是“函数f(x)=2x2﹣mx+lnx在(0,+∞)上单调递增”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想:对于任意一个正整数,如果它是奇数,对它乘3加1,如果它是偶数,对它除以2,这样循环,最终结果都能得到1.有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步,将开辟全新的领域”,这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关.如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图,则输出i的值为()A.8 B.7 C.6 D.510.点P是双曲线右支上的一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,点I是△PF1F2的内切圆圆心,记△IPF1,△IPF2,△IF1F2的面积分别为S1,S2,S3,若S1﹣S2≤恒成立,则双曲线的离心率的取值范围为()A.(0,2] B.[2,+∞) C.(1,2] D.11.将函数f(x)=2(cosx+sinx)•cosx﹣1的图象向左平移个单位后得到函数g(x)的图象,且当x∈[]时,关于x的方程g2(x)﹣(a+2)g(x)+2a=0有三个不等实根,则实数a的取值范围为()A.[﹣1,0] B.(﹣,﹣1] C.[﹣1,] D.[﹣,﹣1]12.已知数列{an}满足a1=1,an+1﹣an>,则下列关系一定成立的是()A.a2021>ln2022 B.a2021<ln2021 C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知2m=5n=10,则=.14.一只蚂蚁在最小边长大于4,且面积为24的三角形内自由爬行,某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过2的概率为.15.在△ABC中,三边长为连续的正整数,且最大角是最小角的2倍,则此三角形的周长为.16.向棱长为2的正方体密闭容器内注入体积为x(0<x<8)的水,旋转容器,若水面恰好经过正方体的某条体对角线,则水面边界周长的最小值为.三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试,现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计,先将800人按001,002,003,…,800进行编号.(Ⅰ)如果从第8行第7列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的3个人的编号;(下面摘取了第7行至第9行)844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954(Ⅱ)抽的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表:人数数学优秀良好及格地理优秀7205良好9186及格a4b成绩分为优秀、良好、及格三个等级,横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩,例如:表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42人,若在该样本中,数学成绩优秀率为30%,求a,b的值.(Ⅲ)将a≥10,b≥8的a,b表示成有序数对(a,b),求“在地理成绩为及格的学生中,数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的数对(a,b)的概率.18.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求b的值;(2)若,求△ABC面积的最大值.19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,AD=CD=2AB=2,E,F分别为PC,CD的中点,DE=EC.(1)求证:平面ABE⊥平面BEF;(2)设PA=a,若三棱锥B﹣PED的体积V=,求实数a.20.已知椭圆C:=1(a>b>0),直线l:x﹣4y+=0过椭圆的左焦点F,与椭圆C在第一象限交于点M,三角形MFO的面积为,A、B分别为椭圆的上、下顶点,P、Q是椭圆上的两个不同的动点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线PA的斜率为kPA,直线QB的斜率为kQB,若2kPA+kQB=0,问直线PQ是否过定点,若过定点,求出定点;否则说明理由.21.已知函数f(x)=xeax﹣lnx,其中e是自然对数的底数,a>0.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为2e﹣1,求a的值;(2)对于给定的常数a,若f(x)≥bx+1对x∈(0,+∞)恒成立,求证:b≤a.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修44:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数)以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,且在两坐标系下长度单位相同.曲线C2的极坐标方程为2ρcosθ﹣8ρsinθ+5=0.(1)当k=1时,C1是什么曲线?(2)当k=4时,求C1与C2的公共点的直角坐标.[选修45:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x﹣a|+|x+2b|,a,b∈R.(1)若a=1,b=﹣1,求不等式f(x)≤5的解集;(2)若ab>0,且f(x)的最小值为2,求|+|的最小值.参考答案一、选择题(每小题5分).1.已知集合A={x|log2x>1},B={x||x﹣1|<2},则A∪B=()A.(2,3) B.(﹣1,3) C.(2,+∞) D.(﹣1,+∞)解:∵集合A={x|log2x>1}={x|x>2},B={x||x﹣1|<2}={x|﹣1<x<3},∴A∪B={x|x>﹣1}=(﹣1,+∞).故选:D.2.已知a+bi(a,b∈R)是的共轭复数,则a+b=()A.﹣1 B.﹣ C. D.1解:===﹣i,∴a+bi=﹣(﹣i)=i,∴a=0,b=1,∴a+b=1,故选:D.3.已知a=3,b=log32,c=cos4,则()A.c<a<b B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a解:∵3>30=1,0=log31<log32<log33=1,,cos4<0;∴c<b<a.故选:C.4.数列﹣1,a,b,c,﹣9成等比数列,则实数b的值为()A.±3 B.3 C.﹣3 D.以上都不对解:∵数列﹣1,a,b,c,﹣9成等比数列,∴a1=﹣1,a5=﹣9,∴(﹣1)q4=﹣9,q2=3,b=(﹣1)q2=﹣3.故选:C.5.人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法,是提供全国基本人口数据的主要来源.根据人口普查的基本情况,可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策,是国家科学决策的重要基础工作,人口普查资料是制定人口政策的依据和前提.截止2020年10月10日,我国共进行了六次人口普查,如图是这次人口普查的人数和增幅情况,下列说法正确的是()A.人口数逐次增加,第二次增幅最大 B.第六次普查人数最多,第四次增幅最小 C.第六次普查人数最多,第三次增幅最大 D.人口数逐次增加,从第二次开始增幅减小解:根据柱状图:对于A:人口逐次增加,第三次增幅最大,故A错误;对于B:第六次人口数最多,第六次增幅最小,故B错误;对于C:第六次普查人数最多,第三次增幅最大,故C正确;对于D:人口数逐次增加,从第三次开始增幅减小,故D错误.故选:C.6.已知向量,的模为1,且|+|=1,则向量,的夹角为()A. B. C. D.解:向量,的模为1,且|+|=1,可得+=1,可得cos=,所以向量,的夹角为:.故选:A.7.已知直线x+y+1=0与圆C相切,且直线mx﹣y﹣2m﹣1=0(m∈R)始终平分圆C的面积,则圆C的方程为()A.(x﹣2)2+(y﹣1)2=1 B.(x﹣2)2+(y+1)2=1 C.(x﹣2)2+(y﹣1)2=2 D.(x﹣2)2+(y+1)2=2解:∵直线mx﹣y﹣2m﹣1=0始终平分圆C的面积,∴直线mx﹣y﹣2m﹣1=0始终过圆的圆心(2,﹣1),又圆C与直线x+y+1=0相切,则圆的半径r==,∴圆C的方程为(x﹣2)2+(y+1)2=2.故选:D.8.“m<4”是“函数f(x)=2x2﹣mx+lnx在(0,+∞)上单调递增”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解:若f(x)=2x2﹣mx+lnx在(0,+∞)上单调递增,则,即,即,因为,当且仅当,即时取等号,故m≤4,因为(4,+∞)⫋[4,+∞),所以“m<4”是“函数f(x)=2x2﹣mx+lnx在(0,+∞)上单调递增”的充分不必要条件.故选:A.9.1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想:对于任意一个正整数,如果它是奇数,对它乘3加1,如果它是偶数,对它除以2,这样循环,最终结果都能得到1.有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步,将开辟全新的领域”,这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关.如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图,则输出i的值为()A.8 B.7 C.6 D.5解:a=3,a=1不满足,a是奇数满足,a=10,i=2,a=10,a=1不满足,a是奇数不满足,a=5,i=3,a=5,a=1不满足,a是奇数满足,a=16,i=4,a=16,a=1不满足,a是奇数不满足,a=8,i=5,a=8,a=1不满足,a是奇数不满足,a=4,i=6,a=4,a=1不满足,a是奇数不满足,a=2,i=7,a=2,a=1不满足,a是奇数不满足,a=1,i=8,a=1,a=1满足,输出i=8,故选:A.10.点P是双曲线右支上的一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,点I是△PF1F2的内切圆圆心,记△IPF1,△IPF2,△IF1F2的面积分别为S1,S2,S3,若S1﹣S2≤恒成立,则双曲线的离心率的取值范围为()A.(0,2] B.[2,+∞) C.(1,2] D.解:设△PF1F2的内切圆半径为r,则,,,所以,所以2a≤c,所以e≥2,故选:B.11.将函数f(x)=2(cosx+sinx)•cosx﹣1的图象向左平移个单位后得到函数g(x)的图象,且当x∈[]时,关于x的方程g2(x)﹣(a+2)g(x)+2a=0有三个不等实根,则实数a的取值范围为()A.[﹣1,0] B.(﹣,﹣1] C.[﹣1,] D.[﹣,﹣1]解:将函数f(x)=2(cosx+sinx)•cosx﹣1=2cos2x﹣1+2sinxcosx=cos2x+sin2x=sin(2x+)的图象,向左平移个单位后得到函数g(x)=sin(2x+),方程g2(x)﹣(a+2)g(x)+2a=0等价于[g(x)﹣a]•[g(x)﹣2]=0,故g(x)=a或g(x)=2,∵g(x)=sin(2x+),∴g(x)的最大值是,∴g(x)=2无解,g(x)=a有3个不相等的实数根,设t=2x+,则函数化为y=sint,t=2x+∈[,],函数y=sint的图象如图示:则需满足直线y=a和函数y=sint(t∈[,])的图象有3个交点,结合图象可知a∈(﹣,﹣1],故选:B.12.已知数列{an}满足a1=1,an+1﹣an>,则下列关系一定成立的是()A.a2021>ln2022 B.a2021<ln2021 C. D.解:∵,∴,,……,,将以上n个式子相加可得,,∵a1=1,∴,即得,∴,故C,D错误.∵,∴a2021>ln2022+>ln2022,故B错误,A正确.故选:A.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知2m=5n=10,则=1.解:2m=5n=10,可得=lg2,=lg5,=lg2+lg5=1.故答案为:1.14.一只蚂蚁在最小边长大于4,且面积为24的三角形内自由爬行,某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过2的概率为.解:根据题意,三角形ABC的面积为24,若某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过2,则蚂蚁在如图三角形的阴影部分,它的面积为半径为2的半圆面积S=×π×22=2π,所以某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过2的概率P==,故答案为:.15.在△ABC中,三边长为连续的正整数,且最大角是最小角的2倍,则此三角形的周长为15.解:设三边分别为x﹣1,x,x+1,最小角α,最大角2α,由正弦定理得=,因为sinα≠0,所以cosα=,由余弦定理得cosα==,整理得x2+3x﹣4=x2﹣2x+1,故x=5,所以三角形周长为x﹣1+x+x+1=3x=15.故答案为:15.16.向棱长为2的正方体密闭容器内注入体积为x(0<x<8)的水,旋转容器,若水面恰好经过正方体的某条体对角线,则水面边界周长的最小值为.解:如图所示,当液面过DB1时,截面为四边形B1NDG,将A1B1C1D1绕C1D1旋转,此时B1N=B1′N,则DN+B1N=DN+B1′N≥,当且仅当D、N、B1′共线时等号成立.故水面边界周长的最小值为.故答案为:.三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试,现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计,先将800人按001,002,003,…,800进行编号.(Ⅰ)如果从第8行第7列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的3个人的编号;(下面摘取了第7行至第9行)844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954(Ⅱ)抽的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表:人数数学优秀良好及格地理优秀7205良好9186及格a4b成绩分为优秀、良好、及格三个等级,横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩,例如:表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42人,若在该样本中,数学成绩优秀率为30%,求a,b的值.(Ⅲ)将a≥10,b≥8的a,b表示成有序数对(a,b),求“在地理成绩为及格的学生中,数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的数对(a,b)的概率.解:(Ⅰ)依题意,最先检测的3个人的编号依次为785,667,199.(Ⅱ)由,得a=14,因为7+9+a+20+18+4+5+6+b=100,所以b=17.(Ⅲ)由题意,知a+b=31,且a≥10,b≥8.故满足条件的(a,b)有:(10,21),(11,20),(12,19),(13,18),(14,17),(15,16),(16,15),(17,14),(18,13),(19,12),(20,11),(21,10),(22,9),(23,8),共14组.…其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有:(10,21),(11,20),(12,19),(13,18),(14,17),(15,16)共6组.∴数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为:=.18.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求b的值;(2)若,求△ABC面积的最大值.解:(1)由题意及正、余弦定理得:+=,整理得=,所以b=.(2)由题意得cosB+sinB=2sin(B+)=2,所以sin(B+)=1,因为B∈(0,π),所以B+=,所以B=.由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB,所以3=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac,即ac≤3,当且仅当a=c=时等号成立.所以△ABC的面积S△ABC=acsinB=ac≤,当且仅当a=c=时等号成立.故△ABC面积的最大值为.19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,AD=CD=2AB=2,E,F分别为PC,CD的中点,DE=EC.(1)求证:平面ABE⊥平面BEF;(2)设PA=a,若三棱锥B﹣PED的体积V=,求实数a.【解答】(1)证明:∵AB∥CD,CD⊥AD,CD=2AB,F分别为CD的中点,∴四边形ABFD为矩形,∴AB⊥BF,∵DE=EC,F分别为CD的中点,∴EF⊥CD,∵AB∥CD,∴AB⊥EF,又BF∩EF=F,BF、EF⊂平面BEF,∴AB⊥平面BEF,∵AB⊂平面ABE,∴平面ABE⊥平面BEF.(2)解:由(1)知,EF⊥CD,∵E,F分别为PC,CD的中点,∴EF∥PD,∴PD⊥CD,∵CD⊥AD,PD∩AD=D,PD、AD⊂平面PAD,∴CD⊥平面PAD,∵AB∥CD,∴AB⊥平面PAD,∴AB⊥PA,又PA⊥AD,AB∩AD=A,AB、AD⊂平面ABCD,∴PA⊥平面ABCD,∵E为PC的中点,∴点E到平面ABCD的距离为PA=,∵三棱锥B﹣PED的体积V=VB﹣CED=VE﹣BCD=,∴•••2•2=,∴a=1.20.已知椭圆C:=1(a>b>0),直线l:x﹣4y+=0过椭圆的左焦点F,与椭圆C在第一象限交于点M,三角形MFO的面积为,A、B分别为椭圆的上、下顶点,P、Q是椭圆上的两个不同的动点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线PA的斜率为kPA,直线QB的斜率为kQB,若2kPA+kQB=0,问直线PQ是否过定点,若过定点,求出定点;否则说明理由.解:(1)∵直线l:x﹣4过左焦点F,F(,0),c=,又由,得,从而椭圆经过点(),由椭圆定义知2a=,得a=2.∴b2=a2﹣c2=1.故椭圆的方程为C:;(2)直线PQ过定点(0,3).理由如下:设直线PA的方程为y=kx+1,则QB的方程为y=﹣2kx﹣1,由,得(4k2+1)x2+8kx=0,从而点P坐标为(,);由,得(16k2+1)x2+16kx=0.从而点Q坐标为(,),由条件知k≠0,从而直线PQ的斜率存在,,∴直线PQ的方程为y﹣,即y=,过定点(0,3).故直线PQ过定点(0,3).21.已知函数f(x)=xeax﹣lnx,其中e是自然对数的底数,a>0.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为2e﹣1,求a的值;(2)对于给定的常数a,若f(x)≥bx+1对x∈(0,+∞)恒成立,求证:b≤a.【解答】(1)解:因为f′(x)=(ax+1)eax﹣,所以切线斜率为k=f′(1)=(a+1)ea﹣1=2e﹣1,即(a+1)ea﹣2e=0,构造h(x)=(x+1)ex﹣2e,x>0由于h′(x)=(x+2)ex>0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,又
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