数列求和课件高三数学一轮复习

高三一轮复习5.4数列求和数列求和错位相减法裂项相消法分组转化法并项求和法倒序相加法公式法一．公式法na1二．错位相减法适用条件:若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，

求数列{an·bn}的前n项和Sn.二．错位相减法基本步骤展开+

①乘公比+②错位相减①-②：得（1-q）+()

+()

+()

求和例1已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝_______________．(n－1)2n＋1＋2二．错位相减法例2(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中

项．(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．[解析]

(1)设{an}的公比为q，由题意得2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2.所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2.故{an}的公比为－2二．错位相减法三．裂项相消法裂项观察数列的通项公式，将通项拆成两项之差的形式累加消项将数列裂项后的各项相加将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前n

项和基本步骤

消项规律：

消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，

后边倒数第几项．三．裂项相消法三．裂项相消法三．裂项相消法解析：(1)选

①：因为a2，a3，a4－4成等差数列，所以2a3＝a2＋a4－4，所以8a1＝2a1＋8a1－4，解得a1＝2，所以an＝2n；选②：因为S1，S2＋2，S3成等差数列，所以2(S2＋2)＝S1＋S3，即a2＋4＝a3，所以2a1＋4＝4a1，解得a1＝2，所以an＝2n.四．分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，

再求解．分段型周期型四．分组转化法变式训练：求{an}的前2n项和S2n[解析]

(1)因为bn＝a2n，所以b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝a1＋1＋3＝a1＋4＝5.由题意得a2n＋1＝a2n＋2，a2n＋2＝a2n＋1＋1，所以a2n＋2＝a2n＋3，即bn＋1＝bn＋3，所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，所以bn＝2＋(n－1)×3＝3n－1.(2)当n为奇数时，an＝an＋1－1.设数列{an}的前n项和为Sn，则S20＝a1＋a2＋…＋a20＝(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20)＝[(a2－1)＋(a4－1)＋…＋(a20－1)]＋(a2＋a4＋…＋a20)＝2(a2＋a4＋…＋a20)－10，变式训练：[解析]

令cn＝a2n-1(n≥2),则c1＝a1＝1，由题意得a2n＋1＝a2n＋2，a2n＝a2n-1＋1，所以a2n＋1＝a2n-1＋3，即cn＋1＝cn＋3，所以数列{cn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以bn＝1＋(n－1)×3＝3n－2.

四．分组转化法

S2n

五．并项求和法并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称

之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．五．并项求和法例1已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝

＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．

解析：令k∈N*，由题意可得，当n＝4k－3时，an＝a4k－3＝1；当n＝4k－2时，an＝a4k－2＝6－8k；当n＝4k－1时，an＝a4k－1＝1；当n＝4k时，an＝a4k＝8k.所以a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，所以S4n＝8×n＝8n.