高考数学一轮复习导数中的构造函数

导数中的构造函数在导数应用中如何构造函数近几年高考数学客观题压轴题,多以导数为工具来证明不等式或求参数的取值范围,这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点,而构造函数是解决导数问题的基本方法,以下对在处理导数问题时构造函数的规律方法进行归类总结,并举例说明.一、具体函数的构造根据所给代数式(等式、不等式)中数学运算的相同点或者结构形式的相同点,构造具体的函数解析式,利用导数研究该函数的性质从而解决问题.A.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b

D.b>a>cAA.b<c<a B.c<b<aC.c<a<b D.a<c<bB二、抽象函数的构造1.利用f(x)与x(xn)构造①对于xf'(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xf(x);②对于xf'(x)-f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=;③对于xf'(x)+nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xnf(x);④对于xf'(x)-nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=.例2.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)+xf'(x)<0,若f(2)=0,则不等式xf(x)>0的解集为(

)A.{x|-2<x<0,或0<x<2}B.{x|x<-2,或x>2}C.{x|-2<x<0,或x>2}D.{x|x<-2,或0<x<2}解析

令F(x)=xf(x),则F(x)为奇函数,且当x<0时,F'(x)=f(x)+xf'(x)<0恒成立,即函数F(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,又因为f(2)=0,则F(-2)=F(2)=0,则xf(x)>0可化为F(x)>F(-2)或F(x)>F(2),则x<-2或0<x<2,故选D.D

解析

设F(x)=x2f(x),F'(x)=x2f'(x)+2xf(x)=x(xf'(x)+2f(x)),因为当x>0时,xf'(x)+2f(x)>0,所以F'(x)>0,因此F(x)在(0,+∞)上单调递增.又因为B例3.(2021湖南岳阳高三期中)设f'(x)是函数f(x)(x∈R)的导数,且满足xf'(x)-2f(x)>0,则(

)A.4f(2)>f(1) B.4f(1)>f(2)C.4f(2)<f(1) D.4f(1)<f(2)

D对点训练3已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,且满足f(x)>0,xf'(x)-f(x)<0,则对任意正数a,b,若a>b,则必有(

)A.af(b)<bf(a) B.bf(a)<af(b)C.af(a)<f(b) D.bf(b)<f(a)B2.利用f(x)与ex(或enx)构造

①对于f'(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=exf(x);②对于f'(x)-f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=;③对于f'(x)+2f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=e2xf(x);④对于f'(x)-2f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=.例4.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R满足f(x)+f'(x)<0,则下列结论正确的是(

)A.e2f(2)>e3f(3) B.e2f(2)<e3f(3)C.e2f(2)≥e3f(3) D.e2f(2)≤e3f(3)A解析

令g(x)=exf(x),则g'(x)=ex(f(x)+f'(x))<0,因此函数g(x)在R上单调递减,所以g(2)>g(3),即e2f(2)>e3f(3),故选A.对点训练4已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)+f'(x)>1,f(0)=4,则不等式exf(x)>ex+3的解集为(

)A.(0,+∞) B.(-∞,0)∪(3,+∞)C.(-∞,0)∪(0,+∞) D.(3,+∞)解析

将f(x)+f'(x)>1两边同乘ex得,exf(x)+exf'(x)-ex>0,令g(x)=exf(x)-ex,则g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex>0,所以函数g(x)在R上单调递增,且g(0)=f(0)-1=3.又因为不等式exf(x)>ex+3等价于exf(x)-ex>3,即g(x)>g(0),所以x>0,故选A.A例5.(2021广东汕头高三三模)若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)-2f(x)>0,f(0)=1,则不等式f(x)>e2x的解集为

.

对点训练5(2021安徽六安高三月考)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数为f'(x),若对于任意实数x,有f(x)>f'(x),且f(0)=1,则不等式f(x)<ex的解集为(

)A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(-∞,e4) D.(e4,+∞)A3.利用f(x)与sin

x,cos

x构造由于sinx,cosx的导函数存在一定的特殊性,且它们之间可以相互转化,所以在构造函数时要充分考虑这一点,具体有以下情形:①对于f'(x)sinx+f(x)cosx>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)sinx;②对于f'(x)sinx-f(x)cosx>0(或<0),构造函数F(x)=;③对于f'(x)cosx+f(x)sinx>0(或<0),构造函数F(x)=;④对于f'(x)cosx-f(x)sinx>0(或<0),构造函数F(x)