随机过程论（第3版）课件 ch02鞅论初步

鞅论初步“随机过程论新工科建设之路第二章01上鞅、下鞅的概念、简单性质与分解定理1.概念与简单性质设在概率空间上有一个非降的σ-代数族和实随机过程。定义2.1定义2.21.概念与简单性质命题2.11.概念与简单性质命题2.22.分解定理对于上鞅和下鞅，Doob和Meyer给出了有名的分解定理，它是论的基本定理之一特别是连续参数的鞅分解定理是现代鞅论的开端，由于后者的叙述需要过多的准备知识与篇幅，我们只能略去它，而仅给出离散参数的鞅分解定理。鞅分解定理的基本思想可以从例2与例3看出。事实上，我们可将

做如下分解:2.分解定理令其中2.分解定理定理2.1(离散参数下鞅分解)这种分解是唯一的。整明2.分解定理定理2.1(离散参数下鞅分解)2.分解定理定理2.1(离散参数下鞅分解)将定理2.1用于例3，可以得出:一个有利的不公平博弈，可以视为一个公平博弈与一个以前各次平均盈利之和。02停时与鞅的停止定理(有限时间)停时与鞅的停止定理(有限时间)显然，τ=t(常数时间)是一个停时。可见停时是对时间的一个推广，下面我们给出停时的非平凡例子，以期读者对停时有一个直观的了解。粗略地讲，停时是一个不依赖“将来”的随机时间，这里的过去、现在和将来是由参考族

决定的，下面我们给出停时的确切定义。定义2.3(停时)停时与鞅的停止定理(有限时间)命题2.3停时与鞅的停止定理(有限时间)命题2.4停时一定也是宽停时;反之，若可见，τ也是宽停时。停时与鞅的停止定理(有限时间)命题2.4当σ是宽停时，我们有停时与鞅的停止定理(有限时间)定义2.4(a以前的-代数)停时与鞅的停止定理(有限时间)命题2.5设a和β是相对于的停时，则停时与鞅的停止定理(有限时间)命题2.5及停时与鞅的停止定理(有限时间)命题2.6停时与鞅的停止定理(有限时间)命题2.7证明用测度论的典型方法(见附录A)容易证明:停时与鞅的停止定理(有限时间)命题2.7停时与鞅的停止定理(有限时间)定理2.2停时与鞅的停止定理(有限时间)定理2.2停时与鞅的停止定理(有限时间)定理2.2停时与鞅的停止定理(有限时间)定理2.2停时与鞅的停止定理(有限时间)定理2.2正如前面所指出的，停时是一种随机时间，那么它在什么程度上与普通的时间有相同的性质呢?定理2.3告诉我们，在某些条件下用一列停时代人一个鞅(上鞅或下鞅)的时间参数，仍能保持鞅(上鞅或下鞅)性。停时与鞅的停止定理(有限时间)定理2.3停时与鞅的停止定理(有限时间)定理2.3定理2.3只是停止定理的一个简单的特例，对一般的T=Z+和T=R+，也有相应的结果,但它要用到鞅的一致可积性与收敛性方面的一些结果，我们只能在2.4节中再进一步讨论。03不等式和收敛定理1.鞅不等式(Doob极值不等式)对于独立随机变量和序列，有著名的Kolmogorov不等式，鞅作为独立和的推广，也有相应的结果。定理2.41.鞅不等式(Doob极值不等式)定理2.41.鞅不等式(Doob极值不等式)定理2.41.鞅不等式(Doob极值不等式)定理2.41.鞅不等式(Doob极值不等式)推论1推论22.下鞅(上鞅)极限的存在性鞅收敛定理是利用鞅理论解决许多领域中的问题的主要工具之一，在概率论中十分重要。本节中，我们讨论

的存在性。我们知道，任何一个实数列不存在有穷或无穷的极限就是也就是存在有理数a和b，使得2.下鞅(上鞅)极限的存在性2.下鞅(上鞅)极限的存在性定理2.12.下鞅(上鞅)极限的存在性定理2.12.下鞅(上鞅)极限的存在性定理2.12.下鞅(上鞅)极限的存在性定理2.52.下鞅(上鞅)极限的存在性定理2.52.下鞅(上鞅)极限的存在性定理2.62.下鞅(上鞅)极限的存在性定理2.6立即得到对下鞅的情况，相应地得到定理2.6的结果说明在几乎处处收敛的意义下，上鞅(下)的反向极限一定存在,这一事实在以离散参数去逼近连续参数上(下)鞅时很有用。因为只要令2.下鞅(上鞅)极限的存在性定理2.72.下鞅(上鞅)极限的存在性定理2.72.下鞅(上鞅)极限的存在性定理2.704停止定理(一般情形)停止定理(一般情形)现在我们有了足够的工具将2.2节中的停止定理从T为有限集的情况推广到一般情况在推广过程中，我们将遇到两个问题:从有界停时到无界停时以及从离散取值停时到连续取值停时。定理2.8I停止定理(一般情形)定理2.8I停止定理(一般情形)定理2.8I停止定理(一般情形)定理2.8Ⅱ停止定理(一般情形)定理2.8Ⅱ停止定理(一般情形)定理2.8Ⅲ05修正定理修正定理在2.4节