(27)-5.1讲义- 金融工程的定价原理

第一节金融工程的定价原理1.1资产定价的基本市场假设一、金融产品定价原则金融产品定价和传统的商品定价到底有什么不同呢？对于普通的商品和金融产品来说，他们本质的区别在于对于金融资产来说，我们对它定价的时候，我们更多的是对它未来的现金流的一个预期，例如我们买股票、买债券，我们希望的是能够获得这个公司未来的现金流收益，而商品我们购买的是他本身的使用价值。因为商品和金融资产这种本质的差异，导致了我们对于金融产品定价的时候所采取的方式也和商品是不一样的，对于商品来说我们更多的是通过它的供需关系去考虑它的价格水平，而对于金融资产来说，我们通常会有两种不同的方式：绝对定价法和相对定价法。（1）绝对定价法就是根据金融工具未来现金流的特征，运用恰当的贴现率将这些现金流贴现成现值，该现值就是绝对定价法要求的价格。这里适当的贴现率通常是体现在这种金融产品的一个风险程度,例如发行的债券,比如说有两个公司,一个公司的信用评级很高,一个公司的信用评级相对低点,那么他们在市场上面的融资能力是不一样的,市场上愿意付出的成本也是不一样的,那么我们对它定价的时候,我们选取的贴现率当然也是会不一样的。（2）相对定价法则利用基础产品价格与衍生产品价格之间的内在关系，直接根据基础产品价格求出衍生产品价格。例如对于期权产品,它本身的价格是受到后面标的资产价格变动而变动的,所以我们需要去用这种相对定价的方式对它做一个定价。二、绝对定价法举例：债券的基本估值公式资产的当前价值等于其未来现金流贴现值之和。假设Ck是面值为100元的债券在第𝒌年获得的利息，则𝒏。三、相对定价法应用1.衍生金融产品定价的基本假设我们用相对定价法去对金融产品定价的时候，比如对期权进行定价，我们通常会借用一种方式，就是去市场上面去借钱或者是去买入或者卖空标的资产，去把这种衍生品给复制出来，所以对于这种相对定价法来说，我们通常会假设一些简化条件来降低定价的复杂度，称之为衍生金融产品定价的基本假设，这些条件包括：（1）市场不存在摩擦。即没有交易成本、没有保证金、没有卖空限制市场参与者不承担对手风险。即合同没有违约问题。（2）市场是完全竞争的。（3）市场参与者厌恶风险，且希望财富越多越好。（4）市场不存在套利机会。无套利假设是金融衍生工具定价理论生存和发展的最重要的假设。他会贯穿在金融工程整个资产定价的逻辑体系里面，它一个最基本的思想就是如果我们现在不付出任何成本的话，那么在未来的时候我们是不可能获得无风险收益的。（5）所有市场参与者能够以无风险利率进行借贷。这个条件在我们后面讲述中有可能会把它做一个适当的放松，它并不是一个非常本质的一个要求。2、衍生金融产品定价的两种基本方法在无套利的假设下，我们主要是采取两种方法：第一种是复制的方法，即无套利定价法；第二种是风险中性定价的方法。这两种方法在我们后面的课程中会逐一展开，会详细地介绍在无套利这种假设情况下,我们如何通过去买卖标的资产，如何通过去借贷资金把某一种衍生品复制出来，进而对他进行合理的定价。1.2无套利定价基本原理一、无套利定价法1、套利（arbitrage）：在某项资产的交易过程中，交易者可以在不需要期初投资支出的条件下，有一定机会（一定概率）获得无风险利润。如果市场是有效的话，市场价格必然由于套利行为作出相应的调整，重新回到均衡的状态。这就是无套利的定价原则。根据这个原则，在有效的金融市场上，任何一项金融资产的定价，应当使得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。2、套利（Arbitrage）的数学定义某一个投资策略称为套利（arbitrage）机会：如果V0=0,

二、无套利定价原理基于无套利定价的原则，我们可以区分无风险资产和风险资产讨论该定价原理的应用。1.对于无风险资产而言，如果某一投资组合是无风险的，根据无套利定价原理，若其期初成本为零，则期末的收益也为零。即：V利用这一结论，我们可以给无风险资产定价，如远期利率的确定。2.对于风险资产而言，如果两个投资组合期末的收益在任何情景下都相同，并且期间的净现金流也完全一致，则期初的成本也相等，即：

V根据这一结论，我们可以通过复制风险资产未来现金流的方法为任何一个风险资产定价，如远期、期货、期权、互换等。三、衍生金融产品定价的两种基本方法在无套利的假设下，通常通过复制和风险中性两种方法来对金融产品定价。首先，利用无套利定价原则对于金融产品进行定价的时候，我们通常需要去买卖标的资产，去借贷资金对待定价产品未来的现金流进行复制的，然后利用复制组合的价值为待定价产品估值。第二种定价的方式是风险中性,也就是我们假设所有的参与者他们都是风险中性的,没有风险的偏好,然后在这个风险中性的世界里面对它进行定价。后面我们会看到，这两种定价原则会得到相同的定价结果。四、利息的度量复制和风险中性都离不开对利息的度量，下面首先回顾一下利息的度量方式。1、利息：资金延迟使用的成本。相关的概念有累计函数、现值、终值、单利（simpleinterest）、复利（compoundinterest）、累计因子（cumulativefactor）和贴现因子（discountfactor）等，这些应该是大家比较熟悉的概念，在我们这门课程里面，这几种单利、复利还有连续复利都有可能会使用到，具体不再赘述。2、连续复利：金融工程中为了定价方便，最常用的是连续复利的概念，什么是连续复利？我们举个例子。假设在银行存入$𝟏,年利率为𝑹，投资𝒏年。如果利息按每一年计一次复利，则上述投资的终值为：如果每年计𝒎次复利，则一年后账户金额为：现在令年支付频率逐步增加，当𝒎趋于无穷大时，1年后账户余额为：这就是当利率为连续复利（Continuouscompounding）时，一年后能从银行获得的金额。五、无套利应用的启发思考题考虑下面几个投资信息，分析如何抓中实践中的套利机会。1、设A银行一年期贷款利率为5%，B银行一年期存款利率为5.5％,请问你有什么方法从中获益么？2、设当前一支股票股价是20元，它一年之后可能为40元，概率50%,也可能为30,概率为50%,设你可以从银行以利率10%获得贷款，你会投资吗？如何投资？3、设当前一支股票的股价是20元，它一个月后可能上涨为50元，概率为90%,也可能下跌为2元，概率为10%，无风险利率是5%,你会投资吗？如果允许卖空你愿意如何投资？针对第一个信息，套利空间很明显，因为A银它贷款的利率反而比B银行的存款利率还要低，所以在这个市场上面如果真的有这样的机会的话，我们可以非常简单地从A银行获取贷款，然后把贷款存入到B银行，你就能获得一个0.5%的这样一个无风险的收益。而第二个问题，现在股票的价格是20块钱,一年之后有可能会变成40块钱,也有可能变成30块钱，每一种可能的概率都是50%，最差的情况下它的收益率都是50%,远远高于银行的借贷资金利息10%，所以我们从银行里面按照10%的利率去贷款，买入这支股票，持有到一年之后，卖掉股票，偿还借款,至少能够获得8块钱的收益,故能够获得一个无风险的收益。但我们对比第三个问题和第二个问题，这两个问题的本质差异在于他们下行的风险是不一样的，在第三个问题里面股票的价格是以10%的概率会跌掉两块钱，如果我们采取类似于第二个问题的套利策略,我们会发现，当期初按照5%的利率去银行借钱买股票，期末卖出股票偿还借款时，我们有可能获得一个正的收益,但也可能会获得一个负的收益，那么对我们说这个就不再是一个套利机会了。1.3无套利定价举例——ETF套利一、何为ETFETF是证券交易所基金（ExchangeTradedFunds），翻译为交易所交易基金，或称为“交易型开放式指数基金”。它是一种指数证券化的产品，即投资者不以传统方式直接进行一篮子股票的投资，而是透过持有代表指数权益的受益凭证来间接投资。二、如何设立ETFETF是一种跟踪“标的指数”变化、且在证券交易所上市交易开放式指数基金。投资人可以如买卖股票那么简单地去买卖跟踪“标的指数”的ETF，并使其可以获得与该指数基本相同的报酬率，由此降低构造股票投资组合的成本，类似指数证券化的产品。ETF需要有持有相应牌照的基金管理公司来发起，并进行管理，但这种基金公司的设立人必须拿符合基金名称要求的股票参与发起设立。之后将所持股票按其市值折成相应的ETF份额，再到交易所挂牌交易。ETF的基金资产为一篮子股票组合，组合中的股票种类与某一特定指数(如上证50指数)所包含的成份股票完全相同，股票数量比例与该指数的成份股构成比例也应一致。例如，上证50指数包含了中国平安、贵州茅台、浦发银行、中信证券等50只股票，那么，基于上证50指数的ETF，其投资组合也应该包含中国平安、贵州茅台等50只股票，且投资比例同指数样本中各只股票的权重对应一致，如表1.1所示。指数不变，ETF的股票组合就不变；而当指数调整时，ETF的投资组合也要作相应调整。表1.1华夏上证50ETF(510050)十大重仓股:2019-3-31在市场上面去买卖ETF基金时，通常有两种申购/赎回方式：（1）“现金申购/赎回”——用“现金”按“净值”申购或赎回基金份额（2）“实物申购/赎回”——用“篮子股票”的形式申购或赎回基金份额，这种申购方式下，对规模有一个要求，即至少是100万份申购规模，且“篮子股票”的构成是透明的。三、如何套利既然ETF在市场上存在两种不同的申购和赎回的方式,所以在市场上面有可能会存在这两种方式之间的套利机会。在介绍套利方式之前，先介绍两个ETF价值的概念：ETF市值和ETF净值。ETF市值MV=ETF在交易所的成交价格×1000000（申购单位）ETF净值NAV=“一篮子股票”总市价那么当这个市值和净值发生偏差的时候，就可能会给我们带来套利机会，下面介绍两种套利情景。一种情景，ETF市值>ETF净值，说明ETF的市值本身是被高估了，我们可以:1)从交易所去买成分股，支付的成本即为ETF净值;2)根据ETF本身的交易机制，按照ETF本身的配比，在市场上把股票让渡给基金公司，通过实物申购换回ETF;3)然后把ETF在市场上卖掉，获得ETF市值;由于ETF市值>ETF净值，这时候我们就能够获得一个无风险的收益，因为我们的成本是低的，卖出去的收益是高的。另一种情景，ETF市值<ETF净值,说明ETF的市值被低估了，此时，我们可以：1）在交易所首先去买入这个ETF，支付ETF市值的成本；2）再把这个ETF通过赎回的方式卖给基金公司，换回一篮子股票；3）然后把这个股票在交易所卖掉，获得ETF净值。由于ETF市值<ETF净值，所以我们也能够获得一个无套利机会,获取无风险收益。1.4无套利定价应用1——远期利率一、无套利思想确定远期利率首先介绍一下，什么是远期利率，什么是即期利率。1.即期利率（spotrate）指在当前时刻计算的期限为𝑻的利率水平，我们通常所说的零息债券的到期收益率就是即期利率的例子，记为𝒓(0,𝑻)。2.远期利率（forwardrate）指在当前时刻确定的，未来某时刻𝑻𝟏开始的，𝑻𝟐时刻到期的，距𝑻𝟏期限为𝑻𝟐−𝑻𝟏的利率水平。一般用𝑭(0，𝑻𝟏，𝑻𝟐)表示，0代表当前时刻。二者的概念可以通过下面的时间轴来表示。图1.1远期利率与即期利率那么相比即期利率，远期利率在我们经济生活中有非常多的一个应用。比如对于很多公司来说,我可以预期到在未来某一个时刻需要资金，就会涉及到在未来某一个时刻需要借入一个资金，此时公司会担心自己在未来某一个时刻T1去借资金的时候，资金的成本有可能会上升。此时他可以去银行买一个远期利率协议，通过远期利率协议确定未来的借贷利率，这个利率理论上就是我们的远期利率，所以它是我们经济生活中非常重要的一种金融概念。我们怎么利用无套利定价的原则对远期利率做一个合理的定价呢？基本的思想是用到了前面讲过的复制的思想，即无风险资产的无套利定价方式。我们考虑两种不同的计息方式，一种是一般的复利,一种是连续复利，现在我们考虑如果在期初的时候我们有一块钱，我们可以把这一块钱做两种不同的投资方式：第一种投资方式是我们可以在市场上面按照T2到期的即期利率进行存款，在一般复利情况，期末本息为：(1+(0,𝑻2))𝑻2另一种方式,我们可以把钱按照𝒓(0,𝑻1)存T1这么长的时间，同时签订一个远期利率协议，使得我们在T1时刻的时候将存款本息可以按照𝑭(0，𝑻𝟏，𝑻𝟐)利率继续存款到T2时刻结束，故期末本息为：(1+𝒓(0,𝑻1))𝑻1（1+𝑭(0，𝑻𝟏，𝑻𝟐)）(T2-T1)那么根据我们无套利的定价的原则,我们期初的投资成本都是一样的，而且这两项投资都是没有风险的，那么他们在期末的时候的收益应该也是相等的，所以我们能够得到：在连续复利下，这个关系相应的为：即：例：假设现在6个月即期年利率为𝟏𝟎%（连续复利，下同），1年期的即期利率是𝟏𝟐%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为𝟏𝟏%，试问这样的市场行情能否产生套利活动？答案是肯定的。理论远期利率：12%*1-10%套利过程是：第一步，交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假设1000万元）。第二步，签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借入资金1051万元（=1000e0.10×0.5）。第三步，按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1000万元。第四步，1年后收回1年期贷款，得本息1127万元（=1000e0.12×1），并用1110万元（=1051e0.11×0.5）偿还1年期的债务后，交易者净赚17万元（=1127万元-1110万元）。二、小结无套利定价方法的主要特征1.无套利定价原则首先要求套利活动在无风险的状态下进行。2.无套利定价的关键技术是所谓“复制”技术，即用一组证券来复制另外一组证券。要点是使复制组合的现金流特征与被复制组合的现金流特征完全一致，复制组合的多头（空头）与被复制组合的空头（多头）互相之间应该完全实现头寸对冲。1.5无套利定价应用2——远期和期货一、远期合约(forwardcontract)定义：指交易双方在将来某个确定的时刻按确定的价格购买或出售一定数量的某种资产（或商品）而签订的合约。远期合约通常是双方在场外协商制定（OTC）的产品。对于签订合约的双方来说，他们同时具有权利和义务。所以在合约签订期初的时候，通常是不需要支付任何费用的。即期初时，远期合约是一个价值为零的合约。一单位标的资产远期合约多头的损益是ST一单位资产远期合约空头的损益是K-这里𝑲为交割价格，𝑺𝑻为合约到期日资产的即期价格，𝑻为到期日。二、无收益资产远期合约的定价首先我们考虑远期合约的标的资产无收益的情况，为定价方便，定义如下符号：T：St：标的资产在K:

ftF(r：首先分析一下如何设定交割价格K，由于远期合约期初签订时双方都不需要支付任何现金，因此公平的远期合约期初价值为0，远期合约的交割价格正式在这种假设下确定的，我们也称使得远期合约价值为0的交割交割K为远期价格。在任意时刻我们都可以计算出使得相应期限远期合约价值为0的执行价格，因此远期合约市场的报价就是当时对应远期合约的协议价格，即远期价格，因此在实践中我们经常需要计算远期价格。同时远期价格也是期货理论报价的一个重要参考，在不考虑其他交易机制影响的情况下，期货相当于任何是否价值都为0的远期合约，故期货的理论报价就是远期价格。下面我们利用无套利均衡分析方法推导出远期合约的价格，考虑用标的资产和远期合约复制无风险组合，如下表所示。表1.2远期价格的确定过程t时刻T时刻远期合约多头0S卖空一只股票S-存入银行-S净现金流0S假设当前是t时刻，持有1份远期合约多头，卖空1份标的股票，将所得收入存入银行，这样期初净现金流为0。则在远期合约到期日，远期合约损益为ST

–

K，股票平仓成本为ST，故期末净现金流为Ster(T-t)-

K。由于Ster(T-t)-

K公式中所有量都是在期初完全K=F(t,T)=例：考虑一个基于不支付红利的股票的远期合约多头，三个月后到期，设当前股价为$𝟒𝟎，无风险连续利率为5%，试求使得该远期合约价值为0的交割价格？下面一个问题是我们怎么去计算远期合约的价值。刚才我们说到当一个远期合约在签定的时候它的价值应该是为零，那么为什么我们还要去计算它的一个远期合约的价值呢？这个原因就在于虽然我们在t1时刻去签订的时候，这个合约的价值是为零，但是随着时间往前面推移的时候，在到期之前的时候比如说时间来到t2，因为资产价格本身是在波动的，但执行价格已经固定了，那么标的资产价格的波动，远期合约的价值有可能就不是零了，有可能是一个正的值，也有可能是负的值，取决于标的资产波动的情况。远期合约价值的计算，仍然可以采用无套利定价的思想。如下表所示。表1.2远期合约价值的计算过程t2T时刻卖出tfF(存入银行-ff买t0S净现金流0f假设当前是t2时刻，卖出1份t1（t1<t2）时刻签订的远期合约，交割价为F(t1,T)，设合约价值为ft2，并新签订一份t2时刻开始，与原合约具有相同到期日的远期合约多头，交割价为Ft2,T，由于是新签定的公平合约故价值为则在远期合约到期日，t1时刻开始的远期合约空头损益为F(t1,T)-ST，t2时刻开始的远期合约多头损益为ST-Ft由于ft2er(T-t2)+Ft1,T-Ff例:如何计算远期合约的价值？考虑一个基于不支付红利的股票的远期合约多头，三个月后到期，设当前股价为$𝟒𝟎，三个月期即期无风险利率为5%，求得该远期合约价值为0的交割价格为40.5。若经过一个月后，以该股票为标的的两个月期的远期价格变为$42，问前述远期合约的价值𝑓是多少？设无风险利率仍为𝑟=10%f三、支付已知现金收益的投资资产的远期价格类似地，首先确定使得远期合约价值为0的协议价格，即远期价格。以支付现金红利的股票为例。利用无套利定价思想，如下表所示。表3.3有现金收益资产的远期价格确定t时刻T时刻远期合约多头0S卖空一只股票S-卖空的票息支出0-I存入银行-S净现金流0(S其中It表示远期合约有效期内，标的股票的所有红利在t时刻的现值之和首先期初，我们可以去建立一个远期合约的多头，卖空一只股票，同样将卖空收益存入银行，因此期初净现金流为0。远期合约到期时，因为这个股票标的资产有现金红利支出的，所以我们还会有一个负的现金流-Iter(T-t)，这是跟无收益标的资产的唯一区别。故此时期末的净现金流为(St同样的道理，作为无风险组合，期初投资为0，期末价值也应该为0，故有：K=F(t,T)=例：考虑购买一份附息票债券的远期合约，债券的当前价格为$900，假定远期合约期限为一年，债券在5年后到期，假设6个月后，债券会支付40美元的利息，其中第二次付息日恰恰是远期合约交割日的前一天。6个月与一年期的无风险