高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程 练习（含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程一、单选题1．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为A．2 B． C． D．2．设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．3．已知是椭圆上的一个点，、是椭圆的两个焦点，若，则等于（

）A． B． C． D．4．设是椭圆的左､右焦点，若椭圆上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．5．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率e为（

）A． B． C． D．26．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（

）A． B．3 C． D．27．双曲线的焦距为（

）A． B．2 C． D．48．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．9．已知，分别为椭圆的左､右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线l与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．10．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（

）A． B．C． D．11．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为、、，则（

）A． B．C． D．12．已知椭圆和双曲线有相同焦点，则（

）A． B． C． D．二、填空题13．与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程为______．14．设双曲线，其左焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为__________.15．已知抛物线，圆与轴相切，斜率为的直线过抛物线的焦点与抛物线交于，两点，与圆交于，两点(，两点在轴的同一侧)，若，，则的取值范围为___________.16．已知抛物线的焦点为，准线为，：过点且与相切，轴被所截得的弦长为4，则=________.三、解答题17．已知抛物线T：（）和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段的中垂线交椭圆C于M，N两点.(1)若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；(2)若恰好被平分，求面积的最大值18．已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点，且.（1）求抛物线的方程；（2）设，是抛物线上的不同两点，且轴，直线与轴交于点，再在轴上截取线段，且点介于点点之间，连接，过点作直线的平行线，证明是抛物线的切线.19．如图，椭圆的离心率是，短轴长为，椭圆的左､右顶点为、.过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点.（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）记的面积为的面积为，若，求直线在轴上截距的范围.20．在直角坐标系xOy中，已知点，，直线AD，BD交于D，且它们的斜率满足：．(1)求点D的轨迹C的方程；(2)设过点的直线l交曲线C于P，Q两点，直线OP与OQ分别交直线于点M，N，是否存在常数入，使，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．21．在平面直角坐标系中，椭圆)的离心率为，短轴的一个端点的坐标为.（1）求椭圆的方程.（2）点为椭圆的右焦点，过上一点的直线与直线交于点为，直线交于另一点，设与交于点.证明：（i）；（ii）为线段的中点.参考答案：1．D先求出抛物线的焦点、准线，再根据椭圆的通径公式求出a、c，算出离心率.【详解】易知抛物线的焦点（2，0），准线x=-2，即椭圆的c=2，因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径；即通径为，又因为c=2解得a=4所以离心率故选D.【点睛】本题目考察了抛物线的方程和性质，以及椭圆的性质，本题关键点在通径上，如果记不得通径公式就直接带入计算，一样可得答案，属于一般题型.2．D根据题设条件和双曲线的性质，在三角形值寻找等量关系，得到之间的等量关系，进而求出离心率.【详解】依题意，可知三角形是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知，根据双曲定义可知，整理得，代入整理得，求得；∴．故选：D．【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率问题，正确解题的关键是熟练掌握双曲线的性质，以及寻找判断三角形中边的关系.3．B求出的值，利用椭圆的定义可求得结果.【详解】在椭圆中，，则.故选：B.4．B由向量的关系可得，由椭圆的定义及，可得，的值，在直角三角形中，由勾股定理可得，的关系，进而求出椭圆的离心率．【详解】解：设的中点为，由，即，所以，连接可得，所以，可得，又因为，所以，，在中，，即，可得：，解得，故选：．5．A根据题意渐近线的斜率为，所以该渐近线的方程为，所以，求得，利用，求得即可得解.【详解】∵双曲线的一条渐近线的倾斜角为，，∴该渐近线的方程为，∴，解得或（舍去），∴，∴双曲线的离心率为．故选：A．6．B由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.【详解】由已知，不妨设，则，因为，所以点在以为直径的圆上，即是以P为直角顶点的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.7．C由方程求得后再得，从而得焦距，【详解】由题意，所以，焦距为．故选：C．8．A根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.9．D依题意可得，的值，由椭圆的定义可得a，c的关系，即求出离心率的值．【详解】解：依题意可得．又，，，．故选：D．10．C由题设，利用为的重心，求出线段的中点为，将B代入直线方程得，再利用点差法可得，结合，可求出，进而求出离心率.【详解】由题设，则线段的中点为，由三角形重心的性质知，即，解得：即代入直线，得①.又B为线段的中点，则，又为椭圆上两点，，以上两式相减得，所以，化简得②由①②及，解得：，即离心率.故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．11．A根据椭圆的离心率公式可知，椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大，比较出三个椭圆的长轴长与短轴长的比值大小，由此可得出结论.【详解】因为椭圆的离心率，所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大.因为，，，则，所以.故选：A.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.12．A求出椭圆和双曲线的半焦距即得解.【详解】由题得椭圆的半焦距为，双曲线的半焦距为，所以.故选：A13．由已知双曲线可得焦点坐标，设所求双曲线方程为，，根据、求得和的值即可求解.【详解】由双曲线可得焦点坐标为，设所求双曲线的方程为，，由题意可得：，解得，所以双曲线的标准方程为：，故答案为：.14．画出图形，由，可得是的中点，再结合题意可得垂直平分，再由双曲线的两条渐近线关于对称，从而可得，进而可求出双曲线渐近线方程【详解】解：因为，所以是的中点，因为，所以垂直平分，所以，因为双曲线的两条渐近线关于对称，所以，因为,所以，所以双曲线的渐近线方程为，故答案为：15．先求出，然后设出直线，让直线与抛物线联立，再根据向量之间的关系及韦达定理求出，再利用抛物线的定义及条件建立等式，再转化为不等式求解即可.【详解】由圆的方程可知，其圆心坐标为，当圆与轴相切可知，得，所以抛物线的焦点坐标为，抛物线方程为，设斜率为的直线方程为，设，直线与抛物线联立，，得，所以①，②所以，，而，则有，，所以③，由①，③解得，代入②有，变形得，因为，所以，所以，变形得，解得.故答案为：.【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是先求出抛物线方程，二是运用抛物线的定义，三是解不等式.16．1或3根据题意，得到圆心在抛物线上，推出；再由抛物线的定义，得到；联立求出；再由圆的性质，由题中条件，得出，进而可求出，从而可求出.【详解】由已知得圆心在抛物线上，所以；又抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，则，所以，因为轴被所截得的弦长为，根据圆的性质：圆心到弦的距离的平方，与弦长一半的平方之和，等于半径的平方；所以，故.所以，即，所以或，故或.故答案为：1或3.【点睛】本题主要考查抛物线的方程与抛物线定义的应用，考查由圆的弦长求参数，属于常考题型.17．(1)4(2)．（1）求出椭圆焦点，得抛物线焦点，从而得的值；（2）设直线方程为，代入抛物线方程，结合韦达定理得中点坐标，根据椭圆的弦中点性质得出一个参数值，由中点在椭圆内部得出另一个参数的范围，然后求出三角形面积，得出最大值．(1)在椭圆中，，所以，；(2)设直线方程为，代入抛物线方程得，设，中点为，则，，，，设，则，两式相减得，所以，，，所以，解得，点在椭圆内部，所以，得，因为，所以或，，时，，时，，所以面积的最大值为．【点睛】本题考查求抛物线的方程，考查直线民椭圆、抛物线相交问题，考查圆锥曲线中的面积问题．解题方法采用设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，代入曲线方程后应用韦达定理，求得弦中点坐标，弦长等，把这个结论代入其他条件可求得参数关系，参数值，参数范围等．即设参数，利用韦达定理把目标用参数表示，进而求最值，证明一些结论．本题考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，对学生的要求较高，属于难题．18．（1）；（2）见解析.（1）分过点的直线斜率存在和不存在两种情况，设过点的直线方程为，，联立，求得两根只和，两根之积，再根据半焦距公式几块求得p，从而得出答案；（2）不妨设点P在第一象限，则，设直线PQ的方程为，，求得点G的坐标，根据，可求得点E的坐标，从而可求的PE的斜率，联立，求得点Q的坐标，从而可得直线l的方程，联立消元，利用根的判别式即可得证.【详解】（1）解：设过点的直线方程为，，联立，得，则，所以，，因为，所以，化简得，所以，当过点的直线斜率不存在时，则，故，又因为，则，所以，综上所述，，所以；（2）证明：不妨设点P在第一象限，则，设直线PQ的方程为，，联立，消元整理得，则，即故，即，当时，，则，又因，且点介于点点之间，则为的中点，所以，则直线的斜率为，因为直线平行直线，所以直线的斜率为，故直线的方程为，即，联立，消元整理得，，所以直线l与抛物线只有一个交点，有直线l斜率不为0，所以是抛物线的切线.19．（1）椭圆，拋物线；（2）.（1）依题意得到方程组，求出的值，即可求出拖椭圆方程，再根据抛物线的焦点求出抛物线方程；（2）设，联立与椭圆，利用韦达定理及弦长公式，点到直线的距离，求出三角形的面积，，再根据得到不等式，解得即可；【详解】（1）根据题意得：，解得，，，抛物线焦点，因此椭圆，拋物线（2）设，联立与椭圆，整理得：，判别式：弦长公式：，所以联立与抛物线，整理得：，判别式：弦长公式：，所以，因为，因此，解得：在轴上截距或，因此在轴上截距取值范围是.20．(1)；(2)存在，λ的值为4.(1)设出点D的坐标，根据给定条件列式、化简整理即可作答.(2)设出直线l的方程，与轨迹C的方程联立，借助韦达定理计算三角形面积即可判断作答.(1)设，而点，，则，，又，于是得，化简整理得：，所以点D的轨迹C的方程是：.(2)存在常数，使，如图，

依题意，直线l的斜率存在且不为0，设直线l：，，，由消去y得：，则，，，则，直线OP：，取，得点M横坐标，同理得点N的横坐标，则，因此有，于是得，所以存在常数，使.21．（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.（1）根据离心率及短轴的一个端点的坐标可求椭圆的方程；（2）（i）求出点的坐