第03讲圆的方程

第03讲圆的方程1．圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2．点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内．一．圆的方程例1．（1）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】圆的圆心为，半径为，得到圆方程.【详解】根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.故选：B.【复习指导】：直接法求圆的标准方程的策略确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．（2）圆关于直线对称的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求得圆关于直线对称的圆的圆心坐标，进而即可得到该圆的方程.【详解】圆的圆心坐标为，半径为3设点关于直线的对称点为，则，解之得则圆关于直线对称的圆的圆心坐标为则该圆的方程为，故选：D．（3）已知，则的外接圆的一般方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设外接圆的方程为：，然后将三点坐标代入解方程组求出的值，从而可求出的外接圆的一般方程.【详解】设外接圆的方程为：，由题意可得：，解得：，即的外接圆的方程为：．故选：C.【复习指导】：求圆的方程(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．（4）若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．故选：A．（5）“”是“方程表示圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据圆的一般是方程表示圆的条件得，再根据集合关系判断必要不充分条件即可.【详解】方法一：因为方程表示圆，，所以，解得所以“”是“”的必要不充分条件.故选:B.方法二：方程表示圆，即表示圆，则需，解得，所以“”是“”的必要不充分条件.故选:B.【复习指导】：圆的一般方程的辨析(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．（6）经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为______.【答案】【分析】首先设圆的标准方程为，根据题意得到，再解方程即可.【详解】设圆的标准方程为，由题知：，所以标准方程为.故答案为：（7）圆的直径为___________.【答案】5【分析】转化为圆的标准方程，即得解【详解】由题意，故圆的半径为，直径为5故答案为：5二．点与圆的位置关系例2．（1）点与圆的位置关系是（

）．A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定【答案】C【分析】由点到原点距离与圆半径大小比较，即可判断点、圆位置关系.【详解】因为，所以点在圆外．故选：C（2）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】求出两直线的交点坐标，利用该交点到圆心的距离小于半径列式，解不等式可得结果.【详解】圆的圆心为，半径为，由得，则两直线与的交点为，依题意得，解得.故选：B（3）已知四点共圆，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由三点求出圆的方程，再把代入方程即可求解【详解】设过四点的圆的方程为，将代入可得：，解得，所以圆的方程为，将代入圆的方程得，解得，故选：D（4）若点在圆外，则实数a的取值范围是______.【答案】【分析】由题意可得关于的不等式，求解得答案．【详解】点在圆外，，且，解得或．实数的取值范围为．故答案为：.【复习指导】：判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．三．与圆有关的最值问题例1．（1）已知为圆上一动点，则点到直线的距离的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由即可求解.【详解】∵圆，∴圆心，半径，∴圆心到直线的距离，∴圆上的点到直线的距离最大值为，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查圆上的点到直线距离的最值问题，利用圆的几何性质是解题的关键.（2）已知直线：与圆：，则上各点到距离的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判断直线与圆的位置关系，再结合图形求距离最小值.【详解】易知圆心，半径，圆心到直线l：的距离d，所以圆与直线相离，如图所示：所以圆C上各点到l距离的最小值为，故选：C．（3）已知直线l过点，则直线l被圆O：截得的弦长的最小值为（

）A．3 B．6 C． D．【答案】B【分析】由题可知当OA与直线l垂直时，所截得的弦长最短，利用弦长公式即得.【详解】依题意可知在圆内，且，圆O的半径为．当OA与直线l垂直时，所截得的弦长最短，即弦长的最小值为.故选：B．（4）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为A．B．C．D．【答案】C【分析】为单位圆上一点，而直线过点，则根据几何意义得的最大值为.【详解】为单位圆上一点，而直线过点，所以的最大值为，选C.【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．（5）已知实数x，y满足方程，则=1\*GB3①的最大值和最小值分别为________和________；=2\*GB3②y－x的最大值和最小值分别为________和________；=3\*GB3③的最大值和最小值分别为_______和_______．【答案】////【分析】将圆的方程化为标准形式，得圆心坐标和半径，利用设＝k，利用的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，可求出的最大值和最小值；将y－x看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．利用直线与圆相切可求出y－x的最大值和最小值；将x2＋y2看成圆上的一点与原点距离的平方，利用平面几何知识知可求出的最大值和最小值.【详解】原方程可化为，表示以（2，0）为圆心，为半径的圆．=1\*GB3①的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆相切时（如图），斜率k取最大值或最小值，此时，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－.=2\*GB3②y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b＝－2±，所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.=3\*GB3③表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以的最大值是，的最小值.故答案为：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；.（6）已知为圆C：上任意一点，且点．=1\*GB3①求的最大值和最小值．=2\*GB3②求的最大值和最小值．=3\*GB3③求的最大值和最小值．【答案】【小问1】最大值为，最小值为

【小问2】最大值为，最小值为

【小问3】最大值为9，最小值为1【分析】=1\*GB3①利用图形及点与圆的关系即可得结果；=2\*GB3②利用图形将问题转化为斜率最值即可；=3\*GB3③利用图形将问题转化为直线与圆的位置关系；【详解】=1\*GB3①圆C：，如图所示，连接QC交圆C于AB两点，当M与A重合时取得最小值，即，与B重合时取得最大值即，故最大值为，最小值为；=2\*GB3②易知，由图形知当与圆C相切时取得最值，如图所示.可设，则C到其距离为，解得，故最大值为，最小值为=3\*GB3③设，如图所示，即过点M的直线，所以或9，故最大值为9，最小值为1.【复习指导】：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝eq\f(y－b,x－a)型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．四．与圆有关的轨迹方程例4．（1）已知点，，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，根据即得.【详解】设，由条件知，且PM，PN的斜率肯定存在，故，即，所以，因为为直角三角形的直角顶点，所以，故所求轨迹方程为．故选：C.（2）已知A，B是：上的两个动点，P是线段的中点，若，则点P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由圆的垂径定理得，利用勾股关系求得，结合圆的定义即可求出点P的轨迹方程.【详解】因为中点为P，所以，又，所以，所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为.故选：C.（3）点与两个定点，的距离的比为，则点的轨迹方程为______．【答案】【分析】设出动点，利用条件得到，再化简即可得到结果.【详解】设点，由题知，两边平方化简得，即，所以点的轨迹方程为.故答案为：.（4）在平面直角坐标系中，A（6，0），点B为圆C：上的动点，点P满足，则动点P的运动轨迹方程为_________.的最小值为_________.【答案】/【分析】答题空1：可利用直接设点列方程方法解得P的轨迹方程；答题空2：先利用将问题转化为求的最小值，再利用点B的轨迹解决取最小的位置，最后利用三点共线解决动点P到两定点的距离和问题，综合得出的最小值.【详解】答题空1：设点的坐标为，由得，化简得动点P的轨迹方程为圆上,答题空2：，则圆内含于圆，（当且仅当三点共线，且在之间时等号成立）又因为（当且仅当三点共线，且在之间时等号成立）综上：当四点共线，且从左到右的位置顺序依次为时取得最小值故答案为：；.【复习指导】：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．1．已知，则外接圆的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得外接圆的方程即可进行选择.【详解】设外接圆的方程为则有，解之得则外接圆的方程为故选：D2．在平面直角坐标系中，以点(0，1)为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由条件利用点到直线的距离公式求得半径，可得要求的圆的标准方程．【详解】由题意可得圆心为点(0，1)，半径为，要求的圆的标准方程为，故选：A．3．已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可【详解】由题意，表示圆故，即或点A（1，2）在圆C：外故，即故实数m的取值范围为或即故选：A4．若方程表示圆，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，解不等式即可求解.【详解】由方程表示圆，则，解得.所以实数m的取值范围为.故选：D5．若圆：过坐标原点，则实数的值为（

）A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1【答案】C【分析】根据圆的一般方程的定义，结合过原点列方程即可求解.【详解】∵表示圆，∴∴.又圆过原点，∴，∴或（舍去）；.故选:C.6．已知直线过定点P，线段MN是圆的直径，则（

）A． B．3 C．7 D．9【答案】C【分析】求出定点P，圆心及半径，利用向量的运算可得，即可求值.【详解】直线可化为：，由解得，所以直线过定点，圆的圆心为,半径为，所以,所以，故选：C7．点在圆上，点，则的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】可判断在圆外，则，计算即可．【详解】圆的圆心，半径为，由于在圆外，．故选：D.8．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（

）A． B．9 C．4 D．8【答案】B【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得.【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，因此，即，∴，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为9.故选：B.9．已知圆上两动点A，B满足为正三角形，O为坐标原点，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由条件可得，由此确定点的轨迹方程，再求的最大值可得结论.【详解】由题可知是边长为1的正三角形，设的中点为，则，又，所以点的轨迹方程为，且．因为，所以，因为，当且仅当点在线段上时等号成立，所以的最大值为，所以的最大值为．故选：D．10．已知是圆上的两个动点，点，若，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设的中点为，得到，连接，，，根据，得到,设，求得，得出点的轨迹，再由，得到当取最大值时，结合圆的性质，即可求解.【详解】如图所示，设的中点为，连接，由，可得，连接，，，则，所以，所以,设，则，整理得，所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，因为，所以当取最大值时，取最大值，又因为，故的最大值为.故选：A．11．已知过点的动直线l与圆C：交于A，B两点，过A，B分别作C的切线，两切线交于点N．若动点，则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】先判断出四点在以为直径的圆上，求出该圆方程，进而求得方程，由点在直线上得出点轨迹为，又在圆上，进而将的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，即可求解.【详解】易得圆心，半径为4，如图，连接，则，则四点在以为直径的圆上，设，则该圆的圆心为，半径为，圆的方程为，又该圆和圆的交点弦即为，故，整理得，又点在直线上，故，即点轨迹为，又在圆上，故的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，即.故选：B.12．已知，关于直线对称的圆记为，点E，F分别为，上的动点，EF长度的最小值为4，则（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】画出图形，当过两圆圆心且与对称轴垂直又接近于对称轴时，长度最小，此时圆心到对称轴的距离为4，根据点到直线的的公式建立方程即可求解.【详解】由题易知两圆不可能相交或相切，则如图，当过两圆圆心且与对称轴垂直又接近于对称轴时，长度最小，此时圆心到对称轴的距离为4，所以，解得或.故选：D13．已知圆内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设圆心，由圆的对称性可知过点与垂直的直线被圆所截的弦长最短【详解】由题意可知，当过圆心且过点时所得弦为直径，当与这条直径垂直时所得弦长最短，圆心为，，则由两点间斜率公式可得，所以与垂直的直线斜率为，则由点斜式可得过点的直线方程为，化简可得，故选：B14．直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出直线经过的定点，再求出弦AB最短时直线l的方程.【详解】由题得，所以直线l过定点P.当CP⊥l时，弦AB最短.由题得,所以.所以直线l的方程为.故选A【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15．已知圆的方程为，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（

）A． B．10 C． D．5【答案】A【分析】确定圆的圆心和半径，确定当时，最短，根据圆心距和圆的半径以及弦长的关系，即可求得答案.【详解】圆的方程可化为，则，因为，故点在圆内，过点的最长弦一定是圆的直径，当时，最短，此时，则，故选：A．16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹的圆心坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题设，应用两点距离公式可得，整理并化为圆的标准形式，即可确定圆心.【详解】令P(x，y)，则，两边平方并整理得：，∴圆心为(4，0)．故选：A．17．已知点P在圆上，则点P到x轴的距离的最大值为（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】先根据圆的一般方程求出圆心半径，再结合问题计算即可.【详解】圆,即圆

圆心为，半径，得点P到x轴的距离的最大值为.故选：B.18．在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为()A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16【答案】B【详解】由直线x－by＋2b＋1＝0可得该直线过定点A(－1,2)，设圆心为B(0,1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，则rmax＝|AB|＝eq\r(－1－02＋2－12)＝eq\r(2)，所以半径最大的圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.故选B.19．（多选）已知直线，圆，则（

）A．直线过定点B．圆的半径是1C．存在一个实数，使得直线经过圆的圆心D．无论取何值，直线与圆相交【答案】ACD【分析】A选项，将变形得到，求出直线所过定点；B选项，将圆化为标准方程，得到圆心与半径，B正确；C选项，求出当时，直线经过圆心；D选项，得到点在圆内，所以无论取何值，直线与圆都相交.【详解】变形为，令，解得：，可得直线过定点，正确；变形为，圆的圆心为，半径为3，则B错误；将代入直线中，，解得：，当时，直线经过圆心，则正确；将代入中，，故点在圆内，所以无论取何值，直线与圆都相交，则D正确.故选：ACD20．（多选）已知圆的方程为，对任意的，该圆（

）A．圆心在一条直线上 B．与坐标轴相切C．与直线不相交 D．不过点【答案】ABC【分析】对A：显然圆心在上；对B：用圆心到坐标轴的距离判断；对C：用圆心到直线的距离判断；对D：将点代入圆方程看是否有解.【详解】对于：显然圆心在故A对；对于B：圆心到坐标轴的距离均为，等于圆的半径，故该圆与坐标轴相切，B正确；对于C：圆心到直线距离，故相离，C对；对于D：将点代入圆方程得，显然，故有解，所以可能过点错；故选：ABC．21．（多选）椭圆上一点和圆上一点，则的值可能是（

）A． B．1 C．3 D．4【答案】BC【分析】先转化为椭圆上一点到圆心的距离，利用二次函数单调性求出范围，再由圆上点的几何性质，求出的取值范围.【详解】设圆心为，，则，其中，由对称轴为知，时，函数单调递减，则，所以，则有，．故选：BC22．（多选）已知直线与圆交于A，B两点，点M为圆C上的一动点，点，记M到l的距离为d，则（

）A． B．d的最大值为C．是等腰三角形 D．的最小值为【答案】ACD【分析】对于A，根据垂径定理以及弦长公式，可得答案；对于B，根据题意作图，结合圆上点与直线的位置关系，可得答案；对于C，求弦的中垂线的直线方程，根据中垂线的性质，可得答案；对于D，由题意，作图，根据线段组合，求得答案.【详解】对于A，由圆，可得，半径为，点到直线的距离为，则，故A正确；对于B，由题意，可作下图：点为弦的中点，直线，则，故B错误；对于C，由选项B与题意，如下图：易知，，则直线的斜率，由，则直线的斜率，由，则直线的方程为，则，即点在直线上，为的中垂线，是等腰三角形，故C正确；对于D，由题意，可作图：则，显然，则，故D正确；故选：ACD.23．（多选）过圆外一点作直线交圆于、两点，则弦的中点（

）A．轨迹为圆 B．满足方程C．轨迹为一段圆弧 D．满足方程【答案】CD【分析】设点，由垂径定理可知，利用勾股定理化简可得出点的轨迹方程，数形结合可得出结论.【详解】设点，由垂径定理可知，由勾股定理可得，即，整理可得，圆的圆心为，半径为，圆心距为，且，所以，圆与圆相交，所以，点的轨迹是圆在圆内的圆弧，如下图圆内实线部分所示：故选：CD.24．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是()A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆Ck均不经过点(3,0)C．经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个D．所有圆的面积均为4π【答案】ABD【详解】圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，∴B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根，∴经过点(2,2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．25．与圆同圆心且过点的圆的方程是_____________．【答案】【分析】先求出同心圆的圆心，在利用两点间的距离公式的应用求出所求圆的半径，由此即可求出结果．【详解】圆，即所以所求圆的圆心坐标为，半径为所以圆的方程为．故答案为：．26．若圆的圆心在直线上，则C的半径为______．【答案】【分析】先求得参数D，再去求C的半径即可解决.【详解】圆的圆心为则有，则，则C的半径为故答案为：27．若圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则_______．【答案】【分析】根据题意转化为圆心到直线的距离是圆半径的一半，利用点到直线距离公式进行求解.【详解】圆化为，圆心为，半径为2，因为圆上有且仅有三个点到直线距离是1，所以圆心到直线的距离是圆的半径的一半，即，解得．故答案为：28．若不同的四点共圆，则实数__________．【答案】-1或5【分析】先由A、B、C三点确定其外接圆，再计算即可.【详解】易知圆心在线段的垂直平分线上，该直线方程为，设圆心坐标为，半径为，所以，解得，所以所求圆的方程为，点在圆上，所以，解得或．故答案为：-1或529．直线与的交点在曲线上，则______．【答案】【分析】先联立方程求出两直线的交点坐标，再代入曲线的方程进行求解.【详解】联立，得，即直线与的交点为，因为两直线的交点在曲线上，所以，解得.故答案为：.30．已知，是曲线上的动点，为直线上的一个动点，则的最小值为______.【答案】【分析】根据题意，求得关于直线的对称点，结合图像即可得到当三点共线时，取得最小值.【详解】如图，曲线是以为圆心，以为半径的圆，则根据圆的性质可知，的最小值为，设关于直线的对称点为，则可得，解得，即，连接，分别交直线与圆于，则，当且仅当三点共线时取等号，此时取得最小值，所以的最小值为.故答案为:31．若点P在椭圆C1：＋y2＝1上，C1的右焦点为F，点Q在圆C2：x2＋y2＋10x－8y＋39＝0上，则的最小值为__________．【答案】【分析】根据椭圆的定义得，结合圆的性质以及四点共线即可求解最小值.【详解】记椭圆C1：＋y2＝1的左焦点为E(－1,0)，右焦点F(1,0)，由椭圆的定义可得，，所以，由，得，即圆C2的圆心为，半径为，作出图形如图所示，由圆的性质可得，，＝＝4－3＝(当且仅当C2，Q，P，E四点共线时，等号成立)，所以的最小值为.故答案为：32．在平面内，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到的最短路程是______．【答案】【分析】求得点关于轴的对称点为，结合圆的性质，即可求解.【详解】由圆，得圆心坐标，半径为，求得点关于轴的对称点为，可得.如图所示，可得爬到的最短路程为.故答案为：33．当直线l：ax－y＋2－a＝0被圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9截得的弦长最短时，实数a的值为________.【答案】2【分析】求出直线过的定点，数形结合得到当MC与l垂直时，弦长最短，利用垂直时斜率关系列出方程，求出实数a的值.【详解】由ax－y＋2－a＝0得直线l恒过点M(1，2).又因为点M(1，2)在圆C的内部，当MC与l垂直时，弦长最短，所以，所以×a＝－1，解得:a＝2.故答案为：234．己知实数满足，则的最大值为__________．【答案】【分析】设点，则问题转化为圆上一点与圆外一点之间距离的最大值的平方，根据点与圆的位置关系求解即可.【详解】方程整理得，设点，即点是圆上一点又点在圆外，所以，则，所以的最大值为.故答案为：.35．已知圆过点，，则圆心到坐标原点的距离的最小值为___________.【答案】【分析】先求出圆心所在直线方程，再求原点到直线距离即可.【详解】依题意，可知圆心在线段的中垂线上，的斜率为，线段的中点为，故线段的中垂线方程为，故到坐标原点的距离的最小值为.故答案为：.36．已知圆经过点，与直线相切，且被轴截得的弦长为，则圆的标准方程为________.【答案】【分析】设圆心和半径，由题意列出方程组，求得圆心和半径，即得答案.【详解】设所求圆的圆心为，半径为R，则由题意可得，解得，故圆的标准方程为，故答案为：37．已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．【答案】2eq\r(5)【详解】因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C(2,1)为圆心，半径r＝eq\r(5)的圆．设点A(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋0,2)＋\f(n＋2,2)＋2＝0，,\f(n－2,m－0)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n＝－2，))故A′(－4，－2)．连接A′C交圆C于Q，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2eq\r(5).38．在平面直角坐标系中，点满足，则动点的运动轨迹方程为__________；的最小值为__________.【答案】【分析】设出，由题意列出方程组，化简即可得到点的轨迹方程；【详解】设，由题意可得，整理得，故动点的运动轨迹方程为，如图所示，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，点在圆内部，所以，当且仅当在线段上时等号成立，所以的最小值为，故答案为：；39．已知直线l：与圆相交于A、B两点，M是线段AB的中点，则M的轨迹方程为_____；M到直线的距离的最小值为_____．【答案】2【分析】可得，设，根据中点关系表示出，代入圆即可求出轨迹方程；M的轨迹圆心到直线距离，即可求出最小值.【详解】因为直线过定点，且在圆上，不妨令，设，因为M是线段AB的中点，所以，即，因为在圆上，所以，即，所以M的轨迹方程为，圆心为，半径为1，圆心到直线的距离为，所以M到直线的距离的最小值为.故答案为：；2.40．已知曲线：．（1）当取何值时，方程表示圆？（2）求证：不论为何值，曲线必过两定点．（3）当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．【分析】（1）当时，可知方程表示直线；当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程；（2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得；（3）根据（2）的结论，可知以为直径的圆面积最小，从而得到圆的方程，与已知方程对应相等可构造方程组，解方程组求得结果．【详解】解：（1）当时，方程为表示一条直线．当时，，整理得，由于，所以时方程表示圆．（2）证明：方程变形为．由于取任何值，上式都成立，则有．解得或所以曲线必过定点，，即无论为何值，曲线必过两定点.（3）由（2）知曲线过定点A，，在这些圆中，以为直径的圆的面积最小（其余不以为直径的圆的直径大于的长，圆的面积也大），从而以为直径的圆的方程为，所以，解得．41．已知圆心为C的圆经过两点，且圆心C在直线上(1)求圆C的标准方程．(2)若直线PQ的端点P的坐标是，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程.（2）设出点的坐标，求得点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程.【详解】（1）线段的中点的坐标为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线的方程为，由解得，所以，,所以圆的标准方程为.（2）设，由于是线段的中点，，所以，将点的坐标代入原的方程得，整理得点的轨迹方程为：.42．已知圆C经过点且圆心C在直线上.(1)求圆C方程；(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用待定系数法即得；（2）根据相关点法，设出点M的坐标，利用中点公式结合圆的方程即得.【详解】（1）由题可设圆C的标准方程为，则，解之得，所以圆C的标准方程为；（2）设M（x，y），，由及M为线段EF的中点得，解得,又点E在圆C：上，所以有，化简得：,故所求的轨迹方程为．43．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值．(2)求x2＋y2的最大值和最小值．【详解】(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，eq\r(3)为半径的圆．eq\f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3).所以eq\f(y,x)的最大值为eq\r(3)，最小值为－eq\r(3).(2)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为eq\r(2－02＋0－02)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).44．已知圆经过点，且圆心在直线上，点为圆上的一个动点，为原点.(1)求圆的方程；(2)求面积的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）设圆的一般方程，将点A、B的坐标代入圆的方程，将圆心坐标代入直线方程，列出方程组，解之即可求解；（2）根据点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离，进而得圆上的动点到弦距离的最大值，结合即可求解.【详解】（1）设圆的方程为，则圆心为.由题可知解得圆的方程为.（2）易知的中点坐标为，圆的圆心到弦的距离为.又由（1）知圆的半径为2，圆上的动点到弦距离的最大值为.又，面积的最大值为.45．已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上．(1)求圆C的标准方程；(2)若P是直线上的动点，Q是圆C上的动点，定点，求的最大值．【答案】(1)；(2)15【分析】（1）根据圆的几何性质求得圆心坐标和半径，进而求得圆的标准方程.（2）利用点关于直线对称点以及三点共线来求得的最大值.【详解】（1）依题可设圆心C的坐标为，因为，所以，解得，则圆心C的坐标为，圆C的半径，故圆C的标准方程为．（2）因为，所以．设点关于直线对称的点为，则，解得，即．因为，所以，当且仅当P，C，三点共线时，等号成立．又，所以的最大值为15．46．已知圆心在轴上的圆与轴交于两点，(1)求此圆的标准方程；(2)设为圆上任意一点，求到直线的距离的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据先确定出圆心，半