四年级数学奥数培优讲义-专题20周期问题（含解析）

第第页四年级数学奥数培优讲义-专题20周期问题（含解析）专题20周期问题

在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，比如每周七天，从星期一开始，到星期日结束，总是以七天为一个循环不断重复。我们把这种会重复出现的规律性问题称为周期问题。要解决这类问题，关键要抓住两点：①找出规律，找出周期数。即多少个（次）又出现重复；②用总数除以周期数，看余数，余几就是周期里的第几个，没有余数就是最后一个。

1．8个队员围成一圈做传球游戏，从⑴号开始，按顺时针方向向下一个人传球．在传球的同时，按顺序报数．当报到72时，球在几号队员手上？

2．如图，七个小矮人住在A、B、C、D、E、F、G这7座房子中，白雪公主第一天在A房子中做客，从第二天开始按照BCDEFGFEDCBABC……的顺序每天在一个小矮人的房子中做客。请问，第150天白雪公主在哪个房子中做客？

3．甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加1倍；经过2023次这样的操作以后，甲有10块糖，乙有8块糖，请问：两个人原来分别有多少块糖？

4．甲、乙、丙、丁四位医生依次每天轮流到农村卫生所义诊.甲第30次义诊是星期三，那么当丙首次在周日义诊时，丁医生已经下乡义诊几次了？

5．在某个月中刚好有3个星期天的日期是偶数(双数)，则这个月的5日是星期几？

6．同学们在科技馆参加活动，谁最先参加游戏呢？同学们想了个好办法，大家排成一排1～2报数，报2的同学再1～2报数，这样依次进行下去，最后报2的这名同学先玩，如果这列一共有12人，最先玩的同学是这一列中的第几个？

7．图13中第一格内放着一个立方体木块，木块的六个面上分别写着A、B、C、D、E、F六个字母，其中A与D，B与E，C与F相对，且A面向上．如果木块沿着图中方格滚动，那么当木块滚到第21格进，木块向上的面是哪个字母？

8．有一个111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？

9．一些数字按一定规律排列如下：3，5，1，9，7，3，5，1，9，7，3，5，1，9，7，…，那么其中第1至300个数加起来是多少？

10．按下面的摆法，摆一百个三角形，请问第100个三角形是什么颜色的？在这100个三角形中有多少个白色的三角形？

△△△▲▲▲△△△▲▲▲△△△▲▲▲……

11．有一列数：1，1，2，3，5，8，13，……，即第一、第二个数都是1，从第三个数起，每个数都是前面两个数的和，求第2023个数除以3的余数．

12．8个格子排成一个正方形，依次编号（如图所示），小玲将棋子放在3号格子上，顺时针方向前进245个格子后又倒退一个格子，这时棋子应在几号格子上？

13．甲乙丙丁四个小朋友玩报数游戏，规定，甲报1乙报2丙报3丁报4甲报5乙报6丙报7……，问报2023的那个人是谁？

14．我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号，已知2023年是猴年，2104年是什么年？

15．课外活动时，甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈依次报数．甲报“1”，乙报“2”，丙报“3”，丁报“4”，这样每人报的数总比前一个人多1．问“34”是谁报的？“71”是谁报的？

16．桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共19枚硬币．问：最后一个是多少钱的？第十四个是多少钱的？

17．小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列．

⑴第73颗是什么颜色的？

⑵第10颗黄珠子是从头起第几颗？

⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有几颗珠子？

18．小和尚在地上写了一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3…

你知道他写的第81个数是多少吗？你能求出这81个数相加的和是多少吗？

19．节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯．那么第73盏灯是什么颜色的灯？

20．在一条长100米的甬路两侧，从头到尾每隔2米栽一棵树，按2棵杨树，1棵柳树的规律栽，杨树，柳树各占植树总棵树的几分之几？

21．有A、B、C、D四条直线（如图），从直线A开始，按直线方向从1开始依次在A、B、C、D上写自然数1，2，3，…

（1）106在哪条直线上？

（2）直线B上第56个数是多少？

22．某商场楼前安装了一串彩灯，按照2黄、3红、1绿的顺序排列。第100盏彩灯是什么颜色的？这100盏彩灯里共有多少盏红灯？

23．1999名学生从前往后排成一列，按下面的规则报数：如果某个同学报的数是一位数，后面的同学就要报出这个数与9的和；如果某个同学报的数是两位数，后面的同学就要报出这个数的个位数与6的和．现在让第一个同学报l，那么最后一个同学报的数是多少

24．数列9，8，6，2……从第2个数起，每个数都是它前面一个数的两倍的个位数字，请问，第99个数是多少？

25．在一根绳子上依次穿2个红珠、2个白珠、5个黑珠，并按此方式反复，如果从头开始数，直到第50颗，那么其中白珠有多少颗？

26．有同样大小的红、白黑珠共180个，按5个红的、4个白的、3个黑的排列着，问：第158个珠是什么颜色的？黑珠共有多少个？

27．长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红色点，同时自右向左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点将木棍逐级锯开，那么长度是4厘米的短木棍有多少根？

28．已知某月中，星期二的天数比星期三的天数多，而星期一的天数比星期日的天数多，那么这个月的5号是星期几？

29．43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同．每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片．画片只有两种，3分一张和5分一张，每个人都尽量多买5分一张的画片．问他们所买的3分画片的总数是多少张？

30．流水线上给小木球涂色的次序是：先5个红、再4个黄、再3个绿、在2个黑、再1个白，然后又依次是5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此继续涂下去，到第2023个小球该涂什么颜色？

31．小区里的李奶奶腿脚不方便，方方、圆圆、长长三名同学做好事，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶．方方第一次取奶是星期一，那么，他第100次取奶是星期几？

1．8号

【详解】将8名队员看作一组，每组报8个数，72个数可以分成几组：组，没有余数，球正好在一组的最后一位队员手中，因此球应该在8号队员手上．

2．F

【分析】通过题目可以看出一个周期有多少个数组成，然后150天，判断里面有多少个周期，再看余几，就能知道第150天住在哪个房间。

【详解】从A到G再到B是一个周期，周期为12，

150÷12＝12（组）……6（个）。

答：第150天白雪公主在F房做客。

【分析】本题主要考查隐藏的周期问题，先找周期。

3．甲5乙13．

【详解】试题分析：本题中两人的糖数和为18，是偶数，那么两人每步手中的糖数有两种情况：全为偶、全为奇，据此列表分析解答即可．

解：

周期为6，2023÷6=334…1，说明2023次操作和一次操作的作用效果是相同的，

那么有两种情况：甲14乙4或甲5乙13，结合题中条件甲比乙少，可知甲5乙13．

分析：解答此题的关键是弄清操作周期，类似于周期性问题．

4．5次

【详解】甲第30次义诊是在总次数的第4×29+1=117（次），117÷7=16……5，从周三往前数5天，由周期性知甲第一次义诊时间是在星期六，甲前7次义诊分别是星期六、三、日、四、一、五、二.丙在周日义诊是甲周五义诊之后的两天，所以那是丙第6次去义诊.由于丁在丙后一天义诊，所以他已经去过5次.

5．星期三

【详解】一个星期有7天，7是奇数(单数)，所以任意两个相继星期天的日数奇偶性不同．于是在每个月从l日到28日这28天中，有个星期天，且其中有两个星期天的日期是偶数，从而题中第3个日期为偶数的星期天必为30日．由此可以推知，这个月的第1个星期天是日，那么，5日为星期三．

所以这个月的5日是星期三．

6．第8个

【详解】第一次1～2报数，报2的是第2，4，6，8，10，12这几个同学，这些同学再1～2报数，报2的是第4，8，12这三名同学，最后这三名同学再1～2报数，就只剩下第8个同学是报2，所以最先玩的这个同学是这列中的第8个．

7．A

【详解】当木块沿着同一个方向滚动时，每滚动四格，会回到原来的状态．所以当木块向左滚动四格后，即在第五格的时候，状态与第一格一样．同理，当木块从第五格滚第九格时，最终状态也未改变．从而第1格、第5格、第9格、第13格、第17格、第21格的状态是一样的．因此，当木块滚到第21格时，木块向上的面是字母A．

8．余数是3，商的末位数字是8

【分析】我们可以用列表的方法寻求周期．

被除数中“1”的个数1234567…

除以6后余数的末位数字1531531…

除以6后商的末位数字0185185…

【详解】通过表格我们可以发现，余数出现的周期为3（1，5，3）；第1个“1”上相对应的商为“0”，从第二个“1”开始，商的末位数字的周期为3（1，8，5）

因为，所以这个数除以6后余数是3；

因为…2，所以这个数除以6后商的末位数字是8．

9．1500

【分析】这一列数是按照3，5，1，9，7这样重复循环排列的，周期是5，按照周期问题求解，先确定周期数，再用每个周期的数之和乘周期数，加上多出来的数即可。

【详解】

答：第1至300个数加起来是1500。

【分析】本题考查的是周期问题，求解周期问题，最关键的是确定周期是多少。

10．黑色51个

【详解】从图中可以看出，按照6个为一个周期，因为…4，所以第100个三角形应该是这一个周期当中的第四个，应该是黑色的．每个周期里有3个白色的，一共有16个周期就有48个白色三角形，余下的4个三角形中还有3个白色的，所以一共有个．

11．2

【详解】找规律,每个数除以3的余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2,可以看出循环节长度是8,第2023个就是第3个,余数是2

12．7号

【详解】245÷8=30（圈）……5（格）

从3起顺时针前进5格到8号格，又倒退1格，就是7号格．

13．丁

【详解】略

14．鼠年

【详解】（2104-2023）÷12=8……4

所以2104年是鼠年。

答：2104年是鼠年。

15．“34”是乙报的，“71”是丙报的

【详解】根据题意，甲从“1”开始报数，一共报了34次．因为是4个人在报数，所以报4次就要重复一遍，也就是说是以4为一个周期重复的．34里面有8个周期还余2次，所以“34”应是重复8遍以后第二个人报的，即乙报的．…3，所以“71”应是第三个人报的，即丙报的．

16．一角五角

【详解】…1

…2

所以,第19枚硬币是一角的,第14枚硬币是五角的．

17．（1）蓝色（2）第47颗（3）14颗

【分析】⑴这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的顺序排列，每一组有5颗．

⑵第10颗黄珠子前面有完整的9组，一共有(颗)珠子．第10颗黄珠子是第l0组的第2颗，所以它是从头数的第47颗．

⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间一共有14颗珠子．第8颗红珠子与第11颗红珠子之间有完整的两组(第9、10组)，共l0颗珠子，第8颗红珠子后面还有4颗珠子，所以是14颗．

【详解】⑴(组)……3(颗)，第73颗是第15组的第3颗，所以是蓝色的．

⑵(颗)

⑶(颗)

18．7279

【详解】⑴从排列上可以看出这组数按7，0，2，5，3依次重复排列，那么每个周期就有5个数．81个数则是16个周期还多1个，第1个数是7，所以第81个数是7，…1

⑵每个周期各个数之和是：．再用每个周期各数之和乘以周期次数再加上余下的各数，即可得到答案．，所以，这81个数相加的和是279．

19．白灯

【详解】从第一盏白灯开始，每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯，不难看出白灯的编号依次是：1，5，9，13，……，这些编号被4除所得的余数都是1．，即73被4除的余数是1，因此第73盏灯是白灯．

20．解：100÷2+1=51（棵）

51÷3=17（个周期）

柳树：17×1×2=34（棵）

杨树：17×2×2=68（棵）

34+68=102（棵）

34÷102=

68÷102=

答：柳树占植树总数的，杨树占植树总数的．

【详解】周期性问题

先考虑在公路一侧栽树的情况，两端都要栽，栽树的棵数=间隔数+1；再把3棵树看作一个周期，求出一侧植树的总棵数包含几个周期，进而分别求得两种树的棵数，再乘2求得两侧栽的棵数，最后分别用柳树、杨树的棵数除以植树总数即可．

21．（1）B直线（2）222

【详解】（1）106÷4=26……2，所以106在B直线上

（2）2+（56-1）×4

=2+55×4

=2+220

=222

答：直线B上第56个数是222。

22．红色；50盏

【分析】观察题干，这组彩灯按照的排列特点是6个气球一个循环周期，分别按照颜色2黄、3红、1绿的顺序排列，计算出第几个周期的第几个即可。再计算出100盏彩灯共有几个这样的周期，余下几盏红灯，每个周期有3盏红灯，相加即可。

【详解】因为100÷（2＋3＋1）

＝100÷6

＝16（组）4（盏）

3×16＋2

＝48＋2

＝50（盏）

答：第100盏彩灯是红颜色的，这100盏彩灯里共有50盏红灯。

【分析】根据题意得出这组彩灯的排列周期特点是解决本题的关键。

23．17

【详解】我们先写出几项，有1，10，6，17，13，9，18，14，10，6，17，…

不难看出从第2个数开始，每7个数存在10，6，17，13，9，18，14这样的循环．

而(1999－1)÷7＝285……3，所以最后一个同学报的是第285组数的第3个数，即17．

24．6

【分析】根据题目的含义依次写出后面的数，写几个数的时候，属于有头周期问题，后面的数按照周期排列的。把第一个数拿走变成98个数，然后根据周期问题判断这些数里有多少个周期，还余几。

【详解】9，8，6，2，4，8，6，2，4……周期为4，有头周期，头是9，

99－1＝98（个），98÷4＝24（组）……2（个）。

答：第99个数是6。

【分析】本题主要考查隐藏的周期问题，先找周期。

25．12个

【详解】…5．

（个）．

26．红色45个

【详解】5+4+3＝12（个）

158÷12＝13……2

180÷12＝15

15×3=45（个）

答：第158个珠是红色的；黑珠共有45个。

27．根

【分析】根据题意，画出涂色示意图如下；由于100是5的倍数，所以自右向左每隔5厘米染一个红点相当于自左向右每隔5厘米染一个红点。而每隔30厘米可得到2个4厘米的短木棍。最后（100－30×3）厘米也可以得