数学人教A版选修2-2课堂探究1.1变化率与导数（第2课时）

课堂探究探究一求曲线上一点处的切线方程求曲线y＝f(x)在点P处的切线方程的步骤：(1)求出P点的坐标(x0，f(x0))；(2)求出函数在x0处的变化率f′(x0)，从而得到曲线在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；(3)利用点斜式写出切线方程．【典型例题1】已知曲线y＝eq\f(1,3)x3上一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3)))，(1)求点P处切线的斜率；(2)写出点P处的切线方程．思路分析：本题考查导数的几何意义．根据导数的几何意义知，函数f(x)在点x＝x0处的导数就是曲线在该点处切线的斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线的方程．解：(1)∵y＝eq\f(1,3)x3，∴y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,3)(x＋Δx)3－\f(1,3)x3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x2Δx＋x(Δx)2＋\f(1,3)(Δx)3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x2＋xΔx＋\f(1,3)(Δx)2))＝x2，∴y′|x＝2＝22＝4.∴点P处切线的斜率为4.(2)∵由(1)知点P处切线的斜率为4，且点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3)))，∴在点P处的切线方程是y－eq\f(8,3)＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.探究二求切点的坐标1．求切点坐标的一般思路(1)先设切点坐标(x0，y0)．(2)求导函数f′(x)．(3)求切线的斜率f′(x0)．(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.(5)由于点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．2．切点问题的处理方法(1)由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的导数，进而求出点的横坐标．(2)解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，两直线平行或垂直与斜率的关系等．【典型例题2】(1)曲线f(x)＝－eq\f(1,x2)在点P处的切线方程为2x＋y＋3＝0，则点P的坐标为__________．(2)曲线f(x)＝2x2－x在点P处的切线与直线x＋y－1＝0垂直，则点P的坐标为__________．思路分析：设出切点的坐标，求出切线斜率，由斜率间的关系及曲线方程求得切点坐标．解析：(1)设切点P为(x0，y0)，则k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－\f(1,(x0＋Δx)2)＋\f(1,x02),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(－x02＋(x0＋Δx)2,x02(x0＋Δx)2),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2x0＋Δx,x02(x0＋Δx)2)＝eq\f(2,x03).∵切线方程为2x＋y＋3＝0，∴切线斜率为－2.∴eq\f(2,x03)＝－2.∴x0＝－1.∴f(x0)＝f(－1)＝－1.∴切点P为(－1，－1)．(2)设切点P为(x0，y0)，则k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2(x0＋Δx)2－(x0＋Δx)－(2x02－x0),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(4x0Δx＋2Δx2－Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(4x0＋2Δx－1)＝4x0－1.∵在点P处的切线与x＋y－1＝0垂直，∴4x0－1＝1.∴x0＝eq\f(1,2).∴f(x0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2－eq\f(1,2)＝0.∴切点P为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).答案：(1)(－1，－1)(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))探究三导数几何意义的综合应用导数几何意义的综合应用，主要是根据函数y＝f(x)在x＝x0处的导数即曲线f(x)在点x0处的切线的斜率去求切点坐标及切线方程，再利用题中所提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围以及直线间的位置关系求解相关问题．【典型例题3】求曲线f(x)＝x2＋1和g(x)＝x3＋x在其交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．解：由f(x)＝g(x)，得x3－x2＋x－1＝0，即(x－1)(x2＋1)＝0，∴x＝1.∴交点为(1,2)．∵f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(1＋Δx)－f(1),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f((1＋Δx)2＋1－(12＋1),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2＋Δx)＝2，∴曲线f(x)在(1,2)点处的切线l1的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.令y＝0，得x＝0，即切线与x轴交于(0,0)．又∵g′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(g(1＋Δx)－g(1),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f((1＋Δx)3＋(1＋Δx)－(13＋1),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(4Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(4＋3Δx＋(Δx)2)＝4，∴曲线g(x)在(1,2)点处的切线l2的方程为y－2＝4(x－1)，即y＝4x－2.令y＝0，得x＝eq\f(1,2)，即切线与x轴交于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，∴两条切线与x轴围成的三角形面积为S＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×2＝eq\f(1,2).探究四易错辨析易错点：对导数的几何意义理解不够而导致出错【典型例题4】求过曲线y＝f(x)＝x3上的点(1,1)的切线方程．错解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f((Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx,Δx)＝(Δx)2＋3Δx＋3.∴eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[(Δx)2＋3Δx＋3]＝3，即f′(1)＝3.所以所求切线的方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.错因分析：求切线方程时，一定要注意是求过某一点的切线方程还是求在某点处的切线方程．前者可能会有多个结果，而后者通常只有一个结果．例如，如图所示的图象，l1，l2，l3都是过点P的切线，其中l3是在点P处的切线．过曲线上一点的切线和在某一点处的切线是两个不同的概念．正解：设切线与曲线y＝f(x)切于点(x0，x03)，则eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝eq\f((Δx)3＋3(Δx)2·x0＋3Δx·x02,Δx)＝(Δx)2＋3x0Δx＋3x02.∴eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝3x02，即f′(x0)＝3x02.故切线方程为y－x03＝3x02(x－x0)．而该切线经过点(1,1)，所以1－x03＝3x02(1－x0)，解得x0＝1或x0＝－eq\f(1,2).所以切线方程为y－1＝3(x－1)或y＋eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1