高考数学数列专题教师

专题二数列【命题趋势】数列是新课程的必修内容，从课程定位上说，其考查难度不应该太大，数列试题倾向考查基础是基本方向．数列试题会以考查基本问题为主，在数列的解答题中可能会出现与不等式的综合、与函数导数的综合等，但难度会得到控制．【备考建议】1.数列是一种特殊的函数,学习时要善于利用函数的思想来解决。如通项公式、前n项和公式等2.运用方程的思想解等差(比)数列,是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量、d(或q),掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过“设而不求,整体代入”来简化运算。3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面,如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等。4.等价转化是数学复习中常常运用的,数列也不例外。如与的转化;将一些数列转化成等差(比)数列来解决等.复习时,要及时总结归纳。5.深刻理解等差(比)数列的定义,能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键。6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法,养成良好的学习习惯,定能达到事半功倍的效果。7.数列应用题将是命题的热点,这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用。建议：“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果【高考目标定位】一、《递推数列》经典题型全面解析类型1解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，类型2解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，例:已知，，求。。类型3（其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.变式:递推式：。解法：只需构造数列，消去带来的差异．类型4（其中p，q均为常数，）。（,其中p，q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例:已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以类型5递推公式为（其中p，q均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。解法一（待定系数——迭加法）:数列：，，求数列的通项公式。由，得，且。则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入，得，，，。把以上各式相加，得。。解法二（特征根法）：数列：，的特征方程是：。,。又由，于是故例:已知数列中，,,，求。解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以。类型6递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用与消去或与消去进行求解。例：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.解：（1）由得：于是所以.（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以类型7解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例:设数列：，求.解：设，将代入递推式，得…（１）则,又，故代入（１）得说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由,（）两式相减得转化为求之.二、数列求和1、考纲点击（1）熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式；（2）掌握非等差数列、等比数列求和的几种常见方法。2、热点提示（1）以考查等差数列、等比数列的求和公式为主，同时考查转化的思想；（2）对非等差数列、等比数列的求和，主要考查学生的观察能力、分析问题与解决问题的能力以及计算能力；（3）数列求和常与函数、方程、不等式等诸多知识联系在一起，以它复杂多变、综合性强、解法灵活等特征而成为高考的中档题或压轴题。【考纲知识梳理】数列求和数列求和的常用方法1、公式法（1）直接利用等差数列、等比数列的前n项公式求和；（2）一些常见的数列的前n项和：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3)；eq\o\ac(○,4)；eq\o\ac(○,5)。2、倒序相加法如果一个数列，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的。3、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的；4、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；注：用裂项相消法求数列前n项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。5、分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减；6、并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。形如类型，可采用两项合并求解。一、数列求和（一）分组转化求和※相关链接※1、数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之；2、常见类型及方法（1）利用等差数列前n项和公式直接求解；（2）利用等比数列前n项和公式直接求解；（3），数列是等比数列或等差数列，采用分组求和法求的前n项和。注：应用等比数列前n项和公式时，要注意公比q的取值。※例题解析※〖例〗已知数列的前n项是3+2-1，6+4-1，9+8-1，12+16-1，……，写出数列的通项并求其前n项和思路解析：先求通项转化为几个易求和数列形式分别求和得结论解答：由已知得，数列的通项公式为，∴=（二）错位相减法求和※相关链接※1、一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法；2、用乘公比错位相减法求和时，应注意（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出的-的表达式。注：利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和，若公比是个参数（字母），则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和。（三）裂项相消求和※相关链接※1、利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等；2、一般情况如下，若是等差数列，则，，此外根式在分母上可考虑利用有理化因式相消求和。3、常见的拆项公式有：※例题解析※〖例〗已知数列的通项公式为，设其前n项和为，，的前n项和为，（1）求；（2）求思路解析：利用对数运算法则可求，通过变形运算利用裂项相消法可求。解答：（1）方法一：∵∴方法二：（2）（四）数列求和的综合应用〖例〗设数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和；（3）若思路解析：（1）通过已知条件递推变形，构造等比数列或用迭代法求解；（2）利用错位相减法求；（3）利用反证法证明。（2）（3）由（1）知。若，则。∵，∴。由对任意成立，知c>0.下证c≤1.用反证法。方法一：假设c>1.由函数f(x)=的函数图象知，当n趋于无穷大时，趋于无穷大。∴不能对恒成立，导致矛盾。∴c≤1,∴o<c≤1.注：数列综合问题、数列通项、数列求和从近几年高考看考查力度非常大，常以解答题形式出现，同时数列与三角函数、解析几何以及不等式证明问题相结合更是高考考查的重点。本例既考查了数列通项，又考查了数列求和，同时也考查了不等式的证明，解题时注意分类讨论思想的应用。【方法攻略】1.等差、等比数列的性质要类比理解、记忆.巧用等差、等比数列的性质，可达到减少运算量、提高解题速度和正确率的目的.对等差、等比的综合题型，在解题思路方法上，注意充分应用题中涉及的概念、通项公式、前n项和公式及有关性质，布列等式、消元、解方程.注意联系与变换视角观察分析.2.等差数列和等比数列的综合应用主要包括以下几个方面:(1)通项公式及前n项和公式的正用、逆用及综合运用;(2)等差、等比数列性质的综合应用,所以应熟练掌握等差、等比数列的性质;(3)数列问题与函数、三角、不等式以及解析几何均可进行综合,在这些知识交汇点处,要给予足够的重视.3.学会运用化归思想,将非等差数列和非等比数列转化为等差数列和等比数列的问题加以处理的方法,对新颖的信息、情境和设问,能选择有效的方法和手段收集信息,综合与灵活地运用所学的数学知识、思想方法,进行独立思考、探索和研究,达到解决问题这一目的.理解以社会问题立意的数列应用题,能准确理解问题的实际意义,将实际问题转化为数列问题,并用数列知识加以解决.三、考点剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质例1.（2022年高考（湖北文））已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.(1) 求等差数列的通项公式;(2)若成等比数列,求数列的前项和.点评：本题考查了数列的前n项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意n＝１时情况，在解题时经常会忘记。第二问要分情况讨论，体现了分类讨论的数学思想．考点二：求数列的通项与求和例2.设数列的前项和为已知（1）求数列的通项公式。（2）求【名师点睛】：一般地，含有的递推关系式，一般利用化“和”为“项”。例3：在数列{}中，，并且对任意都有成立，令．（Ⅰ）求数列{}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．【名师点睛】：裂项相消法：主要用于通项为分式的形式，通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项，注意一般情况下剩下正负项个数相同.考点三：数列与不等式的联系例5.（２００９届高三湖南益阳）已知等比数列的首项为，公比满足。又已知，，成等差数列。（1）求数列的通项（2）令，求证：对于任意，都有（1）解：∵∴∴∵∴∴（2）证明：∵，∴点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（２）问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由n的范围证出不等式。例６、(2022辽宁理)在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：．解：（Ⅰ）由条件得由此可得．猜测．用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，．所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知对一切正整数都成立．（Ⅱ）．n≥2时，由（Ⅰ）知．故综上，原不等式成立．点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．考点四：数列与函数、概率等的联系例题８..(2022福建理)已知函数.（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f′(x)的图象上；（Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.(Ⅰ)证明：因为所以′(x)=x2+2x,由点在函数y=f′(x)的图象上,又所以所以,又因为′(n)=n2+2n,所以,故点也在函数y=f′(x)的图象上.(Ⅱ)解:,由得.当x变化时,﹑的变化情况如下表:x(-∞,-2)-2(-2,0)0(0,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗注意到,从而①当,此时无极小值；②当的极小值为,此时无极大值；③当既无极大值又无极小值.点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.例8：设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列.(Ⅰ)证明：为等比数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【名师点睛】：一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，主要用错位相减法求数列的和.8．（2022年高考（湖南文））某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.(Ⅰ)用d表示a1,a2,并写出与an的关系式;(Ⅱ)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).9例９、（２００７江西理）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

解：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为，选B点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复。考点五：数列与程序框图的联系例１０、（２００９广州天河区模拟）根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为；（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列{yn}；的一个通项公式yn，并证明你的结论;（Ⅲ）求．解：（Ⅰ）由框图，知数列∴（Ⅱ）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80.由此，猜想证明：由框图，知数列{yn}中，yn+1=3yn+2∴∴∴数列{yn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列。∴+1=3·3n－1=3n∴=3n－1（）（Ⅲ）zn==1×（3－1）+3×（32－1）+…+（2n－1）（3n－1）=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n－[1+3+…+（2n－1）]记Sn=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n，①则3Sn=1×32+3×33+…+（2n－1）×3n+1②①－②，得－2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n－（2n－1）·3n+1=2（3+32+…+3n）－3－（2n－1）·3n+1=2×=∴又1+3+…+（2n－1）=n2∴.考点六：累加（乘）法及其它方法：归纳、猜想、证明；周期数列的求和等等例3（1）求之和.（2）已知各项均为正数的数列{an}的前n项的乘积等于Tn=(n∈N*)，，则数列{bn}的前n项和Sn中最大的一项是A．S6B．S5C．S4D．S3解：（1）由于（找通项及特征）∴＝（分组求和）＝＝＝（2）D．点评：程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，因为程序框图中循环，与数列的各项一一对应，所以，这方面的内容是命题的新方向，应引起重视。四、方法总结与2022年高考预测（一）方法总结1.求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项。2.数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。3.数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。（二）2022年高考预测1.数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系.关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对“递推公式”的考查。2.探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.3.等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。4.求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.5.将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.6.有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。今后在这方面还会体现的更突出。７、数列与程序框图的综合题应引起高度重视。五、复习建议在进行数列二轮复习时，建议可以具体从以下几个方面着手:1．运用基本量思想(方程思想)解决有关问题；2．注意等差、等比数列的性质的灵活运用；3．注意等差、等比数列的前n项和的特征在解题中的应用；4．注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式；5．根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳；6．掌握数列通项an与前n项和Sn之间的关系；7．根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；8．掌握一些数列求和的方法(1)分解成特殊数列的和(2)裂项求和(3)“错位相减”法求和9．以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用．专题二 数列专题训练1.【2022高考大纲】等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.（I）求的通项公式；（II）设，求数列的前n项和.2.(2022新课标理)（本小题满分12分）设数列满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和．3.【2022高考江西】已知首项都是1的两个数列（），满足.（1）令，求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和所以考点：等差数列定义，错位相减求和4.(2022全国II理)设数列满足且.（=1\*ROMANI）求的通项公式；（=2\*ROMANII）设，记，证明：.5.(2022上海理)已知数列的前项和为，且，。（1）证明：是等比数列；（2）求数列的通项公式，并指出为何值时，取得最小值，并说明理由．6.(2022江西理)已知数列的前项和，且的最大值为8.（1）确定常数，求；（2）求数列的前项和.7.(2022湖北理)已知等比数列满足：，（1）求数列的通项公式；（=2\*ROMANII）是否存在正整数使得?若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.8.(2022广东理)设数列的前项和为，满足，，且成等差数列.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有.9.