2023届高考数学一轮复习讲义：第29讲解三角形应用举例及综合问题

第29讲解三角形应用举例及综合问题在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).3.方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.➢考点1解三角形应用举例[名师点睛]1.距离问题的类型及解法(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，.从而利用正、余弦定理求解.2.高度问题的类型及解法（1）在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.（2）准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.（3）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.3.角度问题的类型及解法（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.（2）方向角是相对某于点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.[典例]1.（湖北华中师大一附中模拟预测）为了测量一个不规则公园C,D两点之间的距离，2022··A,B两点，点B在点A的正东方向上，且A,B,C,D四点如图，在东西方向上选取相距1km的在同一水平面上．从点A处观测得点C在它的东北方向上，点D在它的西北方向上；从点B处观测得点C在它的北偏东15方向上，点D在它的北偏西75方向上，则为______km.CD,之间的距离)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法A，B，C三点，且A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(3≈1.732)(峰最新高程为8848.86(单位：之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C在同一水平面上的投影＝60°.由C点测得B点的得A点的仰角为45°，则A，C两点)A.346B.373C.446D.4733．（2022·全国.一人在公路上向东行走，在点处测得楼顶的A仰角为30°，再行走80米到点[举一反三]1．（2022·山东师范大学附中学著作，其中第一题是测量·高三专题练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上仰角为45°，行走80米到点B处，测得得仰角为.则______________.tanC处，测模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点、、在水平线AC上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记EHGDEFGAB=dGCEH、分别记为a,b，则该山体的高（）问的距离，记为，为，为测量标杆EGhhdhdhdhddabhabhdA．B．C．D．abab2．（2022·江苏南通·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（）103m3A．20mB．10mC．103mD．3．（辽宁沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的·“秀”字，故称”．湖畔有秀湖阁景点，如图．若为测量隔湖相望的、两地之间的距离，某同学任意选定了与、不共AABB线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：CABC、AC、BC；A、AC、BC；CA其中一定能唯一确定、两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．AB4．（辽宁大连市一三中学模拟预测）如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，·0小岛B位于小岛A北偏东75距离30330海里处有一60海里处，小岛B北偏东15距离个小岛C.(1)求小岛A到小岛C的距离；(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向.5．（2022·广东·高三开学考试）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选30，BDC135CD50，米，在点C取与塔底B在同一BCD水平面内的两个测量基点与D．现测得CA➢考点2求解平面几何问题[名师点睛]平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.[典例]1.(2021·新高考八省联考)在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1.(1)若AB＝，求23BC；(2)若AB＝2BC，求cos∠BDC.A，B，C的对边分别为a，b，c，角·AAD2ABACDBDC；，2(2)若AD1，，求DBDC的最小值.A3[举一反三]1．（山东济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在中，M为BC上一点，2022··ABCπB0,且sinB15．AB2ACBC，28AC，求的值；AMAMBM(1)若(2)若AM为BAC的平分线，且1，求AC△ACM的面积．2．（福建省福州第一中学三模）已知的内角A、B、所对的边分别为a、b、ABCC2022·ABcsinB.c，2bsin(1)求角；C(2)若边上的高线长为23，求ABC面积的最小值.ABcosBb3．（山东师范大学附中模拟预测）在①2bsinC3ccosBcsinB2022·，②两cosC2ac个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在中，内角、B、C所对ABCA的边分别是a、、c，且________.b(1)求角；B(2)若ac3，点D是AC的中的取值范围.点，求线段BD➢考点3三角函数与解三角形的交汇问题[名师点睛]解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：（1）利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；（2）解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.[典例]中学模拟预测）已知函数f(x)3sinxcosxsin2x12，其中（浙江省新昌2022·20时，xx的最小值为2．，若实数x,x满足fxfx121212(1)求的值及f(x)的对称中心；(2)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f(A)1,a3，求ABC周长的取值范围．sin(x)xR,A0,0,0的fxA·2部分图像如图所示．(1)求f(x)的解析式；f3，求ABC周长的A(2)在锐角中，若边，且最大值．ABC1BC2121x0)，其图像上相(23sinxcosxcos22.（山东淄博fx三模）已知函数()·邻的最高点和最低点间的距离为4π2．4(1)求函数f(x)的解析式；ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，a4，bc12，f(A)1．若角A的平分线(2)记AD交BC于D，求AD的长第29讲解三角形应用举例及综合问题在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视➢考点1解三角形应用举例[名师点睛]1.距离问题的类型及解法(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.2.高度问题的类型及解法（1）在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.（2）准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.（3）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.3.角度问题的类型及解法（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.（2）方向角是相对某于点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.[典例]1.（湖北华中师大一附中模拟预测）为了测量一个不规则公园,两点之间的距离，2022··CDA,B两点，点在点A,B,C,D四点如图，在东西方向上选取相距的1kmA的正东方向上，且B在同一水平面上．从点处观测得点在它的东北方向上，点D在它的西北方向上；从点ACB处观测得点在它的北偏东C15方向上，点D在它的北偏西75方向上，则之间的距离,CD为______km.【答案】2【分析】由题意确定相应的各角的度数，在中，由正弦定理求得BC,同理再求出，DBABC解△DBC，求得答案.【详解】由题意可知，CAB904545,DAB9045135,CBA9015105,CDB157590,DBA15,故在中，ABCACB1804510530，1sin452，，BC故△ABD在中，ADB1801513530，，BD1sin1352，BC故ABsinCABsinACBsin30DBC所以在△中，CBD90，则CDBC2DB2222,故答案为：22.(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法A，B，C三点，且A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为峰最新高程为8848.86(单位：之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C在同一水平面上的投影＝60°.由C点测得(3≈1.732)()A.346B.373C.446D.473答案B解析如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作100BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝.tan15°在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝180°－∠A′C′B′－∠A′B′C′＝75°，C′B′·sin45°，又在B点处测得A点的仰角为45°，所以则BD＝A′B′＝sin75°C′B′·sin45°AD＝BD＝，sin75°所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE1002·sin45°100×2C′B′·sin45°sin75°tan15°100sin45°sin15°＝＋100＝＋100＝＋100＝＋100＝100(3sin75°231×－222＋1)＋100≈373.3．（2022·全国·高三专题练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B处，测得AC处，测得仰角为仰角为30°，再行走80米到点.则______________.tan377【答案】77【解析】首先得到60,OB603，然后由OA余弦定理得：2O，易得：60,OB603.OA由余弦定理得：2AB2OB22ABOBcosABOOA，OC2BC2OB22BCOBcosOBC，OC230800，OA2两式相加得：OC22AB2OB2则OC2077，60377.77故tan2077377故答案为：77[举一反三]1．（山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数2022·学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E、H、G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记AB=记为，、分别记为ab,，则该山体的高（）dGCEH标杆问的距离，为，为测量hEGhdhdhdhdhhB．A．C．D．dabdababab【答案】A【分析】根据所给数，据利用解直角三角形先求出，即可得解.BM，RtBMD因为在△|BM||BM|bha所以|MD|tanBDMh|BM|ah；又因为在中tanBFM△，RtBMF|BM||MF||MD||BM|a|BM|bd，hh所以|MF|tanBFM，所以hdhdh，ab所以|BM|，即AB|BM|hab故选：A．2．（2022·江苏南通·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（）1033A．20m【答案】【分析】根据条件确定相关各角的度数，表示出AB中用余弦定理即可解得答案.B．10mC．103mD．mBAD,AC等边的长，度，然后在△ACD【详解】如图示，AB表示旗杆，由题意可知：ACB45,ACD60,ADB30，所以设ABx，则AD3x,ACx，在△ACD中，2AC2CD22ACCDcosACDAD,x201即(3x)2(x)2(20)22x，解得x10，（20舍去），2故选：B.3．（辽宁沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的2022··B两个标志性一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁A和临秀亭景点，如图．若为测量隔湖相望的、两地之间的距离，某同学任意选定了与、不共AABB线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：CABC①测量、AC、BC；A②测量、、BC；AB③测量、AC、BC；C④测量、C、．BA其中一定能唯一确定、两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．AB【答案】②③【分析】利用正弦定理可判断①②，利用余弦定理可判断③，根据已知条件可判断④不满足条件.sinBACsinABC，则AC理可得【详解】于对①，由正弦定，sinBsinABCACsinAsinAAB若ACBC且A为锐角，则sinB，此时B有两解，则C也有两解，此时AB也有两解；BC由正弦定AB可知AB于对②，若已知A、，C则确定，理唯一确定；BsinAsinC于对③，若已知C、、，ACBC由余弦定理可得ABAC2BC22ACBCcosC，则AB唯一确定；于对④，若已知A故答案为：②③.不确定.AB、、，C则B4．（辽宁·大连市一0三中学模拟预测）如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，2022·60海里处，小岛北偏东小岛位于小岛北偏东75距离15距离30330海里处有一BAB个小岛C.(1)求小岛(2)如果有解：(1)在A到小岛C的距离A出发到小岛ABC中，AB60，BC30330；游客想直接从小岛C，求游船航行的方向.ABC1807515120，根据余弦定理得：.AC2AB2BC22ABBCcosABC602(30330)2260(30330)cos1205400AC306.所以小岛A到小岛C的最短距离是306海里.ACABsinABCsinACB(2)根据正弦定理得：30660sinACB2解得sinACBsin1202在ABC中，BCAC,ACB为锐角ACB45CAB1801204515.由751560得游船应该沿北偏东60的方向航行答:小岛A到小岛C的最短距离是306海里;游船应该沿北偏东60的方向航行.5．（2022·广东高三开学考试）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一·ABBCD30，BDC135CD50，米，在点C水平面内的两个测量基点与D．现测得C测得塔顶A的仰角为45°，求塔高AB．△62，∵sinCBDsin15sin4530sin45cos30cos45sin304.CDsinBDC50sin1355031BCBC由正弦定理CDsinBDCsinCBD得sinCBD624∴5031．Rt△ABC在中ACB45．ABBC5031所以塔高为米．AB➢考点2求解平面几何问题[名师点睛]平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.[典例]1.(2021·新高考八省联考)在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1.(1)若AB＝，求23BC；(2)若AB＝2BC，求cos∠BDC.解(1)如图所示，在△ABD中，由余弦定理可知，23＋＋BD－AD222cos∠ABD＝＝2AB·BD1－1223AB2＝.2×23×14∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝43.在△BCD中，由余弦定理可得，BC2＝BD＋CD－2BD·CDcos∠BDC＝1222＋12－2×1×1×34，∴BC＝22.(2)设BC＝x，则AB＝2BC＝2x.由余弦定理可知，＋BD－AD（2x）＋1－1AB2222＝2×2x×122cos∠ABD＝＝x，①2AB·BDCD2＋BDcos∠BDC＝2CD·BD2－BC212＋12－x222－x2＝＝.②2×1×1∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD，2－x2即cos∠BDC＝cos∠ABD.联立①②，可得2＝x，整理得x2＋2x－2＝0，解得x1＝3－1，x＝－3－1(舍去).将x＝3－1代入②，解得cos∠BDC＝3－1.212.（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC边于点D.(1)证明：ABDBACDC，AD2ABACDBDC；，求DBDC的最小值.1，A2(2)若AD3解：(1)在△ABD和△BCDCAD，ADBADC，中，可得BAD所以sinBADsinCAD，sinADBsinADC，ABBDACDCsinCAD，ACsinADBsinBAD由正弦定理，得，sinADC两式相除得ABDB，可得BDACDCABBC，DCBC，ABACABACAD2AB又由cosABDcosABC，根据余弦定理得AB2BD2BCAC222ABBC22ABBD所以AD2AB2BD2BDAB2BCBCACAC2BDBCBDDCBC2BDABBC22ACAB代入可得AD2ABACAB2ABACAC2BDDCABACBDDCABACBDDC.ABACABACABAC2(2)由AD1，A，可得bcbc及S△ABDS△ACDS△ABC34bc，解得，当且仅当2时等号成立，bc根据基本不等式得bcbc2bc又由1，ABACDBDC，可得ADAD2DBDCbc13，所以的最小值是3.DBDC[举一反三]1．（山东济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在ABC中，M为BC上一点，2022··π215．8AB2ACBCB0,且sinB，AC，求的值；AM(1)若AMBM△ACM的面积．AC(2)若AM为BAC的平分线，且1，求π0,，B所以1sin2B,cosB278158B，因为AB2AC，所以由解：（1）因为sinsinCAB2，即sinC2sinBAMC2B，AMBM，因为，所以正弦定理知sinBACACsinAMC2sinBcosB7sinAMCsin2B2sinBcosB，在AMC中，cosB8．AMsinC2sinB22x2127（2）由题意知AB2AC2，设BCx，由余弦定理得cosBBC2，解得84x3或BC．因为BAM的平分线，CAM所2ACBC，所以，因为为AMBC2BAC2112ABAMsinBAM2BMhS以（为底边BC的高）所以AB2，故BMCMAChABM11S2ACAMsinCAM2CMhACMCM1BC2，而由（sin2sinB15，所以1）知C3341ACCMsinC11222315415．12S△ACM2．（福建省福州第一中学三模）已知的内角A、B、所对的边分别为、、ab2022·ABCCABcsinB.c，2bsin(1)求角；C高线长为23，求面积的最小值(2)若边上的.ABCABABbsin(1)由已知ABCbsin，所以2CbcosC2，解：2C所以CBsincossinCsinB，2bcoscsinB，由正弦定理得2C22CC0,，则sinB0，0，cos0，因为、B2C1sin，所以，所以，则CC所以，C，则CCcossinCcos2sincos.C222222263S2311cabCsin，得2(2)由ab4c，2ABC由余弦定理a2b22abcosCa2b2ab2ababab，c2c0即4c，因为，则4，当且仅当4取等号，abcc2c此时面积的最小值为43.ABCcosBcosC2acb3．（山东师范大学附中模拟预测）在①2bsinC3ccosBcsinB2022·，②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在中，内角A、、C所对ABCB的边分别是a、、c，且________.b(1)求角B；(2)若ac3，点D是AC的中(1)选①，由2sin3ccosBcsinB及正弦定理点，求线段的取值范围.BD解：可得bC2sinBsinC3sinCcosBsinCsinB，所以，sinsinB3sinCcosB，CsinC0C0,，所以，，则因为、BsinB3cosB0，B所以，Btan3，3；sinCcosB，cosBcosC2acb可得sinBcosC2sinA选②，由及正弦定理所以，2sinAcosBsinBcosCcosBsinCsinBCsinA，cosB1B0,，sinA0，所以，2，则、AB.3(2)因为ac3，所以，03，aADDC，即BDBABCBD由已知2BDBABC，所以，，BABCBABC2BABC，所以，4BD22224BDc2a22accosc2a2acac2ac3a3a即233299,3a23a3a，44233.2所以，BD4➢考点3三角函数与解三角形的交汇问题[名师点睛]解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：（1）利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；（2）解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.[典例]中学模拟预测）已知函数f(x)3sinxcosxsin2x12，其中（浙江省新昌2022·时，xx的最小值为2．2012，若实数x,x满足fxfx1212(1)求的值及f(x)的对称中心；a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f(A)1,a3，求中，周长的ABC(2)在ABC取值范围．解：1cos2x1cosxsin2x13sin2x(1)f(x)3sinx22223sin2x1cos2xsin2x，226fxfx2时，xx的最小值等于T2，显然f(x)的最大值为1，最小值为1，则12122，则，1；2则T22kx，解得122kk,kZ,0,kZ,kZ，则f(x)的对称中心为令2x；6122，则A2(2)f(A)sin(2A)1，2A2k,kZ0,，又A3，662bc2，则bBc2sinC，2sin,2abc32sinB2sinC32sinB2sinB则周长为323sinB3cosB32sin(B)0BB，又，则3，3333则32sin(B)223,2，故周长的取值范围为3.3[举一反三]2