第04章 交通流诱导系统

4-4-#1b1b根据数学规划理论可以把上面的问题构造成等价的数学规划模型。目标函数是TOC\o"1-5"\h\zminZ(x)xat(x)dx4.1a0aa目标函数表示所有路段行程时间积分的和s.t.工frs二qVr,s4.1bkrsk方程4.1b代表路径流量与0-D流量之间的守恒关系，即各条路径流量等于总的交通需求。其中：a—各个路段k—某一条路径frsl—起终点之间1路径的流量rs—起终点frs>0Vkfrs>0Vk,r,sk式4.1c保证所有的路径流量一定是正值。x=frs§akakrsk4.1crsrsVa4.1d其中：xa—a路段上的总流量式4.1d表示路段流量与路径流量之间的关系。a路段的流量等于经过这条路段的所有路径的流量的和。方程4.1的解和用户均衡条件是等价的。下面用一个算例，更好的理解数学规划模型。考虑一个简单路网，如图4-1，两条路径连接一个起点和一个讫点行程时间的函数是3a4-63a4-64.2at=2+x4.2a11t=1+2x4.2b22O-D流量是q=5单位/小时，即x+x=512根据用户平衡条件，应有t=t，由此可以解出x=3,x=2,t=t=5121212数学规划模型是：minZ(x)=Jxi(2+x》x+Jx26+2x》x00(x+x=5S.t.<12Ix,x>012将x2=5-xi代入目标函数中并积分’变成无约束的极小问题’即minZ(x)=1.5x2—9x+3011令dZ/dx=0，解得x*=3，则x*=2，这正好就是用户平衡解。112随着交通运输领域工程师的不断研究，目前已经开发了多种动态交通分配模型，但是模型的应用及求解还在进一步的研究。我们再来回忆一下，交通分配就是为路径分配流量，原则就是用户最优原理；诱导实质上就是将车辆分配到路网中，使每个车辆的行程时间尽可能的短，也就是为车辆规划出一条最优路径，交通流诱导理论模型就是利用了交通分配模型，进行路径优化和选择。系统最优交通分配模型系统最优原则假设司机能接受统一的调度，大家的共同目的是使系统的总的阻抗最小。可以表示成如下的数学规划问题：TOC\o"1-5"\h\zminZ(x)=工xt(x)4.2aaaaa目标函数表示路网中所有路段上车辆行驶时间最小。s.t.工frs=qVr,s4.2bkrsk方程4.2b代表路径流量与0-D流量之间的守恒关系，即各条路径流量等于总的交通需求。其中：a—各个路段k—某一条路径frsl—起终点之间1路径的流量rs—起终点frs>0Vk,r,s4.2ck式4.2c保证所有的路径流量一定是正值。x二mfrs5rsVa4.2dakakrsk其中：xa—a路段上的总流量5rs—如果路段a在连接0-D对r-s的路径k上，其值为1；否则为零ak式4.2d表示路段流量与路径流量之间的关系。a路段的流量等于经过这条路段的所有路径的流量的和。通常情况下，系统最优的解不是用户最优的解。用户最优和系统最优之间的比较当路网上略去拥挤效应时，用户最优和系统最优是相等的。设t(x)=t,t是常数，则系统最优的目标函数变成：aaaaZ(x)=工xtaa4.3aa而用户最优的目标函数是Z(x)二工Jxatdx二工tX4.3b0aaaaa这时系统最优等同于用户最优。以4.3为目标函数的配流问题是易于求解的，此时所有弧上的阻抗不随流量变化，司机选择O-D对之间的最小阻抗路径，O-D对之间的流量按最小阻抗路径分配到路网上，这就是“全有全无”(all-or-nothing)配流问题。所导致的流量分布结果既是用户最优点，又是系统最优点。系统最优和用户最优规划的结构十分类似，两者的差别只体现在路段阻抗函数的构造上。系统最优优化后的结果是一类路径上有流量，这些路径上的边际行程时间相等；没有分配流量的路径的边际行程时间大于分配路径上的边际行程时间。数学表达式如下：dt(x)aa—dxat(X)—路段a对网路总阻抗的边际贡献，称为边际行程时间aat(x)—新增的一个出行单位驶经路段a时遇到的阻抗aax—新增的一个出行单位使该路段现有流量xa承担的额外阻抗adxa边际行程时间就是路径上增加一个流量单位时，使行程时间增加量再加上原有的行程时间。边际本身的含义就是增加一个单位的车辆，行程时间会变成多少。多生产一个产品，那么我的成本变成多少？用户平衡描述的是有流量的路径行程时间相等。例1举一个例子比较用户最优和系统最优的区别。0-D对之间有路径1和路径2,总流量q=1.5，即丁x2=1.5，t1=3+0书，t=1+x。22系统最优解应该解如下的方程组：dt(x)dt(x)TOC\o"1-5"\h\zt(x)+x—11=t(x)+x—22-

111dx222dx12x+x=q1213.5系统最优的解为x=,x=；，相应的总阻抗为3.583。1323用户平衡应该解如下的方程组：t(x)=t(x)1122x+x=q12用户平衡的解为x1=0,x2=1.5，相应的总阻抗为3.75。

可见系统最优解的路网总阻抗小于用户平衡解的总阻抗。对系统最优和用户平衡差别的研究能使我们加深理解一种诡异现象，最有名的诡异现象是增加路网的路段数量反而使总阻抗增加，而不是预料中的减少，这就是著名的Braess诡异。下面举例说明。t411122233例2下图有一个0-D对，q=6,t(x)=50+x,t(x)=50+x,t(x)=10x,lll2223t411122233由路网的对称性知，用户平衡解显然是fl=f2=3,{xl=x2=x3=x4=3}，路段阻抗是tl=53,t2=53,t3=30,t4=30,路径阻抗是c1=83,c2=83，路网总阻抗为498（流量*时间）。现任当局为了减少交通拥挤,达到降低总阻抗的目的,决定增加一条路段,如上图b）,t（x）二10+x。显然，从O到D的路径也增加了一条，其流量为f5。这个新路555网的用户平衡解是f1=f2=f3=2,{x1=2,x2=2,x3=4,x4=4,x5=2},{t1=52,t2=52,t3=40,t4=40,t5=12}，路径的阻抗是c1=c2=c3=92而路网的总阻抗变为552（流量*时间）。552>498，可见增加网络的固定设施通行能力之后，并未如预料的那样减少拥挤程度，反而增加了，路径阻抗从原来的83上升到92。对于这种诡异现象，还是易于理解的，即司机只从单方面着想，选择自己的最小阻抗，而没想到自己的决定将对网络的总阻抗有什么影响，导致达到平衡时网络总阻抗反而增加了。如果司机服从系统的集中统一调度，后果就不是这样，即系统解没有诡异现象。事实上，上图的系统最优解的总阻抗是498，增加一条路段后，从系统最优的角度分析，司机不应该走路段5,即x5=0,故总阻抗仍是498。因此，投资当局在决定增扩线路时，一定要谨慎，并非增加或扩建了线路就一定能改善交通状态。相反，有的约束交通规则，如限制车辆在某一时间段（高峰期）进入主干道，或者有意让司机走一些表面上不经济的路线，能使整个路网的交通拥挤程度减小，这就是考虑了系统最优原则。交通分配模型求解1.容限配流法求解用户平衡配流问题的启发式方法。寻找最小阻抗路径是各种算法的核心。下面我们介绍启发式方法中的一种，容限配流方法。在介绍容限配流前先介绍一下全有全无法则。全有全无法：搜索到行程时间最小的路径，将所有流量分配到行程时间最小路径上。容限配流法即是迭代使用“全有全无”法则，在当前迭代中使用的阻抗值是在上次配流的结果上计算的。配流步骤：0步：初始化。令t0=t(0),Va，用全有全无法将O-D矩阵加载至网络上，得aa到路段流10I置迭代次数n=l。(也就是自由流行程时间)a1步：计算tn=t(xnT),Va(也就是加载后的行程时间)aaa2步：网络加载。根据阻抗In1用全有全无法将O-D阵加载到路网上，得到更新a的行程时间，得到路段流113步：收敛性检查。如果maxIn-xn-1L，则停止迭代，1n1既是解，e是aaa设置的迭代精度，为一小正数；否则令n=n+1，转第一步。下图是一个算例，其中t=101+0.15（±）4，t=201+0.15（二）4，t=251+0.15（土）4，1_2_2_4_3_3_xl+x2+x3=10。对于这个算例采用上述方法得到的结果见表4.1。从表中可以看出，本算法没有收敛，流量总是在路段1和路段2之间转移，而路段3没有流量。2.改进的容限配流法为了避免这种情况，应该对算法进行改进。首先，当前迭代的阻抗使用前两次得到的阻抗值的加权和；其次，不管算法是否收敛，预定一个最大迭代次数N,而所谓的平衡配流解即取最后四次迭代的路段流量的平均值(N>4)。上述两点改进措施已被美国联邦公路局采用，是其交通规划软件包的一个组成部分。修改后的容限配流方法如下：0步：初始化。令t0=t(0)，Va，用全有全无法将O-D矩阵加载至网络上，得aa到路段流10I置迭代次数n=1。a1步：计算tn=t(xn-i),Vaaaa2步：加权平滑tn=0.75tn-1+0.25un,Va，权数0.75和0.25是由经验确定的。aaa3步：网络加载根据阻抗1n1用全有全无法将O-D阵加载到路网上，得到更新的a行程时间，得到路段流n1a4步：若n=N，转第五步；否则令n=n+l,转第一步。fxn-15步：计算x*=，=0；,Va，(x*｝即被视为平衡点的路段流量。a4a将修改后的方法用到上面的算例中，得到如表4.2所示的结果。使用容限配流法的结果表4.1迭代孤11弧2弧3n0瑞=10i1=947z'=20x'=10=252X™10r；=10tf=137对=03屛=9斗7|址=0对=10n25■■¥+使用改进容限配流法的结果表4.2迭代弧1呱2服3n*0101020025019472440202D10252502100■1374