第15讲 构建概率模型,判断游戏公平性

第15讲构建概率模型，判断游戏的公平性二、方法剖析与提炼例1．（2016威海）一个盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除标号数字外都相同．（1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；（2）甲、乙两人用着六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．【解析】（1）共有1，2，3，4，5，6六个小球，其中奇数3个，根据概率公式即可得到。（2）画出树状图或者表格，就可以找到所有等可能的情况，找到两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的个数及摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果的个数，再利用概率公式分别计算甲、乙两人的概率，做比较即可知道是否公平。【解答】（1）(2)(2)解法】找到游戏公平性与概率模型的关系是解答本题的关键。解释】（1）第一题可以根据概率公式直接得出答案；2）第二题利用列表或者树状图，得出所有可能的情况数，找出所有同为奇数或者同为偶数的情况共有18种，再找出一奇一偶的情况，比较两个概率大小，即可得出游戏是否公平。此处涉及到的情况有36种，虽为有限基于情况较多，基础薄弱的容易出错；在基础较为扎实的学生中，其实应该明显能够看到

从1,2,3,4,5,6中，非奇即偶，那么每个数都是一半同奇（或同偶），一半一奇一偶，答案其实显而易见的。（3）此类题是在等可能性的基础上产生，游戏公平与否只与概率是否相等有关，难度系数较小。例2．（2013杭州）某班有50位学生，每位学生都有一个序号，将50张编有学生序号（从1号到50号）的卡片（除序号不同外其它均相同打乱顺序重新排列，从中任．意．抽．取．1．张．卡片（1）在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率（2）若规定：取到的卡片上序号是k（k是满足1WkW50的整数），则序号是k的倍数或能整除k（不重复计数）的学生能参加某项活动，这一规定是否公平？请说明理由；（3）请你设计一个规定，能公平地选出10位学生参加某项活动，并说明你的规定是符合要求的。【解析】（1）先找到在序号中，是20的倍数和能整除20，而总可能数是50，利用概率公式计算即可；（2）特殊值代入，找到任意两个学号的可能性不相等，就可以说明不公平；（3）设计的游戏为保证每个数字每次被抽到的概率都相等.【解答】（1）2)2)3）不唯一，如先抽出一张，记下数字，然后放回．若下一次抽到的数字与之前抽到过的重复，则不记数，放回，重新抽取.不断重复，直至抽满10个”°与之前抽到过的重复，则不记数，放回，重新抽取.不断重复，直至抽满10个”°O不同的数字为止．为保证每个数字每次被抽到的概率相等哦【解法】无论是判断游戏公平性还是设计游戏，等可能性是关键。【解释】（1）本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．2）第一题根据题目要求就可以作答。第二题中，因为涉及50个数据，如果是真命题，要么要对50个学号进行验证，比较困难，对学生的思维要求比较高。但是显然，它只是一个假命题，那么只要举出反例即可，不只是学号为1的学生，可以举的反例其实是很多的。但是往往学生对游戏的公平性理解不够，导致认为它是真命题，就无法解决此题。3）第三题是考察设计一个公平的游戏，“等可能性”与游戏公平的原则是紧密相关的，如果能上学生认识到这一点，问题就能迎刃而解。例3．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球．妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座．1）爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因．2）若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利．说明理由．解析】（1）此题含有代数式，需要用代数式的比较方法；（2）此时：妹妹去听讲座的概率为：一匚2x+3x—3小明去听讲座的概率为：2x—3,2x+3x—3对于这两个分母相同，分子不同的分式比较，需要采用分类讨论法，是本题的一个难点。解答】（1）QQ（2）此时：妹妹去听讲座的概率为：一匚2x+3x—3小明去听讲座的概率为：2x—3,2x+3x—3・••当2x=3x-3，即卩x=3时，他们的机会均等；当2x>3x-3，即xV3时，对妹妹有利；当2xV3x-3，即x>3时，对小明有利.【解法】分式比较大小的方法有很多，在分母相同的情况下可以比较分子大小，也可以进而引申作差法、作商法等方法。【解释】（1）此题涉及概率、游戏公平问题、不等式、分类讨论等知识点，对学生的综合运用能力要求较高；（2）读懂题目，第一题找到构建概率模型，直接利用概率公式比较两者的概率大小；（3）第二题涉及分类讨论，对学生灵活运用知识的要求较高，不少学生可能会想到不去分类讨论比较分子而匆忙下结论，是本题的难点。三、能力训练与拓展（2011大庆）某商场为促销开展抽奖活动，让顾客转动一次转盘，当转盘停止后，只有指针指向阴影区域时，顾客才能获得奖品，下列有四个大小相同的转盘可供选择，使顾客获得奖品可能性最大的是（）A.4BA.4B.iC.i936D.1p\\3/Ltv（第3题）（2015浙江湖州）一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（）（2015苏州）如图，转盘中8个扇形的面积都相等.任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数的概率为.

4．“石头、剪刀、布”是广为流传的游戏，游戏时，甲、乙双方每次出“石头”“剪刀”布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负．假定甲、乙两人每次都是等可能地出这三种手势，用画树形图和列表的方法分别求一次游戏中两人出同种手势的概率和甲获胜的概率，并判断游戏是否公平.（提示：为书写方便，解答时可以用S表示“石头”，用J表示“剪刀”，用月表示“布”）5.在“六•一”儿童节来临之际，某妇女儿童用品商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图25-68所示，转盘被平均分成20份），并规定：顾客每购物满100元，就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得80元、50元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场•如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得15元的购物券.转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？请说明理由.6.（2。16怀化）甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C的三：张牌，两人做游戏，游戏规则是：若两人出的牌不同，则A胜B,B胜C,C胜A；若两人出的牌相同，则为平局.1）用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果；2）求出现平局的概率．7．某厂为新型号电视机上市举办促销活动，顾客每购买一台该型号电视机，可获得一次抽奖机会，该厂拟按10％设大奖，其余90％为小奖.厂家设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入10个黄球和90个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球的顾客获得大奖，摸到白球的顾客获得小奖.

（1）厂家请教了一位数学教师，他设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入2个黄球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到的2个球都是黄球的顾客获得大奖，其余的顾客获得小奖．该抽奖方案符合厂家的设奖要求吗？请说明理由．（2）如图25-69所示的是一个可以自由转动的转盘，请你将转盘分为2个扇形区域，分别涂上黄、白两种颜色，并设计抽奖方案，使其符合厂家的设奖要求.（友情提醒：（1）在转盘上用文字注明颜色和扇形的圆心角的度数.（2）结合转盘简述获奖方式，不需说明理由）8.（2011杭州）四条线段a，b，c，d如图